Theorem elpm2r 6940

Description: Sufficient condition for being a partial function. (Contributed by NM, 31-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elpm2r	|- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( F : C --> A /\ C C_ B ) ) -> F e. ( A ^pm B ) )

Proof of Theorem elpm2r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdm 5539	. . . . . . 7 |- ( F : C --> A -> dom F = C )
2	1	feq2d 5521	. . . . . 6 |- ( F : C --> A -> ( F : dom F --> A <-> F : C --> A ) )
3	1	sseq1d 3277	. . . . . 6 |- ( F : C --> A -> ( dom F C_ B <-> C C_ B ) )
4	2, 3	anbi12d 477	. . . . 5 |- ( F : C --> A -> ( ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) <-> ( F : C --> A /\ C C_ B ) ) )
5	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( F : C --> A /\ C C_ B ) -> ( ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) <-> ( F : C --> A /\ C C_ B ) ) )
6	5	ibir 177	. . 3 |- ( ( F : C --> A /\ C C_ B ) -> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) )
7		elpm2g 6939	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( F e. ( A ^pm B ) <-> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) ) )
8	6, 7	imbitrrid 156	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( ( F : C --> A /\ C C_ B ) -> F e. ( A ^pm B ) ) )
9	8	imp 124	1 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( F : C --> A /\ C C_ B ) ) -> F e. ( A ^pm B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   C_ wss 3220   dom cdm 4774   -->wf 5373  (class class class)co 6085   ^pm cpm 6923

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pm 6925

This theorem is used by:  fpmg  6955  pmresg  6957  ennnfonelemg  13294  lmbrf  15316  ellimc3apf  15761  dvfvalap  15782  dvmulxxbr  15803  dvaddxx  15804  dvmulxx  15805  dviaddf  15806  dvimulf  15807  dvcoapbr  15808  dvmptclx  15819