Theorem elpmi 6836

Description: A partial function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elpmi	|- ( F e. ( A ^pm B ) -> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) )

Proof of Theorem elpmi

Dummy variables x f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pm 6820	. . . 4 |- ^pm = ( x e. _V , y e. _V |-> { f e. ~P ( y X. x ) | Fun f } )
2	1	elmpocl 6217	. . 3 |- ( F e. ( A ^pm B ) -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
3		elpm2g 6834	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( F e. ( A ^pm B ) <-> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) ) )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( F e. ( A ^pm B ) -> ( F e. ( A ^pm B ) <-> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) ) )
5	4	ibi 176	1 |- ( F e. ( A ^pm B ) -> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   {crab 2514   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   ~Pcpw 3652   X. cxp 4723   dom cdm 4725   Fun wfun 5320   -->wf 5322  (class class class)co 6018   ^pm cpm 6818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pm 6820

This theorem is referenced by:  pmfun  6837  pmresg  6845  ennnfonelemg  13042  ennnfonelemf1  13057  reldvg  15422  dvbsssg  15429  dvfgg  15431