Theorem f1oeng 7033

Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
f1oeng	|- ( ( A e. C /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> A ~~ B )

Proof of Theorem f1oeng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ofo 5641	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A -onto-> B )
2		focdmex 6334	. . . 4 |- ( A e. C -> ( F : A -onto-> B -> B e. _V ) )
3	1, 2	syl5 32	. . 3 |- ( A e. C -> ( F : A -1-1-onto-> B -> B e. _V ) )
4	3	imp 124	. 2 |- ( ( A e. C /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> B e. _V )
5		f1oen2g 7031	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. _V /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> A ~~ B )
6	5	3com23 1240	. 2 |- ( ( A e. C /\ F : A -1-1-onto-> B /\ B e. _V ) -> A ~~ B )
7	4, 6	mpd3an3 1379	1 |- ( ( A e. C /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> A ~~ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   class class class wbr 4125   -onto->wfo 5370   -1-1-onto->wf1o 5371   ~~ cen 7010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-en 7013

This theorem is referenced by:  f1oen  7035  f1imaeng  7069  xpen  7135  fidifsnen  7162  dif1en  7173  f1ofi  7247  f1dmvrnfibi  7248  2omapen  7309  omp1eom  7425  endjusym  7426  eninl  7427  eninr  7428  summodclem2  12127  zsumdc  12129  prodmodclem2  12322  zproddc  12324  eulerthlemh  12987  4sqlem11  13158  ssnnctlemct  13315  conjsubgen  14058  gsumf1ofi  14137  znfi  14962  znhash  14963  usgrsizedgen  16368  eupthfi  16606  pw1mapen  16940  pwf1oexmid  16943