Theorem qusmulval 12980

Description: The multiplication in a quotient structure. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusaddf.u	|- ( ph -> U = ( R /.s .~ ) )
qusaddf.v	|- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
qusaddf.r	|- ( ph -> .~ Er V )
qusaddf.z	|- ( ph -> R e. Z )
qusaddf.e	|- ( ph -> ( ( a .~ p /\ b .~ q ) -> ( a .x. b ) .~ ( p .x. q ) ) )
qusaddf.c	|- ( ( ph /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( p .x. q ) e. V )
qusmulf.p	|- .x. = ( .r ` R )
qusmulf.a	|- .xb = ( .r ` U )

Assertion

Ref	Expression
qusmulval	|- ( ( ph /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( [ X ] .~ .xb [ Y ] .~ ) = [ ( X .x. Y ) ] .~ )

Distinct variable groups:   a, b, p, q, .~   ph, a, b, p, q   V, a, b, p, q   R, p, q   .x. , p, q   X, p, q   .xb , a, b, p, q   Y, p, q

Allowed substitution hints:   R( a, b)   .x. ( a, b)   U( q, p, a, b)   X( a, b)   Y( a, b)   Z( q, p, a, b)

Proof of Theorem qusmulval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusaddf.u	. 2 |- ( ph -> U = ( R /.s .~ ) )
2		qusaddf.v	. 2 |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
3		qusaddf.r	. 2 |- ( ph -> .~ Er V )
4		qusaddf.z	. 2 |- ( ph -> R e. Z )
5		qusaddf.e	. 2 |- ( ph -> ( ( a .~ p /\ b .~ q ) -> ( a .x. b ) .~ ( p .x. q ) ) )
6		qusaddf.c	. 2 |- ( ( ph /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( p .x. q ) e. V )
7		eqid 2196	. 2 |- ( x e. V |-> [ x ] .~ ) = ( x e. V |-> [ x ] .~ )
8		basfn 12736	. . . . . . 7 |- Base Fn _V
9	4	elexd 2776	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. _V )
10		funfvex 5575	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
11	10	funfni 5358	. . . . . . 7 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
12	8, 9, 11	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Base ` R ) e. _V )
13	2, 12	eqeltrd 2273	. . . . 5 |- ( ph -> V e. _V )
14		erex 6616	. . . . 5 |- ( .~ Er V -> ( V e. _V -> .~ e. _V ) )
15	3, 13, 14	sylc 62	. . . 4 |- ( ph -> .~ e. _V )
16	1, 2, 7, 15, 4	qusval 12966	. . 3 |- ( ph -> U = ( ( x e. V |-> [ x ] .~ ) "s R ) )
17	1, 2, 7, 15, 4	quslem 12967	. . 3 |- ( ph -> ( x e. V |-> [ x ] .~ ) : V -onto-> ( V /. .~ ) )
18		qusmulf.p	. . 3 |- .x. = ( .r ` R )
19		qusmulf.a	. . 3 |- .xb = ( .r ` U )
20	16, 2, 17, 4, 18, 19	imasmulr 12952	. 2 |- ( ph -> .xb = U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( ( x e. V |-> [ x ] .~ ) ` p ) , ( ( x e. V |-> [ x ] .~ ) ` q ) >. , ( ( x e. V |-> [ x ] .~ ) ` ( p .x. q ) ) >. } )
21		mulrslid 12809	. . . . 5 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
22	21	slotex 12705	. . . 4 |- ( R e. Z -> ( .r ` R ) e. _V )
23	4, 22	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( .r ` R ) e. _V )
24	18, 23	eqeltrid 2283	. 2 |- ( ph -> .x. e. _V )
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 20, 24	qusaddvallemg 12976	1 |- ( ( ph /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( [ X ] .~ .xb [ Y ] .~ ) = [ ( X .x. Y ) ] .~ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   class class class wbr 4033   |-> cmpt 4094   Fn wfn 5253   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Er wer 6589   [cec 6590   /.cqs 6591   Basecbs 12678   .rcmulr 12756   /._s cqus 12943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-iimas 12945  df-qus 12946

This theorem is referenced by:  qusrhm  14084  qusmul2  14085  qusmulrng  14088