Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmtopcnp Unicode version

Theorem lmtopcnp 12456
 Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lmcnp.3
lmcnp.k
lmcnp.4
Assertion
Ref Expression
lmtopcnp

Proof of Theorem lmtopcnp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmcnp.3 . . . . . . . 8
2 lmrcl 12397 . . . . . . . 8
31, 2syl 14 . . . . . . 7
4 toptopon2 12223 . . . . . . 7 TopOn
53, 4sylib 121 . . . . . 6 TopOn
6 lmcnp.k . . . . . . 7
7 toptopon2 12223 . . . . . . 7 TopOn
86, 7sylib 121 . . . . . 6 TopOn
9 lmcnp.4 . . . . . 6
10 cnpf2 12413 . . . . . 6 TopOn TopOn
115, 8, 9, 10syl3anc 1217 . . . . 5
12 nnuz 9384 . . . . . . . . . 10
13 1zzd 9104 . . . . . . . . . 10
145, 12, 13lmbr2 12420 . . . . . . . . 9
151, 14mpbid 146 . . . . . . . 8
1615simp1d 994 . . . . . . 7
17 uniexg 4368 . . . . . . . . 9
183, 17syl 14 . . . . . . . 8
19 cnex 7767 . . . . . . . 8
20 elpm2g 6566 . . . . . . . 8
2118, 19, 20sylancl 410 . . . . . . 7
2216, 21mpbid 146 . . . . . 6
2322simpld 111 . . . . 5
24 fco 5295 . . . . 5
2511, 23, 24syl2anc 409 . . . 4
2625fdmd 5286 . . . . 5
2726feq2d 5267 . . . 4
2825, 27mpbird 166 . . 3
2922simprd 113 . . . 4
3026, 29eqsstrd 3137 . . 3
31 uniexg 4368 . . . . 5
326, 31syl 14 . . . 4
33 elpm2g 6566 . . . 4
3432, 19, 33sylancl 410 . . 3
3528, 30, 34mpbir2and 929 . 2
3615simp2d 995 . . 3
3711, 36ffvelrnd 5563 . 2
3815simp3d 996 . . . . . 6
3938adantr 274 . . . . 5
405adantr 274 . . . . . 6 TopOn
418adantr 274 . . . . . 6 TopOn
4236adantr 274 . . . . . 6
439adantr 274 . . . . . 6
44 simprl 521 . . . . . 6
45 simprr 522 . . . . . 6
46 icnpimaex 12417 . . . . . 6 TopOn TopOn
4740, 41, 42, 43, 44, 45, 46syl33anc 1232 . . . . 5
48 r19.29 2572 . . . . . . 7
49 pm3.45 587 . . . . . . . . 9
5049imp 123 . . . . . . . 8
5150reximi 2532 . . . . . . 7
5248, 51syl 14 . . . . . 6
5311ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5453ffnd 5280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
55 simplrl 525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
56 elssuni 3771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5755, 56syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
58 fnfvima 5659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
59583expia 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6054, 57, 59syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6123ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62 fvco3 5499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6361, 62sylan 281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6463eleq1d 2209 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6560, 64sylibrd 168 . . . . . . . . . . . . . . 15
66 simplrr 526 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6766sseld 3100 . . . . . . . . . . . . . . 15
6865, 67syld 45 . . . . . . . . . . . . . 14
69 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15
7026ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15
7169, 70eleqtrrd 2220 . . . . . . . . . . . . . 14
7268, 71jctild 314 . . . . . . . . . . . . 13
7372expimpd 361 . . . . . . . . . . . 12
7473ralimdv 2503 . . . . . . . . . . 11
7574reximdv 2536 . . . . . . . . . 10
7675expr 373 . . . . . . . . 9
7776com23 78 . . . . . . . 8
7877impd 252 . . . . . . 7
7978rexlimdva 2552 . . . . . 6
8052, 79syl5 32 . . . . 5
8139, 47, 80mp2and 430 . . . 4
8281expr 373 . . 3
8382ralrimiva 2508 . 2
848, 12, 13lmbr2 12420 . 2
8535, 37, 83, 84mpbir3and 1165 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   w3a 963   wceq 1332   wcel 1481  wral 2417  wrex 2418  cvv 2689   wss 3075  cuni 3743   class class class wbr 3936   cdm 4546  cima 4549   ccom 4550   wfn 5125  wf 5126  cfv 5130  (class class class)co 5781   cpm 6550  cc 7641  c1 7644  cn 8743  cuz 9349  ctop 12201  TopOnctopon 12214   ccnp 12392  clm 12393 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-map 6551  df-pm 6552  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-top 12202  df-topon 12215  df-cnp 12395  df-lm 12396 This theorem is referenced by:  lmcn  12457
 Copyright terms: Public domain W3C validator