ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmtopcnp Unicode version

Theorem lmtopcnp 14227
Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lmcnp.3  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) P )
lmcnp.k  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
lmcnp.4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P ) )
Assertion
Ref Expression
lmtopcnp  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) ( ~~> t `  K ) ( G `
 P ) )

Proof of Theorem lmtopcnp
Dummy variables  j  k  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmcnp.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) P )
2 lmrcl 14168 . . . . . . . 8  |-  ( F ( ~~> t `  J
) P  ->  J  e.  Top )
31, 2syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
4 toptopon2 13996 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
53, 4sylib 122 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
6 lmcnp.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
7 toptopon2 13996 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
86, 7sylib 122 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
9 lmcnp.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P ) )
10 cnpf2 14184 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )
)  ->  G : U. J --> U. K )
115, 8, 9, 10syl3anc 1249 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : U. J --> U. K )
12 nnuz 9595 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
13 1zzd 9311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
145, 12, 13lmbr2 14191 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( U. J  ^pm  CC )  /\  P  e. 
U. J  /\  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) ) ) ) )
151, 14mpbid 147 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U. J  ^pm  CC )  /\  P  e.  U. J  /\  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) ) ) )
1615simp1d 1011 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( U. J  ^pm  CC ) )
17 uniexg 4457 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
183, 17syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. J  e.  _V )
19 cnex 7966 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
20 elpm2g 6692 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. J  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( U. J  ^pm  CC ) 
<->  ( F : dom  F --> U. J  /\  dom  F 
C_  CC ) ) )
2118, 19, 20sylancl 413 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U. J  ^pm  CC ) 
<->  ( F : dom  F --> U. J  /\  dom  F 
C_  CC ) ) )
2216, 21mpbid 147 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F : dom  F --> U. J  /\  dom  F 
C_  CC ) )
2322simpld 112 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> U. J )
24 fco 5400 . . . . 5  |-  ( ( G : U. J --> U. K  /\  F : dom  F --> U. J )  -> 
( G  o.  F
) : dom  F --> U. K )
2511, 23, 24syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) : dom  F --> U. K )
2625fdmd 5391 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( G  o.  F )  =  dom  F )
2726feq2d 5372 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F ) : dom  ( G  o.  F
) --> U. K  <->  ( G  o.  F ) : dom  F --> U. K ) )
2825, 27mpbird 167 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) : dom  ( G  o.  F ) --> U. K )
2922simprd 114 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  CC )
3026, 29eqsstrd 3206 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( G  o.  F )  C_  CC )
31 uniexg 4457 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  ->  U. K  e.  _V )
326, 31syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. K  e.  _V )
33 elpm2g 6692 . . . 4  |-  ( ( U. K  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  ->  ( ( G  o.  F )  e.  ( U. K  ^pm  CC ) 
<->  ( ( G  o.  F ) : dom  ( G  o.  F
) --> U. K  /\  dom  ( G  o.  F
)  C_  CC )
) )
3432, 19, 33sylancl 413 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F )  e.  ( U. K  ^pm  CC ) 
<->  ( ( G  o.  F ) : dom  ( G  o.  F
) --> U. K  /\  dom  ( G  o.  F
)  C_  CC )
) )
3528, 30, 34mpbir2and 946 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  e.  ( U. K  ^pm  CC ) )
3615simp2d 1012 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  U. J
)
3711, 36ffvelcdmd 5673 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  P
)  e.  U. K
)
3815simp3d 1013 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) ) )
3938adantr 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  ->  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) ) )
405adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
418adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
4236adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  ->  P  e.  U. J )
439adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )
44 simprl 529 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  ->  u  e.  K )
45 simprr 531 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  -> 
( G `  P
)  e.  u )
46 icnpimaex 14188 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  P  e.  U. J )  /\  ( G  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( G " v )  C_  u ) )
4740, 41, 42, 43, 44, 45, 46syl33anc 1264 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( G " v
)  C_  u )
)
48 r19.29 2627 . . . . . . 7  |-  ( ( A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  /\  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  /\  ( P  e.  v  /\  ( G " v ) 
C_  u ) ) )
49 pm3.45 597 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  ->  ( ( P  e.  v  /\  ( G " v )  C_  u )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  /\  ( G " v ) 
C_  u ) ) )
5049imp 124 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  /\  ( P  e.  v  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  -> 
( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  /\  ( G
" v )  C_  u ) )
5150reximi 2587 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  J  ( ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  /\  ( P  e.  v  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  /\  ( G " v ) 
C_  u ) )
5248, 51syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  /\  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  /\  ( G " v ) 
C_  u ) )
5311ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  G : U. J
--> U. K )
5453ffnd 5385 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  G  Fn  U. J )
55 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  v  e.  J
)
56 elssuni 3852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  J  ->  v  C_ 
U. J )
5755, 56syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  v  C_  U. J
)
58 fnfvima 5772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  Fn  U. J  /\  v  C_  U. J  /\  ( F `  k
)  e.  v )  ->  ( G `  ( F `  k ) )  e.  ( G
" v ) )
59583expia 1207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  Fn  U. J  /\  v  C_  U. J
)  ->  ( ( F `  k )  e.  v  ->  ( G `
 ( F `  k ) )  e.  ( G " v
) ) )
6054, 57, 59syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( F `
 k )  e.  v  ->  ( G `  ( F `  k
) )  e.  ( G " v ) ) )
6123ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  ->  F : dom  F --> U. J
)
62 fvco3 5608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : dom  F --> U. J  /\  k  e.  dom  F )  -> 
( ( G  o.  F ) `  k
)  =  ( G `
 ( F `  k ) ) )
6361, 62sylan 283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  =  ( G `  ( F `
 k ) ) )
6463eleq1d 2258 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( ( G  o.  F ) `
 k )  e.  ( G " v
)  <->  ( G `  ( F `  k ) )  e.  ( G
" v ) ) )
6560, 64sylibrd 169 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( F `
 k )  e.  v  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  ( G " v ) ) )
66 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( G "
v )  C_  u
)
6766sseld 3169 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( ( G  o.  F ) `
 k )  e.  ( G " v
)  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  u
) )
6865, 67syld 45 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( F `
 k )  e.  v  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  u
) )
69 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  k  e.  dom  F )
7026ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  dom  ( G  o.  F )  =  dom  F )
7169, 70eleqtrrd 2269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  k  e.  dom  ( G  o.  F
) )
7268, 71jctild 316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( F `
 k )  e.  v  ->  ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  (
( G  o.  F
) `  k )  e.  u ) ) )
7372expimpd 363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  -> 
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  ->  (
k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) )
7473ralimdv 2558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  -> 
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( G  o.  F
)  /\  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  u
) ) )
7574reximdv 2591 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  -> 
( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( G  o.  F
)  /\  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  u
) ) )
7675expr 375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  ( ( G " v )  C_  u  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( G  o.  F
)  /\  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  u
) ) ) )
7776com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  ->  ( ( G " v )  C_  u  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) ) )
7877impd 254 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  ( ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  /\  ( G " v ) 
C_  u )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) )
7978rexlimdva 2607 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  -> 
( E. v  e.  J  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  /\  ( G
" v )  C_  u )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( G  o.  F
)  /\  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  u
) ) )
8052, 79syl5 32 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  -> 
( ( A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  /\  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( G " v ) 
C_  u ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) )
8139, 47, 80mp2and 433 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) )
8281expr 375 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  (
( G `  P
)  e.  u  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) )
8382ralrimiva 2563 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  K  ( ( G `  P )  e.  u  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) )
848, 12, 13lmbr2 14191 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F ) ( ~~> t `  K ) ( G `
 P )  <->  ( ( G  o.  F )  e.  ( U. K  ^pm  CC )  /\  ( G `
 P )  e. 
U. K  /\  A. u  e.  K  (
( G `  P
)  e.  u  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) ) ) )
8535, 37, 83, 84mpbir3and 1182 1  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) ( ~~> t `  K ) ( G `
 P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   _Vcvv 2752    C_ wss 3144   U.cuni 3824   class class class wbr 4018   dom cdm 4644   "cima 4647    o. ccom 4648    Fn wfn 5230   -->wf 5231   ` cfv 5235  (class class class)co 5897    ^pm cpm 6676   CCcc 7840   1c1 7843   NNcn 8950   ZZ>=cuz 9559   Topctop 13974  TopOnctopon 13987    CnP ccnp 14163   ~~> tclm 14164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-map 6677  df-pm 6678  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-inn 8951  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-top 13975  df-topon 13988  df-cnp 14166  df-lm 14167
This theorem is referenced by:  lmcn  14228
  Copyright terms: Public domain W3C validator