Theorem fex2 5396

Description: A function with bounded domain and codomain is a set. This version is proven without the Axiom of Replacement. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fex2	|- ( ( F : A --> B /\ A e. V /\ B e. W ) -> F e. _V )

Proof of Theorem fex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpexg 4752	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A X. B ) e. _V )
2	1	3adant1 1016	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ A e. V /\ B e. W ) -> ( A X. B ) e. _V )
3		fssxp 5395	. . 3 |- ( F : A --> B -> F C_ ( A X. B ) )
4	3	3ad2ant1 1019	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ A e. V /\ B e. W ) -> F C_ ( A X. B ) )
5	2, 4	ssexd 4155	1 |- ( ( F : A --> B /\ A e. V /\ B e. W ) -> F e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 979   e. wcel 2158   _Vcvv 2749   C_ wss 3141   X. cxp 4636   -->wf 5224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-dm 4648  df-rn 4649  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232

This theorem is referenced by:  elmapg  6675  f1oen2g  6769  f1dom2g  6770  dom3d  6788  mapxpen  6862  addex  9665  mulex  9666  climrecvg1n  11370  cnpfval  14048  txcn  14128  blfvalps  14238