Theorem f1oeng 6651

Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
f1oeng	|- ( ( A e. C /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> A ~~ B )

Proof of Theorem f1oeng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ofo 5374	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A -onto-> B )
2		fornex 6013	. . . 4 |- ( A e. C -> ( F : A -onto-> B -> B e. _V ) )
3	1, 2	syl5 32	. . 3 |- ( A e. C -> ( F : A -1-1-onto-> B -> B e. _V ) )
4	3	imp 123	. 2 |- ( ( A e. C /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> B e. _V )
5		f1oen2g 6649	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. _V /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> A ~~ B )
6	5	3com23 1187	. 2 |- ( ( A e. C /\ F : A -1-1-onto-> B /\ B e. _V ) -> A ~~ B )
7	4, 6	mpd3an3 1316	1 |- ( ( A e. C /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> A ~~ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   class class class wbr 3929   -onto->wfo 5121   -1-1-onto->wf1o 5122   ~~ cen 6632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-en 6635

This theorem is referenced by:  f1oen  6653  f1imaeng  6686  xpen  6739  fidifsnen  6764  dif1en  6773  f1ofi  6831  f1dmvrnfibi  6832  omp1eom  6980  endjusym  6981  eninl  6982  eninr  6983  summodclem2  11151  zsumdc  11153  prodmodclem2  11346  pwf1oexmid  13194