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Theorem lmtopcnp 13789
Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lmcnp.3 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) P )
lmcnp.k |- ( ph -> K e. Top )
lmcnp.4 |- ( ph -> G e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
Assertion
Ref Expression
lmtopcnp |- ( ph -> ( G o. F ) ( ~~> t ` K ) ( G ` P ) )
Proof of Theorem lmtopcnp
Dummy variables j k u v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmcnp.3 . . . . . . . 8 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) P )
2 lmrcl 13730 . . . . . . . 8 |- ( F ( ~~> t ` J ) P -> J e. Top )
31, 2syl 14 . . . . . . 7 |- ( ph -> J e. Top )
4 toptopon2 13558 . . . . . . 7 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
53, 4sylib 122 . . . . . 6 |- ( ph -> J e. (TopOn ` U. J ) )
6 lmcnp.k . . . . . . 7 |- ( ph -> K e. Top )
7 toptopon2 13558 . . . . . . 7 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
86, 7sylib 122 . . . . . 6 |- ( ph -> K e. (TopOn ` U. K ) )
9 lmcnp.4 . . . . . 6 |- ( ph -> G e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
10 cnpf2 13746 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ G e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> G : U. J --> U. K )
115, 8, 9, 10syl3anc 1238 . . . . 5 |- ( ph -> G : U. J --> U. K )
12 nnuz 9565 . . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
13 1zzd 9282 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
145, 12, 13lmbr2 13753 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( U. J ^pm CC ) /\ P e. U. J /\ A. v e. J ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) ) ) )
151, 14mpbid 147 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F e. ( U. J ^pm CC ) /\ P e. U. J /\ A. v e. J ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) ) )
1615simp1d 1009 . . . . . . 7 |- ( ph -> F e. ( U. J ^pm CC ) )
17 uniexg 4441 . . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> U. J e. _V )
183, 17syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ph -> U. J e. _V )
19 cnex 7937 . . . . . . . 8 |- CC e. _V
20 elpm2g 6667 . . . . . . . 8 |- ( ( U. J e. _V /\ CC e. _V ) -> ( F e. ( U. J ^pm CC ) <-> ( F : dom F --> U. J /\ dom F C_ CC ) ) )
2118, 19, 20sylancl 413 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( F e. ( U. J ^pm CC ) <-> ( F : dom F --> U. J /\ dom F C_ CC ) ) )
2216, 21mpbid 147 . . . . . 6 |- ( ph -> ( F : dom F --> U. J /\ dom F C_ CC ) )
2322simpld 112 . . . . 5 |- ( ph -> F : dom F --> U. J )
24 fco 5383 . . . . 5 |- ( ( G : U. J --> U. K /\ F : dom F --> U. J ) -> ( G o. F ) : dom F --> U. K )
2511, 23, 24syl2anc 411 . . . 4 |- ( ph -> ( G o. F ) : dom F --> U. K )
2625fdmd 5374 . . . . 5 |- ( ph -> dom ( G o. F ) = dom F )
2726feq2d 5355 . . . 4 |- ( ph -> ( ( G o. F ) : dom ( G o. F ) --> U. K <-> ( G o. F ) : dom F --> U. K ) )
2825, 27mpbird 167 . . 3 |- ( ph -> ( G o. F ) : dom ( G o. F ) --> U. K )
2922simprd 114 . . . 4 |- ( ph -> dom F C_ CC )
3026, 29eqsstrd 3193 . . 3 |- ( ph -> dom ( G o. F ) C_ CC )
31 uniexg 4441 . . . . 5 |- ( K e. Top -> U. K e. _V )
326, 31syl 14 . . . 4 |- ( ph -> U. K e. _V )
33 elpm2g 6667 . . . 4 |- ( ( U. K e. _V /\ CC e. _V ) -> ( ( G o. F ) e. ( U. K ^pm CC ) <-> ( ( G o. F ) : dom ( G o. F ) --> U. K /\ dom ( G o. F ) C_ CC ) ) )
3432, 19, 33sylancl 413 . . 3 |- ( ph -> ( ( G o. F ) e. ( U. K ^pm CC ) <-> ( ( G o. F ) : dom ( G o. F ) --> U. K /\ dom ( G o. F ) C_ CC ) ) )
3528, 30, 34mpbir2and 944 . 2 |- ( ph -> ( G o. F ) e. ( U. K ^pm CC ) )
3615simp2d 1010 . . 3 |- ( ph -> P e. U. J )
3711, 36ffvelcdmd 5654 . 2 |- ( ph -> ( G ` P ) e. U. K )
3815simp3d 1011 . . . . . 6 |- ( ph -> A. v e. J ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) )
3938adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> A. v e. J ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) )
405adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
418adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
4236adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> P e. U. J )
439adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> G e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
44 simprl 529 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> u e. K )
45 simprr 531 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> ( G ` P ) e. u )
46 icnpimaex 13750 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ P e. U. J ) /\ ( G e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> E. v e. J ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) )
4740, 41, 42, 43, 44, 45, 46syl33anc 1253 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> E. v e. J ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) )
48 r19.29 2614 . . . . . . 7 |- ( ( A. v e. J ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) /\ E. v e. J ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> E. v e. J ( ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) /\ ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) ) )
49 pm3.45 597 . . . . . . . . 9 |- ( ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) -> ( ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) /\ ( G " v ) C_ u ) ) )
5049imp 124 . . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) /\ ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) /\ ( G " v ) C_ u ) )
5150reximi 2574 . . . . . . 7 |- ( E. v e. J ( ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) /\ ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> E. v e. J ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) /\ ( G " v ) C_ u ) )
5248, 51syl 14 . . . . . 6 |- ( ( A. v e. J ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) /\ E. v e. J ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> E. v e. J ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) /\ ( G " v ) C_ u ) )
5311ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> G : U. J --> U. K )
5453ffnd 5368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> G Fn U. J )
55 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> v e. J )
56 elssuni 3839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. J -> v C_ U. J )
5755, 56syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> v C_ U. J )
58 fnfvima 5753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G Fn U. J /\ v C_ U. J /\ ( F ` k ) e. v ) -> ( G ` ( F ` k ) ) e. ( G " v ) )
59583expia 1205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G Fn U. J /\ v C_ U. J ) -> ( ( F ` k ) e. v -> ( G ` ( F ` k ) ) e. ( G " v ) ) )
6054, 57, 59syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> ( ( F ` k ) e. v -> ( G ` ( F ` k ) ) e. ( G " v ) ) )
6123ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> F : dom F --> U. J )
62 fvco3 5589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F : dom F --> U. J /\ k e. dom F ) -> ( ( G o. F ) ` k ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
6361, 62sylan 283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> ( ( G o. F ) ` k ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
6463eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> ( ( ( G o. F ) ` k ) e. ( G " v ) <-> ( G ` ( F ` k ) ) e. ( G " v ) ) )
6560, 64sylibrd 169 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> ( ( F ` k ) e. v -> ( ( G o. F ) ` k ) e. ( G " v ) ) )
66 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> ( G " v ) C_ u )
6766sseld 3156 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> ( ( ( G o. F ) ` k ) e. ( G " v ) -> ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) )
6865, 67syld 45 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> ( ( F ` k ) e. v -> ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) )
69 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> k e. dom F )
7026ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> dom ( G o. F ) = dom F )
7169, 70eleqtrrd 2257 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> k e. dom ( G o. F ) )
7268, 71jctild 316 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> ( ( F ` k ) e. v -> ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
7372expimpd 363 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) -> ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
7473ralimdv 2545 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
7574reximdv 2578 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
7675expr 375 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ v e. J ) -> ( ( G " v ) C_ u -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) ) )
7776com23 78 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ v e. J ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) -> ( ( G " v ) C_ u -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) ) )
7877impd 254 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ v e. J ) -> ( ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) /\ ( G " v ) C_ u ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
7978rexlimdva 2594 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> ( E. v e. J ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) /\ ( G " v ) C_ u ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
8052, 79syl5 32 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> ( ( A. v e. J ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) /\ E. v e. J ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
8139, 47, 80mp2and 433 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) )
8281expr 375 . . 3 |- ( ( ph /\ u e. K ) -> ( ( G ` P ) e. u -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
8382ralrimiva 2550 . 2 |- ( ph -> A. u e. K ( ( G ` P ) e. u -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
848, 12, 13lmbr2 13753 . 2 |- ( ph -> ( ( G o. F ) ( ~~> t ` K ) ( G ` P ) <-> ( ( G o. F ) e. ( U. K ^pm CC ) /\ ( G ` P ) e. U. K /\ A. u e. K ( ( G ` P ) e. u -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) ) ) )
8535, 37, 83, 84mpbir3and 1180 1 |- ( ph -> ( G o. F ) ( ~~> t ` K ) ( G ` P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2739   C_ wss 3131   U.cuni 3811   class class class wbr 4005   dom cdm 4628   "cima 4631   o. ccom 4632   Fn wfn 5213   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   ^pm cpm 6651   CCcc 7811   1c1 7814   NNcn 8921   ZZ>=cuz 9530   Topctop 13536  TopOnctopon 13549   CnP ccnp 13725   ~~> tclm 13726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-map 6652  df-pm 6653  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-top 13537  df-topon 13550  df-cnp 13728  df-lm 13729
This theorem is referenced by:  lmcn  13790
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