Theorem elpmi 6657

Description: A partial function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elpmi	|- ( F e. ( A ^pm B ) -> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) )

Proof of Theorem elpmi

Dummy variables x f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pm 6641	. . . 4 |- ^pm = ( x e. _V , y e. _V |-> { f e. ~P ( y X. x ) | Fun f } )
2	1	elmpocl 6059	. . 3 |- ( F e. ( A ^pm B ) -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
3		elpm2g 6655	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( F e. ( A ^pm B ) <-> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) ) )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( F e. ( A ^pm B ) -> ( F e. ( A ^pm B ) <-> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) ) )
5	4	ibi 176	1 |- ( F e. ( A ^pm B ) -> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2146   {crab 2457   _Vcvv 2735   C_ wss 3127   ~Pcpw 3572   X. cxp 4618   dom cdm 4620   Fun wfun 5202   -->wf 5204  (class class class)co 5865   ^pm cpm 6639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pm 6641

This theorem is referenced by:  pmfun  6658  pmresg  6666  ennnfonelemg  12369  ennnfonelemf1  12384  reldvg  13699  dvbsssg  13706  dvfgg  13708