Theorem prodmodclem3 11718

Description: Lemma for prodmodc 11721. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodmo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
prodmo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
prodmodc.3	|- G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
prodmodclem3.4	|- H = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
prodmolem3.5	|- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN ) )
prodmolem3.6	|- ( ph -> f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
prodmolem3.7	|- ( ph -> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )

Assertion

Ref	Expression
prodmodclem3	|- ( ph -> ( seq 1 ( x. , G ) ` M ) = ( seq 1 ( x. , H ) ` N ) )

Distinct variable groups:   A, j, k   B, j   j, G   j, K, k   j, M   f, j, k   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( f, j)   A( f)   B( f, k)   F( f, j, k)   G( f, k)   H( f, j, k)   K( f)   M( f, k)   N( f, j, k)

Proof of Theorem prodmodclem3

Dummy variables i m x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcl 7999	. . . 4 |- ( ( m e. CC /\ y e. CC ) -> ( m x. y ) e. CC )
2	1	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ( m e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( m x. y ) e. CC )
3		mulcom 8001	. . . 4 |- ( ( m e. CC /\ y e. CC ) -> ( m x. y ) = ( y x. m ) )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ( m e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( m x. y ) = ( y x. m ) )
5		mulass 8003	. . . 4 |- ( ( m e. CC /\ y e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( m x. y ) x. x ) = ( m x. ( y x. x ) ) )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ( m e. CC /\ y e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( ( m x. y ) x. x ) = ( m x. ( y x. x ) ) )
7		prodmolem3.5	. . . . 5 |- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN ) )
8	7	simpld 112	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN )
9		nnuz 9628	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
10	8, 9	eleqtrdi 2286	. . 3 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
11		prodmolem3.6	. . . . . 6 |- ( ph -> f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
12		f1ocnv 5513	. . . . . 6 |- ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A -> `' f : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> `' f : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
14		prodmolem3.7	. . . . 5 |- ( ph -> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
15		f1oco 5523	. . . . 5 |- ( ( `' f : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) /\ K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A ) -> ( `' f o. K ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
16	13, 14, 15	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( `' f o. K ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
17	7	ancomd 267	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N e. NN /\ M e. NN ) )
18	17, 14, 11	nnf1o 11519	. . . . . 6 |- ( ph -> M = N )
19	18	oveq2d 5934	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... M ) = ( 1 ... N ) )
20	19	f1oeq2d 5496	. . . 4 |- ( ph -> ( ( `' f o. K ) : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) <-> ( `' f o. K ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) ) )
21	16, 20	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> ( `' f o. K ) : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
22		prodmodc.3	. . . . 5 |- G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
23		breq1 4032	. . . . . 6 |- ( j = m -> ( j <_ (♯ ` A ) <-> m <_ (♯ ` A ) ) )
24		fveq2 5554	. . . . . . 7 |- ( j = m -> ( f ` j ) = ( f ` m ) )
25	24	csbeq1d 3087	. . . . . 6 |- ( j = m -> [_ ( f ` j ) / k ]_ B = [_ ( f ` m ) / k ]_ B )
26	23, 25	ifbieq1d 3579	. . . . 5 |- ( j = m -> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) = if ( m <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` m ) / k ]_ B , 1 ) )
27		elnnuz 9629	. . . . . . 7 |- ( m e. NN <-> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
28	27	biimpri 133	. . . . . 6 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> m e. NN )
29	28	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> m e. NN )
30		f1of 5500	. . . . . . . . . 10 |- ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... M ) --> A )
31	11, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> f : ( 1 ... M ) --> A )
32	31	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> f : ( 1 ... M ) --> A )
33		1zzd 9344	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> 1 e. ZZ )
34	8	nnzd 9438	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> M e. ZZ )
36		eluzelz 9601	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> m e. ZZ )
37	36	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> m e. ZZ )
38	33, 35, 37	3jca 1179	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ m e. ZZ ) )
39		eluzle 9604	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 <_ m )
40	39	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> 1 <_ m )
41		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> m <_ (♯ ` A ) )
42	8	nnnn0d 9293	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. NN0 )
43		hashfz1 10854	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... M ) ) = M )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... M ) ) = M )
45		1zzd 9344	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
46	45, 34	fzfigd 10502	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 ... M ) e. Fin )
47	46, 11	fihasheqf1od 10860	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... M ) ) = (♯ ` A ) )
48	44, 47	eqtr3d 2228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M = (♯ ` A ) )
49	48	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> M = (♯ ` A ) )
50	41, 49	breqtrrd 4057	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> m <_ M )
51	40, 50	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 <_ m /\ m <_ M ) )
52		elfz2 10081	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( 1 ... M ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ m e. ZZ ) /\ ( 1 <_ m /\ m <_ M ) ) )
53	38, 51, 52	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> m e. ( 1 ... M ) )
54	32, 53	ffvelcdmd 5694	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> ( f ` m ) e. A )
55		prodmo.2	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
56	55	ralrimiva 2567	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
57	56	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> A. k e. A B e. CC )
58		nfcsb1v 3113	. . . . . . . . 9 |- F/_ k [_ ( f ` m ) / k ]_ B
59	58	nfel1 2347	. . . . . . . 8 |- F/ k [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC
60		csbeq1a 3089	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( f ` m ) -> B = [_ ( f ` m ) / k ]_ B )
61	60	eleq1d 2262	. . . . . . . 8 |- ( k = ( f ` m ) -> ( B e. CC <-> [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC ) )
62	59, 61	rspc 2858	. . . . . . 7 |- ( ( f ` m ) e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC ) )
63	54, 57, 62	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC )
64		1cnd 8035	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. m <_ (♯ ` A ) ) -> 1 e. CC )
65	29	nnzd 9438	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> m e. ZZ )
66	48, 34	eqeltrrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (♯ ` A ) e. ZZ )
67	66	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
68		zdcle 9393	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ ) -> DECID m <_ (♯ ` A ) )
69	65, 67, 68	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID m <_ (♯ ` A ) )
70	63, 64, 69	ifcldadc 3586	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( m <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` m ) / k ]_ B , 1 ) e. CC )
71	22, 26, 29, 70	fvmptd3 5651	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( G ` m ) = if ( m <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` m ) / k ]_ B , 1 ) )
72	71, 70	eqeltrd 2270	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( G ` m ) e. CC )
73		prodmodclem3.4	. . . . 5 |- H = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
74		fveq2 5554	. . . . . . 7 |- ( j = m -> ( K ` j ) = ( K ` m ) )
75	74	csbeq1d 3087	. . . . . 6 |- ( j = m -> [_ ( K ` j ) / k ]_ B = [_ ( K ` m ) / k ]_ B )
76	23, 75	ifbieq1d 3579	. . . . 5 |- ( j = m -> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` j ) / k ]_ B , 1 ) = if ( m <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 1 ) )
77	14	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
78		f1of 5500	. . . . . . . . 9 |- ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A -> K : ( 1 ... N ) --> A )
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> K : ( 1 ... N ) --> A )
80	19	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 ... M ) = ( 1 ... N ) )
81	53, 80	eleqtrd 2272	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> m e. ( 1 ... N ) )
82	79, 81	ffvelcdmd 5694	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> ( K ` m ) e. A )
83		nfcsb1v 3113	. . . . . . . . 9 |- F/_ k [_ ( K ` m ) / k ]_ B
84	83	nfel1 2347	. . . . . . . 8 |- F/ k [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC
85		csbeq1a 3089	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( K ` m ) -> B = [_ ( K ` m ) / k ]_ B )
86	85	eleq1d 2262	. . . . . . . 8 |- ( k = ( K ` m ) -> ( B e. CC <-> [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC ) )
87	84, 86	rspc 2858	. . . . . . 7 |- ( ( K ` m ) e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC ) )
88	82, 57, 87	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC )
89	88, 64, 69	ifcldadc 3586	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( m <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 1 ) e. CC )
90	73, 76, 29, 89	fvmptd3 5651	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( H ` m ) = if ( m <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 1 ) )
91	90, 89	eqeltrd 2270	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( H ` m ) e. CC )
92	19	f1oeq2d 5496	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A <-> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A ) )
93	14, 92	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
94		f1of 5500	. . . . . . . . 9 |- ( K : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A -> K : ( 1 ... M ) --> A )
95	93, 94	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K : ( 1 ... M ) --> A )
96		fvco3 5628	. . . . . . . 8 |- ( ( K : ( 1 ... M ) --> A /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) = ( `' f ` ( K ` i ) ) )
97	95, 96	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) = ( `' f ` ( K ` i ) ) )
98	97	fveq2d 5558	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) = ( f ` ( `' f ` ( K ` i ) ) ) )
99	11	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
100	95	ffvelcdmda 5693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( K ` i ) e. A )
101		f1ocnvfv2 5821	. . . . . . 7 |- ( ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( K ` i ) e. A ) -> ( f ` ( `' f ` ( K ` i ) ) ) = ( K ` i ) )
102	99, 100, 101	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( f ` ( `' f ` ( K ` i ) ) ) = ( K ` i ) )
103	98, 102	eqtrd 2226	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) = ( K ` i ) )
104	103	csbeq1d 3087	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B = [_ ( K ` i ) / k ]_ B )
105		breq1 4032	. . . . . . 7 |- ( j = ( ( `' f o. K ) ` i ) -> ( j <_ (♯ ` A ) <-> ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ (♯ ` A ) ) )
106		fveq2 5554	. . . . . . . 8 |- ( j = ( ( `' f o. K ) ` i ) -> ( f ` j ) = ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) )
107	106	csbeq1d 3087	. . . . . . 7 |- ( j = ( ( `' f o. K ) ` i ) -> [_ ( f ` j ) / k ]_ B = [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B )
108	105, 107	ifbieq1d 3579	. . . . . 6 |- ( j = ( ( `' f o. K ) ` i ) -> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) = if ( ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B , 1 ) )
109		f1of 5500	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' f o. K ) : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) -> ( `' f o. K ) : ( 1 ... M ) --> ( 1 ... M ) )
110	21, 109	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( `' f o. K ) : ( 1 ... M ) --> ( 1 ... M ) )
111	110	ffvelcdmda 5693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) e. ( 1 ... M ) )
112		elfznn 10120	. . . . . . 7 |- ( ( ( `' f o. K ) ` i ) e. ( 1 ... M ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) e. NN )
113	111, 112	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) e. NN )
114		elfzle2 10094	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( `' f o. K ) ` i ) e. ( 1 ... M ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ M )
115	111, 114	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ M )
116	48	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> M = (♯ ` A ) )
117	115, 116	breqtrd 4055	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ (♯ ` A ) )
118	117	iftrued 3564	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> if ( ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B , 1 ) = [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B )
119	56	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A. k e. A B e. CC )
120		nfcsb1v 3113	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k [_ ( K ` i ) / k ]_ B
121	120	nfel1 2347	. . . . . . . . . 10 |- F/ k [_ ( K ` i ) / k ]_ B e. CC
122		csbeq1a 3089	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( K ` i ) -> B = [_ ( K ` i ) / k ]_ B )
123	122	eleq1d 2262	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( K ` i ) -> ( B e. CC <-> [_ ( K ` i ) / k ]_ B e. CC ) )
124	121, 123	rspc 2858	. . . . . . . . 9 |- ( ( K ` i ) e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ ( K ` i ) / k ]_ B e. CC ) )
125	100, 119, 124	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> [_ ( K ` i ) / k ]_ B e. CC )
126	104, 125	eqeltrd 2270	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B e. CC )
127	118, 126	eqeltrd 2270	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> if ( ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B , 1 ) e. CC )
128	22, 108, 113, 127	fvmptd3 5651	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) = if ( ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B , 1 ) )
129	128, 118	eqtrd 2226	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) = [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B )
130		breq1 4032	. . . . . . 7 |- ( j = i -> ( j <_ (♯ ` A ) <-> i <_ (♯ ` A ) ) )
131		fveq2 5554	. . . . . . . 8 |- ( j = i -> ( K ` j ) = ( K ` i ) )
132	131	csbeq1d 3087	. . . . . . 7 |- ( j = i -> [_ ( K ` j ) / k ]_ B = [_ ( K ` i ) / k ]_ B )
133	130, 132	ifbieq1d 3579	. . . . . 6 |- ( j = i -> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` j ) / k ]_ B , 1 ) = if ( i <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` i ) / k ]_ B , 1 ) )
134		elfznn 10120	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> i e. NN )
135	134	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> i e. NN )
136		elfzle2 10094	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> i <_ M )
137	136	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> i <_ M )
138	137, 116	breqtrd 4055	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> i <_ (♯ ` A ) )
139	138	iftrued 3564	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> if ( i <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` i ) / k ]_ B , 1 ) = [_ ( K ` i ) / k ]_ B )
140	139, 125	eqeltrd 2270	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> if ( i <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` i ) / k ]_ B , 1 ) e. CC )
141	73, 133, 135, 140	fvmptd3 5651	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( H ` i ) = if ( i <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` i ) / k ]_ B , 1 ) )
142	141, 139	eqtrd 2226	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( H ` i ) = [_ ( K ` i ) / k ]_ B )
143	104, 129, 142	3eqtr4rd 2237	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( H ` i ) = ( G ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) )
144	2, 4, 6, 10, 21, 72, 91, 143	seq3f1o 10588	. 2 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , H ) ` M ) = ( seq 1 ( x. , G ) ` M ) )
145	18	fveq2d 5558	. 2 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , H ) ` M ) = ( seq 1 ( x. , H ) ` N ) )
146	144, 145	eqtr3d 2228	1 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , G ) ` M ) = ( seq 1 ( x. , H ) ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   [_csb 3080   ifcif 3557   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   `'ccnv 4658   o. ccom 4663   -->wf 5250   -1-1-onto->wf1o 5253   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   1c1 7873   x. cmul 7877   <_ cle 8055   NNcn 8982   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074   seqcseq 10518  ♯chash 10846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-ihash 10847

This theorem is referenced by:  prodmodclem2a  11719  prodmodc  11721