ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmtopcnp Unicode version
Theorem lmtopcnp 15241
Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lmcnp.3 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) P )
lmcnp.k |- ( ph -> K e. Top )
lmcnp.4 |- ( ph -> G e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
Assertion
Ref Expression
lmtopcnp |- ( ph -> ( G o. F ) ( ~~> t ` K ) ( G ` P ) )
Proof of Theorem lmtopcnp
Dummy variables j k u v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmcnp.3 . . . . . . . 8 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) P )
2 lmrcl 15183 . . . . . . . 8 |- ( F ( ~~> t ` J ) P -> J e. Top )
31, 2syl 14 . . . . . . 7 |- ( ph -> J e. Top )
4 toptopon2 15010 . . . . . . 7 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
53, 4sylib 122 . . . . . 6 |- ( ph -> J e. (TopOn ` U. J ) )
6 lmcnp.k . . . . . . 7 |- ( ph -> K e. Top )
7 toptopon2 15010 . . . . . . 7 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
86, 7sylib 122 . . . . . 6 |- ( ph -> K e. (TopOn ` U. K ) )
9 lmcnp.4 . . . . . 6 |- ( ph -> G e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
10 cnpf2 15198 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ G e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> G : U. J --> U. K )
115, 8, 9, 10syl3anc 1274 . . . . 5 |- ( ph -> G : U. J --> U. K )
12 nnuz 9908 . . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
13 1zzd 9621 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
145, 12, 13lmbr2 15205 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( U. J ^pm CC ) /\ P e. U. J /\ A. v e. J ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) ) ) )
151, 14mpbid 147 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F e. ( U. J ^pm CC ) /\ P e. U. J /\ A. v e. J ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) ) )
1615simp1d 1036 . . . . . . 7 |- ( ph -> F e. ( U. J ^pm CC ) )
17 uniexg 4565 . . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> U. J e. _V )
183, 17syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ph -> U. J e. _V )
19 cnex 8267 . . . . . . . 8 |- CC e. _V
20 elpm2g 6912 . . . . . . . 8 |- ( ( U. J e. _V /\ CC e. _V ) -> ( F e. ( U. J ^pm CC ) <-> ( F : dom F --> U. J /\ dom F C_ CC ) ) )
2118, 19, 20sylancl 413 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( F e. ( U. J ^pm CC ) <-> ( F : dom F --> U. J /\ dom F C_ CC ) ) )
2216, 21mpbid 147 . . . . . 6 |- ( ph -> ( F : dom F --> U. J /\ dom F C_ CC ) )
2322simpld 112 . . . . 5 |- ( ph -> F : dom F --> U. J )
24 fco 5532 . . . . 5 |- ( ( G : U. J --> U. K /\ F : dom F --> U. J ) -> ( G o. F ) : dom F --> U. K )
2511, 23, 24syl2anc 411 . . . 4 |- ( ph -> ( G o. F ) : dom F --> U. K )
2625fdmd 5520 . . . . 5 |- ( ph -> dom ( G o. F ) = dom F )
2726feq2d 5501 . . . 4 |- ( ph -> ( ( G o. F ) : dom ( G o. F ) --> U. K <-> ( G o. F ) : dom F --> U. K ) )
2825, 27mpbird 167 . . 3 |- ( ph -> ( G o. F ) : dom ( G o. F ) --> U. K )
2922simprd 114 . . . 4 |- ( ph -> dom F C_ CC )
3026, 29eqsstrd 3278 . . 3 |- ( ph -> dom ( G o. F ) C_ CC )
31 uniexg 4565 . . . . 5 |- ( K e. Top -> U. K e. _V )
326, 31syl 14 . . . 4 |- ( ph -> U. K e. _V )
33 elpm2g 6912 . . . 4 |- ( ( U. K e. _V /\ CC e. _V ) -> ( ( G o. F ) e. ( U. K ^pm CC ) <-> ( ( G o. F ) : dom ( G o. F ) --> U. K /\ dom ( G o. F ) C_ CC ) ) )
3432, 19, 33sylancl 413 . . 3 |- ( ph -> ( ( G o. F ) e. ( U. K ^pm CC ) <-> ( ( G o. F ) : dom ( G o. F ) --> U. K /\ dom ( G o. F ) C_ CC ) ) )
3528, 30, 34mpbir2and 953 . 2 |- ( ph -> ( G o. F ) e. ( U. K ^pm CC ) )
3615simp2d 1037 . . 3 |- ( ph -> P e. U. J )
3711, 36ffvelcdmd 5818 . 2 |- ( ph -> ( G ` P ) e. U. K )
3815simp3d 1038 . . . . . 6 |- ( ph -> A. v e. J ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) )
3938adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> A. v e. J ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) )
405adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
418adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
4236adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> P e. U. J )
439adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> G e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
44 simprl 531 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> u e. K )
45 simprr 533 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> ( G ` P ) e. u )
46 icnpimaex 15202 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ P e. U. J ) /\ ( G e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> E. v e. J ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) )
4740, 41, 42, 43, 44, 45, 46syl33anc 1289 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> E. v e. J ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) )
48 r19.29 2682 . . . . . . 7 |- ( ( A. v e. J ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) /\ E. v e. J ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> E. v e. J ( ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) /\ ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) ) )
49 pm3.45 601 . . . . . . . . 9 |- ( ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) -> ( ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) /\ ( G " v ) C_ u ) ) )
5049imp 124 . . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) /\ ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) /\ ( G " v ) C_ u ) )
5150reximi 2641 . . . . . . 7 |- ( E. v e. J ( ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) /\ ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> E. v e. J ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) /\ ( G " v ) C_ u ) )
5248, 51syl 14 . . . . . 6 |- ( ( A. v e. J ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) /\ E. v e. J ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> E. v e. J ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) /\ ( G " v ) C_ u ) )
5311ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> G : U. J --> U. K )
5453ffnd 5514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> G Fn U. J )
55 simplrl 537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> v e. J )
56 elssuni 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. J -> v C_ U. J )
5755, 56syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> v C_ U. J )
58 fnfvima 5926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G Fn U. J /\ v C_ U. J /\ ( F ` k ) e. v ) -> ( G ` ( F ` k ) ) e. ( G " v ) )
59583expia 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G Fn U. J /\ v C_ U. J ) -> ( ( F ` k ) e. v -> ( G ` ( F ` k ) ) e. ( G " v ) ) )
6054, 57, 59syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> ( ( F ` k ) e. v -> ( G ` ( F ` k ) ) e. ( G " v ) ) )
6123ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> F : dom F --> U. J )
62 fvco3 5753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F : dom F --> U. J /\ k e. dom F ) -> ( ( G o. F ) ` k ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
6361, 62sylan 283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> ( ( G o. F ) ` k ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
6463eleq1d 2303 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> ( ( ( G o. F ) ` k ) e. ( G " v ) <-> ( G ` ( F ` k ) ) e. ( G " v ) ) )
6560, 64sylibrd 169 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> ( ( F ` k ) e. v -> ( ( G o. F ) ` k ) e. ( G " v ) ) )
66 simplrr 538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> ( G " v ) C_ u )
6766sseld 3241 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> ( ( ( G o. F ) ` k ) e. ( G " v ) -> ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) )
6865, 67syld 45 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> ( ( F ` k ) e. v -> ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) )
69 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> k e. dom F )
7026ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> dom ( G o. F ) = dom F )
7169, 70eleqtrrd 2314 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> k e. dom ( G o. F ) )
7268, 71jctild 316 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> ( ( F ` k ) e. v -> ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
7372expimpd 363 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) -> ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
7473ralimdv 2612 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
7574reximdv 2645 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
7675expr 375 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ v e. J ) -> ( ( G " v ) C_ u -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) ) )
7776com23 78 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ v e. J ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) -> ( ( G " v ) C_ u -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) ) )
7877impd 254 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ v e. J ) -> ( ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) /\ ( G " v ) C_ u ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
7978rexlimdva 2662 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> ( E. v e. J ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) /\ ( G " v ) C_ u ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
8052, 79syl5 32 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> ( ( A. v e. J ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) /\ E. v e. J ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
8139, 47, 80mp2and 433 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) )
8281expr 375 . . 3 |- ( ( ph /\ u e. K ) -> ( ( G ` P ) e. u -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
8382ralrimiva 2617 . 2 |- ( ph -> A. u e. K ( ( G ` P ) e. u -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
848, 12, 13lmbr2 15205 . 2 |- ( ph -> ( ( G o. F ) ( ~~> t ` K ) ( G ` P ) <-> ( ( G o. F ) e. ( U. K ^pm CC ) /\ ( G ` P ) e. U. K /\ A. u e. K ( ( G ` P ) e. u -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) ) ) )
8535, 37, 83, 84mpbir3and 1207 1 |- ( ph -> ( G o. F ) ( ~~> t ` K ) ( G ` P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   _Vcvv 2815   C_ wss 3214   U.cuni 3919   class class class wbr 4114   dom cdm 4754   "cima 4757   o. ccom 4758   Fn wfn 5352   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   ^pm cpm 6896   CCcc 8141   1c1 8144   NNcn 9254   ZZ>=cuz 9871   Topctop 14988  TopOnctopon 15001   CnP ccnp 15177   ~~> tclm 15178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-map 6897  df-pm 6898  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-top 14989  df-topon 15002  df-cnp 15180  df-lm 15181
This theorem is referenced by:  lmcn  15242
  Copyright terms: Public domain W3C validator