Theorem elpm2r 6725

Description: Sufficient condition for being a partial function. (Contributed by NM, 31-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elpm2r	|- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( F : C --> A /\ C C_ B ) ) -> F e. ( A ^pm B ) )

Proof of Theorem elpm2r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdm 5413	. . . . . . 7 |- ( F : C --> A -> dom F = C )
2	1	feq2d 5395	. . . . . 6 |- ( F : C --> A -> ( F : dom F --> A <-> F : C --> A ) )
3	1	sseq1d 3212	. . . . . 6 |- ( F : C --> A -> ( dom F C_ B <-> C C_ B ) )
4	2, 3	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( F : C --> A -> ( ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) <-> ( F : C --> A /\ C C_ B ) ) )
5	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( F : C --> A /\ C C_ B ) -> ( ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) <-> ( F : C --> A /\ C C_ B ) ) )
6	5	ibir 177	. . 3 |- ( ( F : C --> A /\ C C_ B ) -> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) )
7		elpm2g 6724	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( F e. ( A ^pm B ) <-> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) ) )
8	6, 7	imbitrrid 156	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( ( F : C --> A /\ C C_ B ) -> F e. ( A ^pm B ) ) )
9	8	imp 124	1 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( F : C --> A /\ C C_ B ) ) -> F e. ( A ^pm B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2167   C_ wss 3157   dom cdm 4663   -->wf 5254  (class class class)co 5922   ^pm cpm 6708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pm 6710

This theorem is referenced by:  fpmg  6733  pmresg  6735  ennnfonelemg  12620  lmbrf  14451  ellimc3apf  14896  dvfvalap  14917  dvmulxxbr  14938  dvaddxx  14939  dvmulxx  14940  dviaddf  14941  dvimulf  14942  dvcoapbr  14943  dvmptclx  14954