Theorem nnf1o 11326

Description: Lemma for sum and product theorems. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnf1o.mn	|- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN ) )
nnf1o.m	|- ( ph -> F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
nnf1o.n	|- ( ph -> G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )

Assertion

Ref	Expression
nnf1o	|- ( ph -> N = M )

Proof of Theorem nnf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9226	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
2		nnf1o.mn	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN ) )
3	2	simprd 113	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN )
4	3	nnzd 9320	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
5	1, 4	fzfigd 10374	. . 3 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
6		nnf1o.m	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
7		f1ocnv 5453	. . . . 5 |- ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A -> `' F : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
8	6, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> `' F : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
9		nnf1o.n	. . . 4 |- ( ph -> G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
10		f1oco 5463	. . . 4 |- ( ( `' F : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) /\ G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A ) -> ( `' F o. G ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
11	8, 9, 10	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> ( `' F o. G ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
12	5, 11	fihasheqf1od 10711	. 2 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = (♯ ` ( 1 ... M ) ) )
13		nnnn0 9129	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
14		hashfz1 10704	. . 3 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
15	3, 13, 14	3syl 17	. 2 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
16	2	simpld 111	. . 3 |- ( ph -> M e. NN )
17		nnnn0 9129	. . 3 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
18		hashfz1 10704	. . 3 |- ( M e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... M ) ) = M )
19	16, 17, 18	3syl 17	. 2 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... M ) ) = M )
20	12, 15, 19	3eqtr3d 2211	1 |- ( ph -> N = M )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   `'ccnv 4608   o. ccom 4613   -1-1-onto->wf1o 5195   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   1c1 7762   NNcn 8865   NN0cn0 9122   ...cfz 9952  ♯chash 10696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-frec 6367  df-1o 6392  df-er 6509  df-en 6715  df-dom 6716  df-fin 6717  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-fz 9953  df-ihash 10697

This theorem is referenced by:  summodclem3  11330  prodmodclem3  11525