Theorem erex 6583

Description: An equivalence relation is a set if its domain is a set. (Contributed by Rodolfo Medina, 15-Oct-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
erex	⊢ (𝑅 Er 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem erex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erssxp 6582	. . 3 ⊢ (𝑅 Er 𝐴 → 𝑅 ⊆ (𝐴 × 𝐴))
2		xpexg 4758	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
3	2	anidms 397	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
4		ssexg 4157	. . 3 ⊢ ((𝑅 ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
5	1, 3, 4	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝑅 Er 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ V)
6	5	ex 115	1 ⊢ (𝑅 Er 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2160  Vcvv 2752   ⊆ wss 3144   × cxp 4642   Er wer 6556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-dm 4654  df-rn 4655  df-er 6559

This theorem is referenced by:  erexb  6584  qliftlem  6639  qusaddvallemg  12809  qusaddflemg  12810  qusaddval  12811  qusaddf  12812  qusmulval  12813  qusmulf  12814  qusgrp2  13055  eqgen  13166  qusrng  13312  qusring2  13416