Theorem nnf1o 11936

Description: Lemma for sum and product theorems. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnf1o.mn	|- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN ) )
nnf1o.m	|- ( ph -> F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
nnf1o.n	|- ( ph -> G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )

Assertion

Ref	Expression
nnf1o	|- ( ph -> N = M )

Proof of Theorem nnf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9505	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
2		nnf1o.mn	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN ) )
3	2	simprd 114	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN )
4	3	nnzd 9600	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
5	1, 4	fzfigd 10692	. . 3 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
6		nnf1o.m	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
7		f1ocnv 5596	. . . . 5 |- ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A -> `' F : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
8	6, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> `' F : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
9		nnf1o.n	. . . 4 |- ( ph -> G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
10		f1oco 5606	. . . 4 |- ( ( `' F : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) /\ G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A ) -> ( `' F o. G ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( `' F o. G ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
12	5, 11	fihasheqf1od 11050	. 2 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = (♯ ` ( 1 ... M ) ) )
13		nnnn0 9408	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
14		hashfz1 11044	. . 3 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
15	3, 13, 14	3syl 17	. 2 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
16	2	simpld 112	. . 3 |- ( ph -> M e. NN )
17		nnnn0 9408	. . 3 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
18		hashfz1 11044	. . 3 |- ( M e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... M ) ) = M )
19	16, 17, 18	3syl 17	. 2 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... M ) ) = M )
20	12, 15, 19	3eqtr3d 2272	1 |- ( ph -> N = M )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   `'ccnv 4724   o. ccom 4729   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   1c1 8032   NNcn 9142   NN0cn0 9401   ...cfz 10242  ♯chash 11036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-ihash 11037

This theorem is referenced by:  summodclem3  11940  prodmodclem3  12135