Theorem fex2 5444

Description: A function with bounded domain and codomain is a set. This version is proven without the Axiom of Replacement. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fex2	|- ( ( F : A --> B /\ A e. V /\ B e. W ) -> F e. _V )

Proof of Theorem fex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpexg 4789	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A X. B ) e. _V )
2	1	3adant1 1018	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ A e. V /\ B e. W ) -> ( A X. B ) e. _V )
3		fssxp 5443	. . 3 |- ( F : A --> B -> F C_ ( A X. B ) )
4	3	3ad2ant1 1021	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ A e. V /\ B e. W ) -> F C_ ( A X. B ) )
5	2, 4	ssexd 4184	1 |- ( ( F : A --> B /\ A e. V /\ B e. W ) -> F e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 981   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   C_ wss 3166   X. cxp 4673   -->wf 5267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-dm 4685  df-rn 4686  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275

This theorem is referenced by:  elmapg  6748  f1oen2g  6846  f1dom2g  6847  dom3d  6865  mapxpen  6945  addex  9773  mulex  9774  climrecvg1n  11659  cnpfval  14667  txcn  14747  blfvalps  14857