ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elpmi Unicode version

Theorem elpmi 6561
Description: A partial function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
elpmi  |-  ( F  e.  ( A  ^pm  B )  ->  ( F : dom  F --> A  /\  dom  F  C_  B )
)

Proof of Theorem elpmi
Dummy variables  x  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-pm 6545 . . . 4  |-  ^pm  =  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  { f  e.  ~P ( y  X.  x
)  |  Fun  f } )
21elmpocl 5968 . . 3  |-  ( F  e.  ( A  ^pm  B )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e. 
_V ) )
3 elpm2g 6559 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( A  ^pm  B )  <->  ( F : dom  F --> A  /\  dom  F  C_  B ) ) )
42, 3syl 14 . 2  |-  ( F  e.  ( A  ^pm  B )  ->  ( F  e.  ( A  ^pm  B
)  <->  ( F : dom  F --> A  /\  dom  F 
C_  B ) ) )
54ibi 175 1  |-  ( F  e.  ( A  ^pm  B )  ->  ( F : dom  F --> A  /\  dom  F  C_  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1480   {crab 2420   _Vcvv 2686    C_ wss 3071   ~Pcpw 3510    X. cxp 4537   dom cdm 4539   Fun wfun 5117   -->wf 5119  (class class class)co 5774    ^pm cpm 6543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pm 6545
This theorem is referenced by:  pmfun  6562  pmresg  6570  ennnfonelemg  11929  ennnfonelemf1  11944  reldvg  12833  dvbsssg  12840  dvfgg  12842
  Copyright terms: Public domain W3C validator