ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elpm2r Unicode version

Theorem elpm2r 6566
Description: Sufficient condition for being a partial function. (Contributed by NM, 31-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
elpm2r  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  ( F : C --> A  /\  C  C_  B ) )  ->  F  e.  ( A  ^pm  B ) )

Proof of Theorem elpm2r
StepHypRef Expression
1 fdm 5284 . . . . . . 7  |-  ( F : C --> A  ->  dom  F  =  C )
21feq2d 5266 . . . . . 6  |-  ( F : C --> A  -> 
( F : dom  F --> A  <->  F : C --> A ) )
31sseq1d 3129 . . . . . 6  |-  ( F : C --> A  -> 
( dom  F  C_  B  <->  C 
C_  B ) )
42, 3anbi12d 465 . . . . 5  |-  ( F : C --> A  -> 
( ( F : dom  F --> A  /\  dom  F 
C_  B )  <->  ( F : C --> A  /\  C  C_  B ) ) )
54adantr 274 . . . 4  |-  ( ( F : C --> A  /\  C  C_  B )  -> 
( ( F : dom  F --> A  /\  dom  F 
C_  B )  <->  ( F : C --> A  /\  C  C_  B ) ) )
65ibir 176 . . 3  |-  ( ( F : C --> A  /\  C  C_  B )  -> 
( F : dom  F --> A  /\  dom  F  C_  B ) )
7 elpm2g 6565 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( F  e.  ( A  ^pm  B )  <->  ( F : dom  F --> A  /\  dom  F  C_  B ) ) )
86, 7syl5ibr 155 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( ( F : C
--> A  /\  C  C_  B )  ->  F  e.  ( A  ^pm  B
) ) )
98imp 123 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  ( F : C --> A  /\  C  C_  B ) )  ->  F  e.  ( A  ^pm  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1481    C_ wss 3074   dom cdm 4545   -->wf 5125  (class class class)co 5780    ^pm cpm 6549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4052  ax-pow 4104  ax-pr 4137  ax-un 4361  ax-setind 4458
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3076  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-uni 3743  df-br 3936  df-opab 3996  df-id 4221  df-xp 4551  df-rel 4552  df-cnv 4553  df-co 4554  df-dm 4555  df-rn 4556  df-iota 5094  df-fun 5131  df-fn 5132  df-f 5133  df-fv 5137  df-ov 5783  df-oprab 5784  df-mpo 5785  df-pm 6551
This theorem is referenced by:  fpmg  6574  pmresg  6576  ennnfonelemg  11945  lmbrf  12416  ellimc3apf  12830  dvfvalap  12851  dvmulxxbr  12867  dvaddxx  12868  dvmulxx  12869  dviaddf  12870  dvimulf  12871  dvcoapbr  12872  dvmptclx  12881
  Copyright terms: Public domain W3C validator