Theorem elpmi 6831

Description: A partial function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elpmi	|- ( F e. ( A ^pm B ) -> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) )

Proof of Theorem elpmi

Dummy variables x f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pm 6815	. . . 4 |- ^pm = ( x e. _V , y e. _V |-> { f e. ~P ( y X. x ) | Fun f } )
2	1	elmpocl 6212	. . 3 |- ( F e. ( A ^pm B ) -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
3		elpm2g 6829	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( F e. ( A ^pm B ) <-> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) ) )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( F e. ( A ^pm B ) -> ( F e. ( A ^pm B ) <-> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) ) )
5	4	ibi 176	1 |- ( F e. ( A ^pm B ) -> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   {crab 2512   _Vcvv 2800   C_ wss 3198   ~Pcpw 3650   X. cxp 4721   dom cdm 4723   Fun wfun 5318   -->wf 5320  (class class class)co 6013   ^pm cpm 6813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pm 6815

This theorem is referenced by:  pmfun  6832  pmresg  6840  ennnfonelemg  13014  ennnfonelemf1  13029  reldvg  15393  dvbsssg  15400  dvfgg  15402