Theorem nnf1o 11887

Description: Lemma for sum and product theorems. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnf1o.mn	|- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN ) )
nnf1o.m	|- ( ph -> F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
nnf1o.n	|- ( ph -> G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )

Assertion

Ref	Expression
nnf1o	|- ( ph -> N = M )

Proof of Theorem nnf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9473	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
2		nnf1o.mn	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN ) )
3	2	simprd 114	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN )
4	3	nnzd 9568	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
5	1, 4	fzfigd 10653	. . 3 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
6		nnf1o.m	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
7		f1ocnv 5585	. . . . 5 |- ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A -> `' F : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
8	6, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> `' F : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
9		nnf1o.n	. . . 4 |- ( ph -> G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
10		f1oco 5595	. . . 4 |- ( ( `' F : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) /\ G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A ) -> ( `' F o. G ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( `' F o. G ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
12	5, 11	fihasheqf1od 11011	. 2 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = (♯ ` ( 1 ... M ) ) )
13		nnnn0 9376	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
14		hashfz1 11005	. . 3 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
15	3, 13, 14	3syl 17	. 2 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
16	2	simpld 112	. . 3 |- ( ph -> M e. NN )
17		nnnn0 9376	. . 3 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
18		hashfz1 11005	. . 3 |- ( M e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... M ) ) = M )
19	16, 17, 18	3syl 17	. 2 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... M ) ) = M )
20	12, 15, 19	3eqtr3d 2270	1 |- ( ph -> N = M )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   `'ccnv 4718   o. ccom 4723   -1-1-onto->wf1o 5317   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   1c1 8000   NNcn 9110   NN0cn0 9369   ...cfz 10204  ♯chash 10997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-1o 6562  df-er 6680  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-fz 10205  df-ihash 10998

This theorem is referenced by:  summodclem3  11891  prodmodclem3  12086