Theorem f1dom2g 6824

Description: The domain of a one-to-one function is dominated by its codomain. This variation of f1domg 6826 does not require the Axiom of Replacement. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1dom2g	|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A -1-1-> B ) -> A ~<_ B )

Proof of Theorem f1dom2g

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 5466	. . . . 5 |- ( F : A -1-1-> B -> F : A --> B )
2		fex2 5429	. . . . 5 |- ( ( F : A --> B /\ A e. V /\ B e. W ) -> F e. _V )
3	1, 2	syl3an1 1282	. . . 4 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ A e. V /\ B e. W ) -> F e. _V )
4	3	3coml 1212	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A -1-1-> B ) -> F e. _V )
5		simp3 1001	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A -1-1-> B ) -> F : A -1-1-> B )
6		f1eq1 5461	. . . 4 |- ( f = F -> ( f : A -1-1-> B <-> F : A -1-1-> B ) )
7	6	spcegv 2852	. . 3 |- ( F e. _V -> ( F : A -1-1-> B -> E. f f : A -1-1-> B ) )
8	4, 5, 7	sylc 62	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A -1-1-> B ) -> E. f f : A -1-1-> B )
9		brdomg 6816	. . 3 |- ( B e. W -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
10	9	3ad2ant2 1021	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A -1-1-> B ) -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
11	8, 10	mpbird 167	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A -1-1-> B ) -> A ~<_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 980   E.wex 1506   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   class class class wbr 4034   -->wf 5255   -1-1->wf1 5256   ~<_ cdom 6807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-dom 6810

This theorem is referenced by:  ssdomg  6846