Theorem elpmi 6901

Description: A partial function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elpmi	|- ( F e. ( A ^pm B ) -> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) )

Proof of Theorem elpmi

Dummy variables x f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pm 6885	. . . 4 |- ^pm = ( x e. _V , y e. _V |-> { f e. ~P ( y X. x ) | Fun f } )
2	1	elmpocl 6249	. . 3 |- ( F e. ( A ^pm B ) -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
3		elpm2g 6899	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( F e. ( A ^pm B ) <-> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) ) )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( F e. ( A ^pm B ) -> ( F e. ( A ^pm B ) <-> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) ) )
5	4	ibi 176	1 |- ( F e. ( A ^pm B ) -> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2203   {crab 2524   _Vcvv 2813   C_ wss 3211   ~Pcpw 3669   X. cxp 4747   dom cdm 4749   Fun wfun 5346   -->wf 5348  (class class class)co 6050   ^pm cpm 6883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pm 6885

This theorem is referenced by:  pmfun  6902  pmresg  6910  ennnfonelemg  13154  ennnfonelemf1  13169  reldvg  15544  dvbsssg  15551  dvfgg  15553