Theorem ovmpoga 5967

Description: Value of an operation given by a maps-to rule. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpoga.1	|- ( ( x = A /\ y = B ) -> R = S )
ovmpoga.2	|- F = ( x e. C , y e. D |-> R )

Assertion

Ref	Expression
ovmpoga	|- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. H ) -> ( A F B ) = S )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y   x, D, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   R( x, y)   F( x, y)   H( x, y)

Proof of Theorem ovmpoga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2736	. 2 |- ( S e. H -> S e. _V )
2		ovmpoga.2	. . . 4 |- F = ( x e. C , y e. D |-> R )
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. _V ) -> F = ( x e. C , y e. D |-> R ) )
4		ovmpoga.1	. . . 4 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> R = S )
5	4	adantl 275	. . 3 |- ( ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. _V ) /\ ( x = A /\ y = B ) ) -> R = S )
6		simp1 987	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. _V ) -> A e. C )
7		simp2 988	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. _V ) -> B e. D )
8		simp3 989	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. _V ) -> S e. _V )
9	3, 5, 6, 7, 8	ovmpod 5965	. 2 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. _V ) -> ( A F B ) = S )
10	1, 9	syl3an3 1263	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. H ) -> ( A F B ) = S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2725  (class class class)co 5841   e. cmpo 5843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-setind 4513

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-ral 2448  df-rex 2449  df-v 2727  df-sbc 2951  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-br 3982  df-opab 4043  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fv 5195  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846

This theorem is referenced by:  ovmpoa  5968  ovmpog  5972  elovmpo  6038  offval  6056  offval3  6099  xaddval  9777  fzoval  10079  eucalgval2  11981  pcval  12224  setsvalg  12420  ressid2  12449  ressval2  12450  restval  12557  txvalex  12854  txval  12855  cnmpt12  12887  cnmpt22  12894  hmeofvalg  12903  bdmetval  13100  xmetxp  13107  xmetxpbl  13108  txmetcnp  13118  limccl  13228  ellimc3apf  13229  lgsval  13505