Theorem erex 6825

Description: An equivalence relation is a set if its domain is a set. (Contributed by Rodolfo Medina, 15-Oct-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
erex	⊢ (𝑅 Er 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem erex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erssxp 6824	. . 3 ⊢ (𝑅 Er 𝐴 → 𝑅 ⊆ (𝐴 × 𝐴))
2		xpexg 4887	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
3	2	anidms 401	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
4		ssexg 4270	. . 3 ⊢ ((𝑅 ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
5	1, 3, 4	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝑅 Er 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ V)
6	5	ex 115	1 ⊢ (𝑅 Er 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220   × cxp 4770   Er wer 6798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-dm 4782  df-rn 4783  df-er 6801

This theorem is referenced by:  erexb  6826  qliftlem  6881  qusaddvallemg  13637  qusaddflemg  13638  qusaddval  13639  qusaddf  13640  qusmulval  13641  qusmulf  13642  qusgrp2  13899  eqgen  14013  qusrng  14240  qusring2  14354