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Theorem lmtopcnp 14418
Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lmcnp.3 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) P )
lmcnp.k |- ( ph -> K e. Top )
lmcnp.4 |- ( ph -> G e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
Assertion
Ref Expression
lmtopcnp |- ( ph -> ( G o. F ) ( ~~> t ` K ) ( G ` P ) )
Proof of Theorem lmtopcnp
Dummy variables j k u v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmcnp.3 . . . . . . . 8 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) P )
2 lmrcl 14359 . . . . . . . 8 |- ( F ( ~~> t ` J ) P -> J e. Top )
31, 2syl 14 . . . . . . 7 |- ( ph -> J e. Top )
4 toptopon2 14187 . . . . . . 7 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
53, 4sylib 122 . . . . . 6 |- ( ph -> J e. (TopOn ` U. J ) )
6 lmcnp.k . . . . . . 7 |- ( ph -> K e. Top )
7 toptopon2 14187 . . . . . . 7 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
86, 7sylib 122 . . . . . 6 |- ( ph -> K e. (TopOn ` U. K ) )
9 lmcnp.4 . . . . . 6 |- ( ph -> G e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
10 cnpf2 14375 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ G e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> G : U. J --> U. K )
115, 8, 9, 10syl3anc 1249 . . . . 5 |- ( ph -> G : U. J --> U. K )
12 nnuz 9628 . . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
13 1zzd 9344 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
145, 12, 13lmbr2 14382 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( U. J ^pm CC ) /\ P e. U. J /\ A. v e. J ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) ) ) )
151, 14mpbid 147 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F e. ( U. J ^pm CC ) /\ P e. U. J /\ A. v e. J ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) ) )
1615simp1d 1011 . . . . . . 7 |- ( ph -> F e. ( U. J ^pm CC ) )
17 uniexg 4470 . . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> U. J e. _V )
183, 17syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ph -> U. J e. _V )
19 cnex 7996 . . . . . . . 8 |- CC e. _V
20 elpm2g 6719 . . . . . . . 8 |- ( ( U. J e. _V /\ CC e. _V ) -> ( F e. ( U. J ^pm CC ) <-> ( F : dom F --> U. J /\ dom F C_ CC ) ) )
2118, 19, 20sylancl 413 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( F e. ( U. J ^pm CC ) <-> ( F : dom F --> U. J /\ dom F C_ CC ) ) )
2216, 21mpbid 147 . . . . . 6 |- ( ph -> ( F : dom F --> U. J /\ dom F C_ CC ) )
2322simpld 112 . . . . 5 |- ( ph -> F : dom F --> U. J )
24 fco 5419 . . . . 5 |- ( ( G : U. J --> U. K /\ F : dom F --> U. J ) -> ( G o. F ) : dom F --> U. K )
2511, 23, 24syl2anc 411 . . . 4 |- ( ph -> ( G o. F ) : dom F --> U. K )
2625fdmd 5410 . . . . 5 |- ( ph -> dom ( G o. F ) = dom F )
2726feq2d 5391 . . . 4 |- ( ph -> ( ( G o. F ) : dom ( G o. F ) --> U. K <-> ( G o. F ) : dom F --> U. K ) )
2825, 27mpbird 167 . . 3 |- ( ph -> ( G o. F ) : dom ( G o. F ) --> U. K )
2922simprd 114 . . . 4 |- ( ph -> dom F C_ CC )
3026, 29eqsstrd 3215 . . 3 |- ( ph -> dom ( G o. F ) C_ CC )
31 uniexg 4470 . . . . 5 |- ( K e. Top -> U. K e. _V )
326, 31syl 14 . . . 4 |- ( ph -> U. K e. _V )
33 elpm2g 6719 . . . 4 |- ( ( U. K e. _V /\ CC e. _V ) -> ( ( G o. F ) e. ( U. K ^pm CC ) <-> ( ( G o. F ) : dom ( G o. F ) --> U. K /\ dom ( G o. F ) C_ CC ) ) )
3432, 19, 33sylancl 413 . . 3 |- ( ph -> ( ( G o. F ) e. ( U. K ^pm CC ) <-> ( ( G o. F ) : dom ( G o. F ) --> U. K /\ dom ( G o. F ) C_ CC ) ) )
3528, 30, 34mpbir2and 946 . 2 |- ( ph -> ( G o. F ) e. ( U. K ^pm CC ) )
3615simp2d 1012 . . 3 |- ( ph -> P e. U. J )
3711, 36ffvelcdmd 5694 . 2 |- ( ph -> ( G ` P ) e. U. K )
3815simp3d 1013 . . . . . 6 |- ( ph -> A. v e. J ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) )
3938adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> A. v e. J ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) )
405adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
418adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
4236adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> P e. U. J )
439adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> G e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
44 simprl 529 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> u e. K )
45 simprr 531 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> ( G ` P ) e. u )
46 icnpimaex 14379 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ P e. U. J ) /\ ( G e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> E. v e. J ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) )
4740, 41, 42, 43, 44, 45, 46syl33anc 1264 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> E. v e. J ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) )
48 r19.29 2631 . . . . . . 7 |- ( ( A. v e. J ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) /\ E. v e. J ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> E. v e. J ( ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) /\ ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) ) )
49 pm3.45 597 . . . . . . . . 9 |- ( ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) -> ( ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) /\ ( G " v ) C_ u ) ) )
5049imp 124 . . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) /\ ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) /\ ( G " v ) C_ u ) )
5150reximi 2591 . . . . . . 7 |- ( E. v e. J ( ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) /\ ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> E. v e. J ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) /\ ( G " v ) C_ u ) )
5248, 51syl 14 . . . . . 6 |- ( ( A. v e. J ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) /\ E. v e. J ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> E. v e. J ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) /\ ( G " v ) C_ u ) )
5311ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> G : U. J --> U. K )
5453ffnd 5404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> G Fn U. J )
55 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> v e. J )
56 elssuni 3863 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. J -> v C_ U. J )
5755, 56syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> v C_ U. J )
58 fnfvima 5793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G Fn U. J /\ v C_ U. J /\ ( F ` k ) e. v ) -> ( G ` ( F ` k ) ) e. ( G " v ) )
59583expia 1207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G Fn U. J /\ v C_ U. J ) -> ( ( F ` k ) e. v -> ( G ` ( F ` k ) ) e. ( G " v ) ) )
6054, 57, 59syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> ( ( F ` k ) e. v -> ( G ` ( F ` k ) ) e. ( G " v ) ) )
6123ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> F : dom F --> U. J )
62 fvco3 5628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F : dom F --> U. J /\ k e. dom F ) -> ( ( G o. F ) ` k ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
6361, 62sylan 283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> ( ( G o. F ) ` k ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
6463eleq1d 2262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> ( ( ( G o. F ) ` k ) e. ( G " v ) <-> ( G ` ( F ` k ) ) e. ( G " v ) ) )
6560, 64sylibrd 169 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> ( ( F ` k ) e. v -> ( ( G o. F ) ` k ) e. ( G " v ) ) )
66 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> ( G " v ) C_ u )
6766sseld 3178 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> ( ( ( G o. F ) ` k ) e. ( G " v ) -> ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) )
6865, 67syld 45 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> ( ( F ` k ) e. v -> ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) )
69 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> k e. dom F )
7026ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> dom ( G o. F ) = dom F )
7169, 70eleqtrrd 2273 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> k e. dom ( G o. F ) )
7268, 71jctild 316 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> ( ( F ` k ) e. v -> ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
7372expimpd 363 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) -> ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
7473ralimdv 2562 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
7574reximdv 2595 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
7675expr 375 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ v e. J ) -> ( ( G " v ) C_ u -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) ) )
7776com23 78 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ v e. J ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) -> ( ( G " v ) C_ u -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) ) )
7877impd 254 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ v e. J ) -> ( ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) /\ ( G " v ) C_ u ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
7978rexlimdva 2611 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> ( E. v e. J ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) /\ ( G " v ) C_ u ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
8052, 79syl5 32 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> ( ( A. v e. J ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) /\ E. v e. J ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
8139, 47, 80mp2and 433 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) )
8281expr 375 . . 3 |- ( ( ph /\ u e. K ) -> ( ( G ` P ) e. u -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
8382ralrimiva 2567 . 2 |- ( ph -> A. u e. K ( ( G ` P ) e. u -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
848, 12, 13lmbr2 14382 . 2 |- ( ph -> ( ( G o. F ) ( ~~> t ` K ) ( G ` P ) <-> ( ( G o. F ) e. ( U. K ^pm CC ) /\ ( G ` P ) e. U. K /\ A. u e. K ( ( G ` P ) e. u -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) ) ) )
8535, 37, 83, 84mpbir3and 1182 1 |- ( ph -> ( G o. F ) ( ~~> t ` K ) ( G ` P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   _Vcvv 2760   C_ wss 3153   U.cuni 3835   class class class wbr 4029   dom cdm 4659   "cima 4662   o. ccom 4663   Fn wfn 5249   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   ^pm cpm 6703   CCcc 7870   1c1 7873   NNcn 8982   ZZ>=cuz 9592   Topctop 14165  TopOnctopon 14178   CnP ccnp 14354   ~~> tclm 14355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-map 6704  df-pm 6705  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-top 14166  df-topon 14179  df-cnp 14357  df-lm 14358
This theorem is referenced by:  lmcn  14419
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