Theorem elovmpo 6050

Description: Utility lemma for two-parameter classes. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elovmpo.d	⊢ 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
elovmpo.c	⊢ 𝐶 ∈ V
elovmpo.e	⊢ ((𝑎 = 𝑋 ∧ 𝑏 = 𝑌) → 𝐶 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
elovmpo	⊢ (𝐹 ∈ (𝑋𝐷𝑌) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ∈ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝐸,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏   𝑋,𝑎,𝑏   𝑌,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑎,𝑏)   𝐷(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem elovmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elovmpo.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	elmpocl 6047	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋𝐷𝑌) → (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
3		elovmpo.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ V
4	3	gen2 1443	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑎∀𝑏 𝐶 ∈ V
5		elovmpo.e	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 𝑋 ∧ 𝑏 = 𝑌) → 𝐶 = 𝐸)
6	5	eleq1d 2239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝑋 ∧ 𝑏 = 𝑌) → (𝐶 ∈ V ↔ 𝐸 ∈ V))
7	6	spc2gv 2821	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑎∀𝑏 𝐶 ∈ V → 𝐸 ∈ V))
8	4, 7	mpi 15	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐸 ∈ V)
9	5, 1	ovmpoga 5982	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐸 ∈ V) → (𝑋𝐷𝑌) = 𝐸)
10	8, 9	mpd3an3 1333	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐷𝑌) = 𝐸)
11	10	eleq2d 2240	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑋𝐷𝑌) ↔ 𝐹 ∈ 𝐸))
12	2, 11	biadan2 453	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋𝐷𝑌) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐹 ∈ 𝐸))
13		df-3an 975	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐹 ∈ 𝐸))
14	12, 13	bitr4i 186	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋𝐷𝑌) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 973  ∀wal 1346   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730  (class class class)co 5853   ∈ cmpo 5855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858

This theorem is referenced by: (None)