Theorem ovmpoga 6185

Description: Value of an operation given by a maps-to rule. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpoga.1	|- ( ( x = A /\ y = B ) -> R = S )
ovmpoga.2	|- F = ( x e. C , y e. D |-> R )

Assertion

Ref	Expression
ovmpoga	|- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. H ) -> ( A F B ) = S )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y   x, D, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   R( x, y)   F( x, y)   H( x, y)

Proof of Theorem ovmpoga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2827	. 2 |- ( S e. H -> S e. _V )
2		ovmpoga.2	. . . 4 |- F = ( x e. C , y e. D |-> R )
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. _V ) -> F = ( x e. C , y e. D |-> R ) )
4		ovmpoga.1	. . . 4 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> R = S )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. _V ) /\ ( x = A /\ y = B ) ) -> R = S )
6		simp1 1024	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. _V ) -> A e. C )
7		simp2 1025	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. _V ) -> B e. D )
8		simp3 1026	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. _V ) -> S e. _V )
9	3, 5, 6, 7, 8	ovmpod 6183	. 2 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. _V ) -> ( A F B ) = S )
10	1, 9	syl3an3 1309	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. H ) -> ( A F B ) = S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815  (class class class)co 6052   e. cmpo 6054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-setind 4661

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057

This theorem is referenced by:  ovmpoa  6186  ovmpog  6190  elovmpo  6255  offval  6276  offval3  6329  xaddval  10184  fzoval  10489  eucalgval2  12758  pcval  13002  setsvalg  13263  restval  13479  prdsex  13503  pwsval  13525  xpsfval  13582  xpsval  13586  ismhm  13695  eqgfval  13960  isrhm  14325  mplvalcoe  14894  txvalex  15168  txval  15169  cnmpt12  15201  cnmpt22  15208  hmeofvalg  15217  bdmetval  15414  xmetxp  15421  xmetxpbl  15422  txmetcnp  15432  limccl  15573  ellimc3apf  15574  sgmval  15900  lgsval  15926  clwwlkng  16449