ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnf1o Unicode version

Theorem nnf1o 11157
Description: Lemma for sum and product theorems. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
nnf1o.mn  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN ) )
nnf1o.m  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
nnf1o.n  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
Assertion
Ref Expression
nnf1o  |-  ( ph  ->  N  =  M )

Proof of Theorem nnf1o
StepHypRef Expression
1 1zzd 9093 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
2 nnf1o.mn . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN ) )
32simprd 113 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
43nnzd 9184 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
51, 4fzfigd 10216 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
6 nnf1o.m . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
7 f1ocnv 5380 . . . . 5  |-  ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  ->  `' F : A -1-1-onto-> ( 1 ... M
) )
86, 7syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' F : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
9 nnf1o.n . . . 4  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
10 f1oco 5390 . . . 4  |-  ( ( `' F : A -1-1-onto-> ( 1 ... M )  /\  G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )  ->  ( `' F  o.  G
) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
118, 9, 10syl2anc 408 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' F  o.  G ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
125, 11fihasheqf1od 10548 . 2  |-  ( ph  ->  ( `  ( 1 ... N ) )  =  ( `  ( 1 ... M ) ) )
13 nnnn0 8996 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
14 hashfz1 10541 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( `  (
1 ... N ) )  =  N )
153, 13, 143syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( `  ( 1 ... N ) )  =  N )
162simpld 111 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
17 nnnn0 8996 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
18 hashfz1 10541 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( `  (
1 ... M ) )  =  M )
1916, 17, 183syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( `  ( 1 ... M ) )  =  M )
2012, 15, 193eqtr3d 2180 1  |-  ( ph  ->  N  =  M )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   `'ccnv 4538    o. ccom 4543   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   1c1 7633   NNcn 8732   NN0cn0 8989   ...cfz 9802  ♯chash 10533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-fz 9803  df-ihash 10534
This theorem is referenced by:  summodclem3  11161  prodmodclem3  11356
  Copyright terms: Public domain W3C validator