Theorem f1oeng 6847

Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
f1oeng	|- ( ( A e. C /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> A ~~ B )

Proof of Theorem f1oeng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ofo 5528	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A -onto-> B )
2		focdmex 6199	. . . 4 |- ( A e. C -> ( F : A -onto-> B -> B e. _V ) )
3	1, 2	syl5 32	. . 3 |- ( A e. C -> ( F : A -1-1-onto-> B -> B e. _V ) )
4	3	imp 124	. 2 |- ( ( A e. C /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> B e. _V )
5		f1oen2g 6845	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. _V /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> A ~~ B )
6	5	3com23 1211	. 2 |- ( ( A e. C /\ F : A -1-1-onto-> B /\ B e. _V ) -> A ~~ B )
7	4, 6	mpd3an3 1350	1 |- ( ( A e. C /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> A ~~ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2175   _Vcvv 2771   class class class wbr 4043   -onto->wfo 5268   -1-1-onto->wf1o 5269   ~~ cen 6824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-en 6827

This theorem is referenced by:  f1oen  6849  f1imaeng  6883  xpen  6941  fidifsnen  6966  dif1en  6975  f1ofi  7044  f1dmvrnfibi  7045  omp1eom  7196  endjusym  7197  eninl  7198  eninr  7199  summodclem2  11664  zsumdc  11666  prodmodclem2  11859  zproddc  11861  eulerthlemh  12524  4sqlem11  12695  ssnnctlemct  12788  conjsubgen  13585  znfi  14388  znhash  14389  2omapen  15895  pwf1oexmid  15898