Theorem ovmpoga 6003

Description: Value of an operation given by a maps-to rule. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpoga.1	|- ( ( x = A /\ y = B ) -> R = S )
ovmpoga.2	|- F = ( x e. C , y e. D |-> R )

Assertion

Ref	Expression
ovmpoga	|- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. H ) -> ( A F B ) = S )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y   x, D, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   R( x, y)   F( x, y)   H( x, y)

Proof of Theorem ovmpoga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2748	. 2 |- ( S e. H -> S e. _V )
2		ovmpoga.2	. . . 4 |- F = ( x e. C , y e. D |-> R )
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. _V ) -> F = ( x e. C , y e. D |-> R ) )
4		ovmpoga.1	. . . 4 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> R = S )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. _V ) /\ ( x = A /\ y = B ) ) -> R = S )
6		simp1 997	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. _V ) -> A e. C )
7		simp2 998	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. _V ) -> B e. D )
8		simp3 999	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. _V ) -> S e. _V )
9	3, 5, 6, 7, 8	ovmpod 6001	. 2 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. _V ) -> ( A F B ) = S )
10	1, 9	syl3an3 1273	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. H ) -> ( A F B ) = S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2737  (class class class)co 5874   e. cmpo 5876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-setind 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879

This theorem is referenced by:  ovmpoa  6004  ovmpog  6008  elovmpo  6071  offval  6089  offval3  6134  xaddval  9844  fzoval  10147  eucalgval2  12052  pcval  12295  setsvalg  12491  restval  12693  prdsex  12717  xpsfval  12766  xpsval  12770  ismhm  12852  eqgfval  13079  txvalex  13724  txval  13725  cnmpt12  13757  cnmpt22  13764  hmeofvalg  13773  bdmetval  13970  xmetxp  13977  xmetxpbl  13978  txmetcnp  13988  limccl  14098  ellimc3apf  14099  lgsval  14375