Theorem fex2 5192

Description: A function with bounded domain and range is a set. This version is proven without the Axiom of Replacement. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fex2	|- ( ( F : A --> B /\ A e. V /\ B e. W ) -> F e. _V )

Proof of Theorem fex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpexg 4565	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A X. B ) e. _V )
2	1	3adant1 962	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ A e. V /\ B e. W ) -> ( A X. B ) e. _V )
3		fssxp 5191	. . 3 |- ( F : A --> B -> F C_ ( A X. B ) )
4	3	3ad2ant1 965	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ A e. V /\ B e. W ) -> F C_ ( A X. B ) )
5	2, 4	ssexd 3985	1 |- ( ( F : A --> B /\ A e. V /\ B e. W ) -> F e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 925   e. wcel 1439   _Vcvv 2620   C_ wss 3000   X. cxp 4449   -->wf 5024

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-dm 4461  df-rn 4462  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032

This theorem is referenced by:  elmapg  6432  f1oen2g  6526  f1dom2g  6527  dom3d  6545  mapxpen  6618  climrecvg1n  10791