Theorem nnf1o 11386

Description: Lemma for sum and product theorems. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnf1o.mn	|- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN ) )
nnf1o.m	|- ( ph -> F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
nnf1o.n	|- ( ph -> G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )

Assertion

Ref	Expression
nnf1o	|- ( ph -> N = M )

Proof of Theorem nnf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9282	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
2		nnf1o.mn	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN ) )
3	2	simprd 114	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN )
4	3	nnzd 9376	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
5	1, 4	fzfigd 10433	. . 3 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
6		nnf1o.m	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
7		f1ocnv 5476	. . . . 5 |- ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A -> `' F : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
8	6, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> `' F : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
9		nnf1o.n	. . . 4 |- ( ph -> G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
10		f1oco 5486	. . . 4 |- ( ( `' F : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) /\ G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A ) -> ( `' F o. G ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( `' F o. G ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
12	5, 11	fihasheqf1od 10771	. 2 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = (♯ ` ( 1 ... M ) ) )
13		nnnn0 9185	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
14		hashfz1 10765	. . 3 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
15	3, 13, 14	3syl 17	. 2 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
16	2	simpld 112	. . 3 |- ( ph -> M e. NN )
17		nnnn0 9185	. . 3 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
18		hashfz1 10765	. . 3 |- ( M e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... M ) ) = M )
19	16, 17, 18	3syl 17	. 2 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... M ) ) = M )
20	12, 15, 19	3eqtr3d 2218	1 |- ( ph -> N = M )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   `'ccnv 4627   o. ccom 4632   -1-1-onto->wf1o 5217   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   1c1 7814   NNcn 8921   NN0cn0 9178   ...cfz 10010  ♯chash 10757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-1o 6419  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011  df-ihash 10758

This theorem is referenced by:  summodclem3  11390  prodmodclem3  11585