Theorem nnf1o 12017

Description: Lemma for sum and product theorems. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnf1o.mn	|- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN ) )
nnf1o.m	|- ( ph -> F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
nnf1o.n	|- ( ph -> G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )

Assertion

Ref	Expression
nnf1o	|- ( ph -> N = M )

Proof of Theorem nnf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9567	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
2		nnf1o.mn	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN ) )
3	2	simprd 114	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN )
4	3	nnzd 9662	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
5	1, 4	fzfigd 10756	. . 3 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
6		nnf1o.m	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
7		f1ocnv 5605	. . . . 5 |- ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A -> `' F : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
8	6, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> `' F : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
9		nnf1o.n	. . . 4 |- ( ph -> G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
10		f1oco 5615	. . . 4 |- ( ( `' F : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) /\ G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A ) -> ( `' F o. G ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( `' F o. G ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
12	5, 11	fihasheqf1od 11114	. 2 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = (♯ ` ( 1 ... M ) ) )
13		nnnn0 9468	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
14		hashfz1 11108	. . 3 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
15	3, 13, 14	3syl 17	. 2 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
16	2	simpld 112	. . 3 |- ( ph -> M e. NN )
17		nnnn0 9468	. . 3 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
18		hashfz1 11108	. . 3 |- ( M e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... M ) ) = M )
19	16, 17, 18	3syl 17	. 2 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... M ) ) = M )
20	12, 15, 19	3eqtr3d 2272	1 |- ( ph -> N = M )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   `'ccnv 4730   o. ccom 4735   -1-1-onto->wf1o 5332   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   1c1 8093   NNcn 9202   NN0cn0 9461   ...cfz 10305  ♯chash 11100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306  df-ihash 11101

This theorem is referenced by:  summodclem3  12021  prodmodclem3  12216