ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  erex GIF version

Theorem erex 6583
Description: An equivalence relation is a set if its domain is a set. (Contributed by Rodolfo Medina, 15-Oct-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
erex (𝑅 Er 𝐴 → (𝐴𝑉𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem erex
StepHypRef Expression
1 erssxp 6582 . . 3 (𝑅 Er 𝐴𝑅 ⊆ (𝐴 × 𝐴))
2 xpexg 4758 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐴𝑉) → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
32anidms 397 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
4 ssexg 4157 . . 3 ((𝑅 ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
51, 3, 4syl2an 289 . 2 ((𝑅 Er 𝐴𝐴𝑉) → 𝑅 ∈ V)
65ex 115 1 (𝑅 Er 𝐴 → (𝐴𝑉𝑅 ∈ V))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2160  Vcvv 2752  wss 3144   × cxp 4642   Er wer 6556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-dm 4654  df-rn 4655  df-er 6559
This theorem is referenced by:  erexb  6584  qliftlem  6639  qusaddvallemg  12809  qusaddflemg  12810  qusaddval  12811  qusaddf  12812  qusmulval  12813  qusmulf  12814  qusgrp2  13055  eqgen  13166  qusrng  13312  qusring2  13416
  Copyright terms: Public domain W3C validator