Theorem elpm2r 6753

Description: Sufficient condition for being a partial function. (Contributed by NM, 31-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elpm2r	|- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( F : C --> A /\ C C_ B ) ) -> F e. ( A ^pm B ) )

Proof of Theorem elpm2r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdm 5431	. . . . . . 7 |- ( F : C --> A -> dom F = C )
2	1	feq2d 5413	. . . . . 6 |- ( F : C --> A -> ( F : dom F --> A <-> F : C --> A ) )
3	1	sseq1d 3222	. . . . . 6 |- ( F : C --> A -> ( dom F C_ B <-> C C_ B ) )
4	2, 3	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( F : C --> A -> ( ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) <-> ( F : C --> A /\ C C_ B ) ) )
5	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( F : C --> A /\ C C_ B ) -> ( ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) <-> ( F : C --> A /\ C C_ B ) ) )
6	5	ibir 177	. . 3 |- ( ( F : C --> A /\ C C_ B ) -> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) )
7		elpm2g 6752	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( F e. ( A ^pm B ) <-> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) ) )
8	6, 7	imbitrrid 156	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( ( F : C --> A /\ C C_ B ) -> F e. ( A ^pm B ) ) )
9	8	imp 124	1 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( F : C --> A /\ C C_ B ) ) -> F e. ( A ^pm B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2176   C_ wss 3166   dom cdm 4675   -->wf 5267  (class class class)co 5944   ^pm cpm 6736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pm 6738

This theorem is referenced by:  fpmg  6761  pmresg  6763  ennnfonelemg  12774  lmbrf  14687  ellimc3apf  15132  dvfvalap  15153  dvmulxxbr  15174  dvaddxx  15175  dvmulxx  15176  dviaddf  15177  dvimulf  15178  dvcoapbr  15179  dvmptclx  15190