Theorem elpm2r 6623

Description: Sufficient condition for being a partial function. (Contributed by NM, 31-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elpm2r	|- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( F : C --> A /\ C C_ B ) ) -> F e. ( A ^pm B ) )

Proof of Theorem elpm2r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdm 5337	. . . . . . 7 |- ( F : C --> A -> dom F = C )
2	1	feq2d 5319	. . . . . 6 |- ( F : C --> A -> ( F : dom F --> A <-> F : C --> A ) )
3	1	sseq1d 3166	. . . . . 6 |- ( F : C --> A -> ( dom F C_ B <-> C C_ B ) )
4	2, 3	anbi12d 465	. . . . 5 |- ( F : C --> A -> ( ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) <-> ( F : C --> A /\ C C_ B ) ) )
5	4	adantr 274	. . . 4 |- ( ( F : C --> A /\ C C_ B ) -> ( ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) <-> ( F : C --> A /\ C C_ B ) ) )
6	5	ibir 176	. . 3 |- ( ( F : C --> A /\ C C_ B ) -> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) )
7		elpm2g 6622	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( F e. ( A ^pm B ) <-> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) ) )
8	6, 7	syl5ibr 155	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( ( F : C --> A /\ C C_ B ) -> F e. ( A ^pm B ) ) )
9	8	imp 123	1 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( F : C --> A /\ C C_ B ) ) -> F e. ( A ^pm B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2135   C_ wss 3111   dom cdm 4598   -->wf 5178  (class class class)co 5836   ^pm cpm 6606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-pm 6608

This theorem is referenced by:  fpmg  6631  pmresg  6633  ennnfonelemg  12273  lmbrf  12756  ellimc3apf  13170  dvfvalap  13191  dvmulxxbr  13207  dvaddxx  13208  dvmulxx  13209  dviaddf  13210  dvimulf  13211  dvcoapbr  13212  dvmptclx  13221