ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elpm2r Unicode version

Theorem elpm2r 6696
Description: Sufficient condition for being a partial function. (Contributed by NM, 31-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
elpm2r  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  ( F : C --> A  /\  C  C_  B ) )  ->  F  e.  ( A  ^pm  B ) )

Proof of Theorem elpm2r
StepHypRef Expression
1 fdm 5393 . . . . . . 7  |-  ( F : C --> A  ->  dom  F  =  C )
21feq2d 5375 . . . . . 6  |-  ( F : C --> A  -> 
( F : dom  F --> A  <->  F : C --> A ) )
31sseq1d 3199 . . . . . 6  |-  ( F : C --> A  -> 
( dom  F  C_  B  <->  C 
C_  B ) )
42, 3anbi12d 473 . . . . 5  |-  ( F : C --> A  -> 
( ( F : dom  F --> A  /\  dom  F 
C_  B )  <->  ( F : C --> A  /\  C  C_  B ) ) )
54adantr 276 . . . 4  |-  ( ( F : C --> A  /\  C  C_  B )  -> 
( ( F : dom  F --> A  /\  dom  F 
C_  B )  <->  ( F : C --> A  /\  C  C_  B ) ) )
65ibir 177 . . 3  |-  ( ( F : C --> A  /\  C  C_  B )  -> 
( F : dom  F --> A  /\  dom  F  C_  B ) )
7 elpm2g 6695 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( F  e.  ( A  ^pm  B )  <->  ( F : dom  F --> A  /\  dom  F  C_  B ) ) )
86, 7imbitrrid 156 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( ( F : C
--> A  /\  C  C_  B )  ->  F  e.  ( A  ^pm  B
) ) )
98imp 124 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  ( F : C --> A  /\  C  C_  B ) )  ->  F  e.  ( A  ^pm  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    e. wcel 2160    C_ wss 3144   dom cdm 4647   -->wf 5234  (class class class)co 5900    ^pm cpm 6679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-br 4022  df-opab 4083  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-fv 5246  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-pm 6681
This theorem is referenced by:  fpmg  6704  pmresg  6706  ennnfonelemg  12465  lmbrf  14200  ellimc3apf  14614  dvfvalap  14635  dvmulxxbr  14651  dvaddxx  14652  dvmulxx  14653  dviaddf  14654  dvimulf  14655  dvcoapbr  14656  dvmptclx  14665
  Copyright terms: Public domain W3C validator