ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elovmpo GIF version

Theorem elovmpo 6021
Description: Utility lemma for two-parameter classes. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elovmpo.d 𝐷 = (𝑎𝐴, 𝑏𝐵𝐶)
elovmpo.c 𝐶 ∈ V
elovmpo.e ((𝑎 = 𝑋𝑏 = 𝑌) → 𝐶 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
elovmpo (𝐹 ∈ (𝑋𝐷𝑌) ↔ (𝑋𝐴𝑌𝐵𝐹𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝐸,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏   𝑋,𝑎,𝑏   𝑌,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑎,𝑏)   𝐷(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem elovmpo
StepHypRef Expression
1 elovmpo.d . . . 4 𝐷 = (𝑎𝐴, 𝑏𝐵𝐶)
21elmpocl 6018 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑋𝐷𝑌) → (𝑋𝐴𝑌𝐵))
3 elovmpo.c . . . . . . 7 𝐶 ∈ V
43gen2 1430 . . . . . 6 𝑎𝑏 𝐶 ∈ V
5 elovmpo.e . . . . . . . 8 ((𝑎 = 𝑋𝑏 = 𝑌) → 𝐶 = 𝐸)
65eleq1d 2226 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝑋𝑏 = 𝑌) → (𝐶 ∈ V ↔ 𝐸 ∈ V))
76spc2gv 2803 . . . . . 6 ((𝑋𝐴𝑌𝐵) → (∀𝑎𝑏 𝐶 ∈ V → 𝐸 ∈ V))
84, 7mpi 15 . . . . 5 ((𝑋𝐴𝑌𝐵) → 𝐸 ∈ V)
95, 1ovmpoga 5950 . . . . 5 ((𝑋𝐴𝑌𝐵𝐸 ∈ V) → (𝑋𝐷𝑌) = 𝐸)
108, 9mpd3an3 1320 . . . 4 ((𝑋𝐴𝑌𝐵) → (𝑋𝐷𝑌) = 𝐸)
1110eleq2d 2227 . . 3 ((𝑋𝐴𝑌𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑋𝐷𝑌) ↔ 𝐹𝐸))
122, 11biadan2 452 . 2 (𝐹 ∈ (𝑋𝐷𝑌) ↔ ((𝑋𝐴𝑌𝐵) ∧ 𝐹𝐸))
13 df-3an 965 . 2 ((𝑋𝐴𝑌𝐵𝐹𝐸) ↔ ((𝑋𝐴𝑌𝐵) ∧ 𝐹𝐸))
1412, 13bitr4i 186 1 (𝐹 ∈ (𝑋𝐷𝑌) ↔ (𝑋𝐴𝑌𝐵𝐹𝐸))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 963  wal 1333   = wceq 1335  wcel 2128  Vcvv 2712  (class class class)co 5824  cmpo 5826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-setind 4496
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fv 5178  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator