Theorem fex2 5291

Description: A function with bounded domain and range is a set. This version is proven without the Axiom of Replacement. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fex2	|- ( ( F : A --> B /\ A e. V /\ B e. W ) -> F e. _V )

Proof of Theorem fex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpexg 4653	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A X. B ) e. _V )
2	1	3adant1 999	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ A e. V /\ B e. W ) -> ( A X. B ) e. _V )
3		fssxp 5290	. . 3 |- ( F : A --> B -> F C_ ( A X. B ) )
4	3	3ad2ant1 1002	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ A e. V /\ B e. W ) -> F C_ ( A X. B ) )
5	2, 4	ssexd 4068	1 |- ( ( F : A --> B /\ A e. V /\ B e. W ) -> F e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 962   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   C_ wss 3071   X. cxp 4537   -->wf 5119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-dm 4549  df-rn 4550  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127

This theorem is referenced by:  elmapg  6555  f1oen2g  6649  f1dom2g  6650  dom3d  6668  mapxpen  6742  climrecvg1n  11117  cnpfval  12364  txcn  12444  blfvalps  12554