Theorem ovmpoga 6151

Description: Value of an operation given by a maps-to rule. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpoga.1	|- ( ( x = A /\ y = B ) -> R = S )
ovmpoga.2	|- F = ( x e. C , y e. D |-> R )

Assertion

Ref	Expression
ovmpoga	|- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. H ) -> ( A F B ) = S )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y   x, D, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   R( x, y)   F( x, y)   H( x, y)

Proof of Theorem ovmpoga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2814	. 2 |- ( S e. H -> S e. _V )
2		ovmpoga.2	. . . 4 |- F = ( x e. C , y e. D |-> R )
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. _V ) -> F = ( x e. C , y e. D |-> R ) )
4		ovmpoga.1	. . . 4 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> R = S )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. _V ) /\ ( x = A /\ y = B ) ) -> R = S )
6		simp1 1023	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. _V ) -> A e. C )
7		simp2 1024	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. _V ) -> B e. D )
8		simp3 1025	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. _V ) -> S e. _V )
9	3, 5, 6, 7, 8	ovmpod 6149	. 2 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. _V ) -> ( A F B ) = S )
10	1, 9	syl3an3 1308	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. H ) -> ( A F B ) = S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802  (class class class)co 6018   e. cmpo 6020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023

This theorem is referenced by:  ovmpoa  6152  ovmpog  6156  elovmpo  6221  offval  6243  offval3  6296  xaddval  10080  fzoval  10383  eucalgval2  12626  pcval  12870  setsvalg  13113  restval  13329  prdsex  13353  pwsval  13375  xpsfval  13432  xpsval  13436  ismhm  13545  eqgfval  13810  isrhm  14174  mplvalcoe  14706  txvalex  14980  txval  14981  cnmpt12  15013  cnmpt22  15020  hmeofvalg  15029  bdmetval  15226  xmetxp  15233  xmetxpbl  15234  txmetcnp  15244  limccl  15385  ellimc3apf  15386  sgmval  15709  lgsval  15735  clwwlkng  16258