Theorem f1dom2g 6473

Description: The domain of a one-to-one function is dominated by its codomain. This variation of f1domg 6475 does not require the Axiom of Replacement. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1dom2g	|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A -1-1-> B ) -> A ~<_ B )

Proof of Theorem f1dom2g

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 5216	. . . . 5 |- ( F : A -1-1-> B -> F : A --> B )
2		fex2 5179	. . . . 5 |- ( ( F : A --> B /\ A e. V /\ B e. W ) -> F e. _V )
3	1, 2	syl3an1 1207	. . . 4 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ A e. V /\ B e. W ) -> F e. _V )
4	3	3coml 1150	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A -1-1-> B ) -> F e. _V )
5		simp3 945	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A -1-1-> B ) -> F : A -1-1-> B )
6		f1eq1 5211	. . . 4 |- ( f = F -> ( f : A -1-1-> B <-> F : A -1-1-> B ) )
7	6	spcegv 2707	. . 3 |- ( F e. _V -> ( F : A -1-1-> B -> E. f f : A -1-1-> B ) )
8	4, 5, 7	sylc 61	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A -1-1-> B ) -> E. f f : A -1-1-> B )
9		brdomg 6465	. . 3 |- ( B e. W -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
10	9	3ad2ant2 965	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A -1-1-> B ) -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
11	8, 10	mpbird 165	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A -1-1-> B ) -> A ~<_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   /\ w3a 924   E.wex 1426   e. wcel 1438   _Vcvv 2619   class class class wbr 3845   -->wf 5011   -1-1->wf1 5012   ~<_ cdom 6456

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-dom 6459

This theorem is referenced by:  ssdomg  6495