Theorem ovmpoga 6191

Description: Value of an operation given by a maps-to rule. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpoga.1	|- ( ( x = A /\ y = B ) -> R = S )
ovmpoga.2	|- F = ( x e. C , y e. D |-> R )

Assertion

Ref	Expression
ovmpoga	|- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. H ) -> ( A F B ) = S )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y   x, D, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   R( x, y)   F( x, y)   H( x, y)

Proof of Theorem ovmpoga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2827	. 2 |- ( S e. H -> S e. _V )
2		ovmpoga.2	. . . 4 |- F = ( x e. C , y e. D |-> R )
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. _V ) -> F = ( x e. C , y e. D |-> R ) )
4		ovmpoga.1	. . . 4 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> R = S )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. _V ) /\ ( x = A /\ y = B ) ) -> R = S )
6		simp1 1024	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. _V ) -> A e. C )
7		simp2 1025	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. _V ) -> B e. D )
8		simp3 1026	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. _V ) -> S e. _V )
9	3, 5, 6, 7, 8	ovmpod 6189	. 2 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. _V ) -> ( A F B ) = S )
10	1, 9	syl3an3 1309	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. H ) -> ( A F B ) = S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815  (class class class)co 6058   e. cmpo 6060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-setind 4664

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063

This theorem is referenced by:  ovmpoa  6192  ovmpog  6196  elovmpo  6261  offval  6283  offval3  6340  xaddval  10200  fzoval  10507  eucalgval2  12778  pcval  13022  setsvalg  13329  restval  13545  xpsfval  13615  ismhm  13719  eqgfval  13978  prdsex  14117  xpsval  14146  pwsval  14149  isrhm  14406  mplvalcoe  14974  txvalex  15248  txval  15249  cnmpt12  15281  cnmpt22  15288  hmeofvalg  15297  bdmetval  15494  xmetxp  15501  xmetxpbl  15502  txmetcnp  15512  limccl  15653  ellimc3apf  15654  sgmval  15980  lgsval  16006  clwwlkng  16529