Theorem elpm2g 6631

Description: The predicate "is a partial function". (Contributed by NM, 31-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elpm2g	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( F e. ( A ^pm B ) <-> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) ) )

Proof of Theorem elpm2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpmg 6630	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( F e. ( A ^pm B ) <-> ( Fun F /\ F C_ ( B X. A ) ) ) )
2		funssxp 5357	. 2 |- ( ( Fun F /\ F C_ ( B X. A ) ) <-> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) )
3	1, 2	bitrdi 195	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( F e. ( A ^pm B ) <-> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2136   C_ wss 3116   X. cxp 4602   dom cdm 4604   Fun wfun 5182   -->wf 5184  (class class class)co 5842   ^pm cpm 6615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pm 6617

This theorem is referenced by:  elpm2r  6632  elpmi  6633  elpm2  6646  lmtopcnp  12890