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Theorem prodmodclem3 11356
Description: Lemma for prodmodc 11359. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )
prodmo.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
prodmodc.3  |-  G  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  j
)  /  k ]_ B ,  1 ) )
prodmodclem3.4  |-  H  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( K `  j )  /  k ]_ B ,  1 ) )
prodmolem3.5  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN ) )
prodmolem3.6  |-  ( ph  ->  f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
prodmolem3.7  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
Assertion
Ref Expression
prodmodclem3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 M )  =  (  seq 1 (  x.  ,  H ) `
 N ) )
Distinct variable groups:    A, j, k    B, j    j, G    j, K, k    j, M    f,
j, k    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( f, j)    A( f)    B( f, k)    F( f, j, k)    G( f, k)    H( f, j, k)    K( f)    M( f, k)    N( f, j, k)

Proof of Theorem prodmodclem3
Dummy variables  i  m  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcl 7759 . . . 4  |-  ( ( m  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( m  x.  y
)  e.  CC )
21adantl 275 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( m  x.  y
)  e.  CC )
3 mulcom 7761 . . . 4  |-  ( ( m  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( m  x.  y
)  =  ( y  x.  m ) )
43adantl 275 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( m  x.  y
)  =  ( y  x.  m ) )
5 mulass 7763 . . . 4  |-  ( ( m  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( m  x.  y
)  x.  x )  =  ( m  x.  ( y  x.  x
) ) )
65adantl 275 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( ( m  x.  y )  x.  x
)  =  ( m  x.  ( y  x.  x ) ) )
7 prodmolem3.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN ) )
87simpld 111 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
9 nnuz 9373 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
108, 9eleqtrdi 2232 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
11 prodmolem3.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
12 f1ocnv 5380 . . . . . 6  |-  ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  ->  `' f : A -1-1-onto-> ( 1 ... M
) )
1311, 12syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  `' f : A -1-1-onto-> (
1 ... M ) )
14 prodmolem3.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
15 f1oco 5390 . . . . 5  |-  ( ( `' f : A -1-1-onto-> (
1 ... M )  /\  K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )  ->  ( `' f  o.  K
) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
1613, 14, 15syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' f  o.  K ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
177ancomd 265 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN ) )
1817, 14, 11nnf1o 11157 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  =  N )
1918oveq2d 5790 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... M
)  =  ( 1 ... N ) )
2019f1oeq2d 5363 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' f  o.  K ) : ( 1 ... M
)
-1-1-onto-> ( 1 ... M
)  <->  ( `' f  o.  K ) : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... M
) ) )
2116, 20mpbird 166 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' f  o.  K ) : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
22 prodmodc.3 . . . . 5  |-  G  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  j
)  /  k ]_ B ,  1 ) )
23 breq1 3932 . . . . . 6  |-  ( j  =  m  ->  (
j  <_  ( `  A
)  <->  m  <_  ( `  A
) ) )
24 fveq2 5421 . . . . . . 7  |-  ( j  =  m  ->  (
f `  j )  =  ( f `  m ) )
2524csbeq1d 3010 . . . . . 6  |-  ( j  =  m  ->  [_ (
f `  j )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  m )  /  k ]_ B )
2623, 25ifbieq1d 3494 . . . . 5  |-  ( j  =  m  ->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  j
)  /  k ]_ B ,  1 )  =  if ( m  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  m )  /  k ]_ B ,  1 ) )
27 elnnuz 9374 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  <->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2827biimpri 132 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  m  e.  NN )
2928adantl 275 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  m  e.  NN )
30 f1of 5367 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... M
) --> A )
3111, 30syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  f : ( 1 ... M ) --> A )
3231ad2antrr 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  -> 
f : ( 1 ... M ) --> A )
33 1zzd 9093 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  -> 
1  e.  ZZ )
348nnzd 9184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3534ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  ->  M  e.  ZZ )
36 eluzelz 9347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  m  e.  ZZ )
3736ad2antlr 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  ->  m  e.  ZZ )
3833, 35, 373jca 1161 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  -> 
( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )
)
39 eluzle 9350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  <_  m )
4039ad2antlr 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  -> 
1  <_  m )
41 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  ->  m  <_  ( `  A )
)
428nnnn0d 9042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
43 hashfz1 10541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( `  (
1 ... M ) )  =  M )
4442, 43syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( `  ( 1 ... M ) )  =  M )
45 1zzd 9093 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4645, 34fzfigd 10216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1 ... M
)  e.  Fin )
4746, 11fihasheqf1od 10548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( `  ( 1 ... M ) )  =  ( `  A )
)
4844, 47eqtr3d 2174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  =  ( `  A
) )
4948ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  ->  M  =  ( `  A
) )
5041, 49breqtrrd 3956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  ->  m  <_  M )
5140, 50jca 304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  -> 
( 1  <_  m  /\  m  <_  M ) )
52 elfz2 9809 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  m  /\  m  <_  M ) ) )
5338, 51, 52sylanbrc 413 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  ->  m  e.  ( 1 ... M ) )
5432, 53ffvelrnd 5556 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  -> 
( f `  m
)  e.  A )
55 prodmo.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
5655ralrimiva 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
5756ad2antrr 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
58 nfcsb1v 3035 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k [_ ( f `  m
)  /  k ]_ B
5958nfel1 2292 . . . . . . . 8  |-  F/ k
[_ ( f `  m )  /  k ]_ B  e.  CC
60 csbeq1a 3012 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( f `  m )  ->  B  =  [_ ( f `  m )  /  k ]_ B )
6160eleq1d 2208 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( f `  m )  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ ( f `
 m )  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
6259, 61rspc 2783 . . . . . . 7  |-  ( ( f `  m )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ ( f `  m
)  /  k ]_ B  e.  CC )
)
6354, 57, 62sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  ->  [_ ( f `  m
)  /  k ]_ B  e.  CC )
64 1cnd 7794 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  m  <_  ( `  A )
)  ->  1  e.  CC )
6529nnzd 9184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  m  e.  ZZ )
6648, 34eqeltrrd 2217 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `  A )  e.  ZZ )
6766adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( `  A
)  e.  ZZ )
68 zdcle 9139 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ )  -> DECID  m  <_  ( `  A
) )
6965, 67, 68syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  -> DECID  m  <_  ( `  A
) )
7063, 64, 69ifcldadc 3501 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
m  <_  ( `  A
) ,  [_ (
f `  m )  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC )
7122, 26, 29, 70fvmptd3 5514 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( G `  m )  =  if ( m  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  m
)  /  k ]_ B ,  1 ) )
7271, 70eqeltrd 2216 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( G `  m )  e.  CC )
73 prodmodclem3.4 . . . . 5  |-  H  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( K `  j )  /  k ]_ B ,  1 ) )
74 fveq2 5421 . . . . . . 7  |-  ( j  =  m  ->  ( K `  j )  =  ( K `  m ) )
7574csbeq1d 3010 . . . . . 6  |-  ( j  =  m  ->  [_ ( K `  j )  /  k ]_ B  =  [_ ( K `  m )  /  k ]_ B )
7623, 75ifbieq1d 3494 . . . . 5  |-  ( j  =  m  ->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( K `  j )  /  k ]_ B ,  1 )  =  if ( m  <_ 
( `  A ) , 
[_ ( K `  m )  /  k ]_ B ,  1 ) )
7714ad2antrr 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  ->  K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
78 f1of 5367 . . . . . . . . 9  |-  ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  ->  K :
( 1 ... N
) --> A )
7977, 78syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  ->  K : ( 1 ... N ) --> A )
8019ad2antrr 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  -> 
( 1 ... M
)  =  ( 1 ... N ) )
8153, 80eleqtrd 2218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  ->  m  e.  ( 1 ... N ) )
8279, 81ffvelrnd 5556 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  -> 
( K `  m
)  e.  A )
83 nfcsb1v 3035 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k [_ ( K `  m
)  /  k ]_ B
8483nfel1 2292 . . . . . . . 8  |-  F/ k
[_ ( K `  m )  /  k ]_ B  e.  CC
85 csbeq1a 3012 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( K `  m )  ->  B  =  [_ ( K `  m )  /  k ]_ B )
8685eleq1d 2208 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( K `  m )  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ ( K `
 m )  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
8784, 86rspc 2783 . . . . . . 7  |-  ( ( K `  m )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ ( K `  m
)  /  k ]_ B  e.  CC )
)
8882, 57, 87sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  m  <_  ( `  A ) )  ->  [_ ( K `  m
)  /  k ]_ B  e.  CC )
8988, 64, 69ifcldadc 3501 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
m  <_  ( `  A
) ,  [_ ( K `  m )  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC )
9073, 76, 29, 89fvmptd3 5514 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( H `  m )  =  if ( m  <_  ( `  A ) ,  [_ ( K `  m )  /  k ]_ B ,  1 ) )
9190, 89eqeltrd 2216 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( H `  m )  e.  CC )
9219f1oeq2d 5363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  <-> 
K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A ) )
9314, 92mpbird 166 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
94 f1of 5367 . . . . . . . . 9  |-  ( K : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  ->  K :
( 1 ... M
) --> A )
9593, 94syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... M ) --> A )
96 fvco3 5492 . . . . . . . 8  |-  ( ( K : ( 1 ... M ) --> A  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( `' f  o.  K
) `  i )  =  ( `' f `
 ( K `  i ) ) )
9795, 96sylan 281 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( `' f  o.  K ) `  i
)  =  ( `' f `  ( K `
 i ) ) )
9897fveq2d 5425 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
f `  ( ( `' f  o.  K
) `  i )
)  =  ( f `
 ( `' f `
 ( K `  i ) ) ) )
9911adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
10095ffvelrnda 5555 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( K `  i )  e.  A )
101 f1ocnvfv2 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  ( K `  i )  e.  A )  -> 
( f `  ( `' f `  ( K `  i )
) )  =  ( K `  i ) )
10299, 100, 101syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
f `  ( `' f `  ( K `  i ) ) )  =  ( K `  i ) )
10398, 102eqtrd 2172 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
f `  ( ( `' f  o.  K
) `  i )
)  =  ( K `
 i ) )
104103csbeq1d 3010 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  [_ (
f `  ( ( `' f  o.  K
) `  i )
)  /  k ]_ B  =  [_ ( K `
 i )  / 
k ]_ B )
105 breq1 3932 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( ( `' f  o.  K ) `
 i )  -> 
( j  <_  ( `  A )  <->  ( ( `' f  o.  K
) `  i )  <_  ( `  A )
) )
106 fveq2 5421 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( ( `' f  o.  K ) `
 i )  -> 
( f `  j
)  =  ( f `
 ( ( `' f  o.  K ) `
 i ) ) )
107106csbeq1d 3010 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( ( `' f  o.  K ) `
 i )  ->  [_ ( f `  j
)  /  k ]_ B  =  [_ ( f `
 ( ( `' f  o.  K ) `
 i ) )  /  k ]_ B
)
108105, 107ifbieq1d 3494 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( ( `' f  o.  K ) `
 i )  ->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  j
)  /  k ]_ B ,  1 )  =  if ( ( ( `' f  o.  K ) `  i
)  <_  ( `  A
) ,  [_ (
f `  ( ( `' f  o.  K
) `  i )
)  /  k ]_ B ,  1 ) )
109 f1of 5367 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' f  o.  K
) : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( 1 ... M )  -> 
( `' f  o.  K ) : ( 1 ... M ) --> ( 1 ... M
) )
11021, 109syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' f  o.  K ) : ( 1 ... M ) --> ( 1 ... M
) )
111110ffvelrnda 5555 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( `' f  o.  K ) `  i
)  e.  ( 1 ... M ) )
112 elfznn 9846 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' f  o.  K ) `  i
)  e.  ( 1 ... M )  -> 
( ( `' f  o.  K ) `  i )  e.  NN )
113111, 112syl 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( `' f  o.  K ) `  i
)  e.  NN )
114 elfzle2 9820 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' f  o.  K ) `  i
)  e.  ( 1 ... M )  -> 
( ( `' f  o.  K ) `  i )  <_  M
)
115111, 114syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( `' f  o.  K ) `  i
)  <_  M )
11648adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  M  =  ( `  A )
)
117115, 116breqtrd 3954 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( `' f  o.  K ) `  i
)  <_  ( `  A
) )
118117iftrued 3481 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  if ( ( ( `' f  o.  K ) `
 i )  <_ 
( `  A ) , 
[_ ( f `  ( ( `' f  o.  K ) `  i ) )  / 
k ]_ B ,  1 )  =  [_ (
f `  ( ( `' f  o.  K
) `  i )
)  /  k ]_ B )
11956adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
120 nfcsb1v 3035 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k [_ ( K `  i
)  /  k ]_ B
121120nfel1 2292 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k
[_ ( K `  i )  /  k ]_ B  e.  CC
122 csbeq1a 3012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( K `  i )  ->  B  =  [_ ( K `  i )  /  k ]_ B )
123122eleq1d 2208 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( K `  i )  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ ( K `
 i )  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
124121, 123rspc 2783 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K `  i )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ ( K `  i
)  /  k ]_ B  e.  CC )
)
125100, 119, 124sylc 62 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  [_ ( K `  i )  /  k ]_ B  e.  CC )
126104, 125eqeltrd 2216 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  [_ (
f `  ( ( `' f  o.  K
) `  i )
)  /  k ]_ B  e.  CC )
127118, 126eqeltrd 2216 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  if ( ( ( `' f  o.  K ) `
 i )  <_ 
( `  A ) , 
[_ ( f `  ( ( `' f  o.  K ) `  i ) )  / 
k ]_ B ,  1 )  e.  CC )
12822, 108, 113, 127fvmptd3 5514 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  ( ( `' f  o.  K
) `  i )
)  =  if ( ( ( `' f  o.  K ) `  i )  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  (
( `' f  o.  K ) `  i
) )  /  k ]_ B ,  1 ) )
129128, 118eqtrd 2172 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  ( ( `' f  o.  K
) `  i )
)  =  [_ (
f `  ( ( `' f  o.  K
) `  i )
)  /  k ]_ B )
130 breq1 3932 . . . . . . 7  |-  ( j  =  i  ->  (
j  <_  ( `  A
)  <->  i  <_  ( `  A ) ) )
131 fveq2 5421 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  i  ->  ( K `  j )  =  ( K `  i ) )
132131csbeq1d 3010 . . . . . . 7  |-  ( j  =  i  ->  [_ ( K `  j )  /  k ]_ B  =  [_ ( K `  i )  /  k ]_ B )
133130, 132ifbieq1d 3494 . . . . . 6  |-  ( j  =  i  ->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( K `  j )  /  k ]_ B ,  1 )  =  if ( i  <_ 
( `  A ) , 
[_ ( K `  i )  /  k ]_ B ,  1 ) )
134 elfznn 9846 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  i  e.  NN )
135134adantl 275 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  i  e.  NN )
136 elfzle2 9820 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  i  <_  M )
137136adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  i  <_  M )
138137, 116breqtrd 3954 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  i  <_  ( `  A )
)
139138iftrued 3481 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  if ( i  <_  ( `  A ) ,  [_ ( K `  i )  /  k ]_ B ,  1 )  = 
[_ ( K `  i )  /  k ]_ B )
140139, 125eqeltrd 2216 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  if ( i  <_  ( `  A ) ,  [_ ( K `  i )  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC )
14173, 133, 135, 140fvmptd3 5514 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( H `  i )  =  if ( i  <_ 
( `  A ) , 
[_ ( K `  i )  /  k ]_ B ,  1 ) )
142141, 139eqtrd 2172 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( H `  i )  =  [_ ( K `  i )  /  k ]_ B )
143104, 129, 1423eqtr4rd 2183 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( H `  i )  =  ( G `  ( ( `' f  o.  K ) `  i ) ) )
1442, 4, 6, 10, 21, 72, 91, 143seq3f1o 10289 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  H ) `
 M )  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 M ) )
14518fveq2d 5425 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  H ) `
 M )  =  (  seq 1 (  x.  ,  H ) `
 N ) )
146144, 145eqtr3d 2174 1  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 M )  =  (  seq 1 (  x.  ,  H ) `
 N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103  DECID wdc 819    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   [_csb 3003   ifcif 3474   class class class wbr 3929    |-> cmpt 3989   `'ccnv 4538    o. ccom 4543   -->wf 5119   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7630   1c1 7633    x. cmul 7637    <_ cle 7813   NNcn 8732   NN0cn0 8989   ZZcz 9066   ZZ>=cuz 9338   ...cfz 9802    seqcseq 10230  ♯chash 10533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-fz 9803  df-fzo 9932  df-seqfrec 10231  df-ihash 10534
This theorem is referenced by:  prodmodclem2a  11357  prodmodc  11359
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