Theorem f1oeng 6757

Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
f1oeng	|- ( ( A e. C /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> A ~~ B )

Proof of Theorem f1oeng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ofo 5469	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A -onto-> B )
2		focdmex 6116	. . . 4 |- ( A e. C -> ( F : A -onto-> B -> B e. _V ) )
3	1, 2	syl5 32	. . 3 |- ( A e. C -> ( F : A -1-1-onto-> B -> B e. _V ) )
4	3	imp 124	. 2 |- ( ( A e. C /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> B e. _V )
5		f1oen2g 6755	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. _V /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> A ~~ B )
6	5	3com23 1209	. 2 |- ( ( A e. C /\ F : A -1-1-onto-> B /\ B e. _V ) -> A ~~ B )
7	4, 6	mpd3an3 1338	1 |- ( ( A e. C /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> A ~~ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   _Vcvv 2738   class class class wbr 4004   -onto->wfo 5215   -1-1-onto->wf1o 5216   ~~ cen 6738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-en 6741

This theorem is referenced by:  f1oen  6759  f1imaeng  6792  xpen  6845  fidifsnen  6870  dif1en  6879  f1ofi  6942  f1dmvrnfibi  6943  omp1eom  7094  endjusym  7095  eninl  7096  eninr  7097  summodclem2  11390  zsumdc  11392  prodmodclem2  11585  zproddc  11587  eulerthlemh  12231  ssnnctlemct  12447  pwf1oexmid  14752