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Theorem lmtopcnp 12456
Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lmcnp.3  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) P )
lmcnp.k  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
lmcnp.4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P ) )
Assertion
Ref Expression
lmtopcnp  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) ( ~~> t `  K ) ( G `
 P ) )

Proof of Theorem lmtopcnp
Dummy variables  j  k  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmcnp.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) P )
2 lmrcl 12397 . . . . . . . 8  |-  ( F ( ~~> t `  J
) P  ->  J  e.  Top )
31, 2syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
4 toptopon2 12223 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
53, 4sylib 121 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
6 lmcnp.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
7 toptopon2 12223 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
86, 7sylib 121 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
9 lmcnp.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P ) )
10 cnpf2 12413 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )
)  ->  G : U. J --> U. K )
115, 8, 9, 10syl3anc 1217 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : U. J --> U. K )
12 nnuz 9384 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
13 1zzd 9104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
145, 12, 13lmbr2 12420 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( U. J  ^pm  CC )  /\  P  e. 
U. J  /\  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) ) ) ) )
151, 14mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U. J  ^pm  CC )  /\  P  e.  U. J  /\  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) ) ) )
1615simp1d 994 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( U. J  ^pm  CC ) )
17 uniexg 4368 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
183, 17syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. J  e.  _V )
19 cnex 7767 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
20 elpm2g 6566 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. J  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( U. J  ^pm  CC ) 
<->  ( F : dom  F --> U. J  /\  dom  F 
C_  CC ) ) )
2118, 19, 20sylancl 410 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U. J  ^pm  CC ) 
<->  ( F : dom  F --> U. J  /\  dom  F 
C_  CC ) ) )
2216, 21mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F : dom  F --> U. J  /\  dom  F 
C_  CC ) )
2322simpld 111 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> U. J )
24 fco 5295 . . . . 5  |-  ( ( G : U. J --> U. K  /\  F : dom  F --> U. J )  -> 
( G  o.  F
) : dom  F --> U. K )
2511, 23, 24syl2anc 409 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) : dom  F --> U. K )
2625fdmd 5286 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( G  o.  F )  =  dom  F )
2726feq2d 5267 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F ) : dom  ( G  o.  F
) --> U. K  <->  ( G  o.  F ) : dom  F --> U. K ) )
2825, 27mpbird 166 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) : dom  ( G  o.  F ) --> U. K )
2922simprd 113 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  CC )
3026, 29eqsstrd 3137 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( G  o.  F )  C_  CC )
31 uniexg 4368 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  ->  U. K  e.  _V )
326, 31syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. K  e.  _V )
33 elpm2g 6566 . . . 4  |-  ( ( U. K  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  ->  ( ( G  o.  F )  e.  ( U. K  ^pm  CC ) 
<->  ( ( G  o.  F ) : dom  ( G  o.  F
) --> U. K  /\  dom  ( G  o.  F
)  C_  CC )
) )
3432, 19, 33sylancl 410 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F )  e.  ( U. K  ^pm  CC ) 
<->  ( ( G  o.  F ) : dom  ( G  o.  F
) --> U. K  /\  dom  ( G  o.  F
)  C_  CC )
) )
3528, 30, 34mpbir2and 929 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  e.  ( U. K  ^pm  CC ) )
3615simp2d 995 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  U. J
)
3711, 36ffvelrnd 5563 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  P
)  e.  U. K
)
3815simp3d 996 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) ) )
3938adantr 274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  ->  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) ) )
405adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
418adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
4236adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  ->  P  e.  U. J )
439adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )
44 simprl 521 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  ->  u  e.  K )
45 simprr 522 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  -> 
( G `  P
)  e.  u )
46 icnpimaex 12417 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  P  e.  U. J )  /\  ( G  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( G " v )  C_  u ) )
4740, 41, 42, 43, 44, 45, 46syl33anc 1232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( G " v
)  C_  u )
)
48 r19.29 2572 . . . . . . 7  |-  ( ( A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  /\  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  /\  ( P  e.  v  /\  ( G " v ) 
C_  u ) ) )
49 pm3.45 587 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  ->  ( ( P  e.  v  /\  ( G " v )  C_  u )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  /\  ( G " v ) 
C_  u ) ) )
5049imp 123 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  /\  ( P  e.  v  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  -> 
( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  /\  ( G
" v )  C_  u ) )
5150reximi 2532 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  J  ( ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  /\  ( P  e.  v  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  /\  ( G " v ) 
C_  u ) )
5248, 51syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  /\  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  /\  ( G " v ) 
C_  u ) )
5311ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  G : U. J
--> U. K )
5453ffnd 5280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  G  Fn  U. J )
55 simplrl 525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  v  e.  J
)
56 elssuni 3771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  J  ->  v  C_ 
U. J )
5755, 56syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  v  C_  U. J
)
58 fnfvima 5659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  Fn  U. J  /\  v  C_  U. J  /\  ( F `  k
)  e.  v )  ->  ( G `  ( F `  k ) )  e.  ( G
" v ) )
59583expia 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  Fn  U. J  /\  v  C_  U. J
)  ->  ( ( F `  k )  e.  v  ->  ( G `
 ( F `  k ) )  e.  ( G " v
) ) )
6054, 57, 59syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( F `
 k )  e.  v  ->  ( G `  ( F `  k
) )  e.  ( G " v ) ) )
6123ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  ->  F : dom  F --> U. J
)
62 fvco3 5499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : dom  F --> U. J  /\  k  e.  dom  F )  -> 
( ( G  o.  F ) `  k
)  =  ( G `
 ( F `  k ) ) )
6361, 62sylan 281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  =  ( G `  ( F `
 k ) ) )
6463eleq1d 2209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( ( G  o.  F ) `
 k )  e.  ( G " v
)  <->  ( G `  ( F `  k ) )  e.  ( G
" v ) ) )
6560, 64sylibrd 168 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( F `
 k )  e.  v  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  ( G " v ) ) )
66 simplrr 526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( G "
v )  C_  u
)
6766sseld 3100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( ( G  o.  F ) `
 k )  e.  ( G " v
)  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  u
) )
6865, 67syld 45 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( F `
 k )  e.  v  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  u
) )
69 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  k  e.  dom  F )
7026ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  dom  ( G  o.  F )  =  dom  F )
7169, 70eleqtrrd 2220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  k  e.  dom  ( G  o.  F
) )
7268, 71jctild 314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( F `
 k )  e.  v  ->  ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  (
( G  o.  F
) `  k )  e.  u ) ) )
7372expimpd 361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  -> 
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  ->  (
k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) )
7473ralimdv 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  -> 
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( G  o.  F
)  /\  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  u
) ) )
7574reximdv 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  -> 
( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( G  o.  F
)  /\  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  u
) ) )
7675expr 373 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  ( ( G " v )  C_  u  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( G  o.  F
)  /\  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  u
) ) ) )
7776com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  ->  ( ( G " v )  C_  u  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) ) )
7877impd 252 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  ( ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  /\  ( G " v ) 
C_  u )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) )
7978rexlimdva 2552 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  -> 
( E. v  e.  J  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  /\  ( G
" v )  C_  u )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( G  o.  F
)  /\  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  u
) ) )
8052, 79syl5 32 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  -> 
( ( A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  /\  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( G " v ) 
C_  u ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) )
8139, 47, 80mp2and 430 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) )
8281expr 373 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  (
( G `  P
)  e.  u  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) )
8382ralrimiva 2508 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  K  ( ( G `  P )  e.  u  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) )
848, 12, 13lmbr2 12420 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F ) ( ~~> t `  K ) ( G `
 P )  <->  ( ( G  o.  F )  e.  ( U. K  ^pm  CC )  /\  ( G `
 P )  e. 
U. K  /\  A. u  e.  K  (
( G `  P
)  e.  u  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) ) ) )
8535, 37, 83, 84mpbir3and 1165 1  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) ( ~~> t `  K ) ( G `
 P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963    = wceq 1332    e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   _Vcvv 2689    C_ wss 3075   U.cuni 3743   class class class wbr 3936   dom cdm 4546   "cima 4549    o. ccom 4550    Fn wfn 5125   -->wf 5126   ` cfv 5130  (class class class)co 5781    ^pm cpm 6550   CCcc 7641   1c1 7644   NNcn 8743   ZZ>=cuz 9349   Topctop 12201  TopOnctopon 12214    CnP ccnp 12392   ~~> tclm 12393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-map 6551  df-pm 6552  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-top 12202  df-topon 12215  df-cnp 12395  df-lm 12396
This theorem is referenced by:  lmcn  12457
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