Theorem prodmodclem3 12086

Description: Lemma for prodmodc 12089. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodmo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
prodmo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
prodmodc.3	|- G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
prodmodclem3.4	|- H = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
prodmolem3.5	|- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN ) )
prodmolem3.6	|- ( ph -> f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
prodmolem3.7	|- ( ph -> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )

Assertion

Ref	Expression
prodmodclem3	|- ( ph -> ( seq 1 ( x. , G ) ` M ) = ( seq 1 ( x. , H ) ` N ) )

Distinct variable groups:   A, j, k   B, j   j, G   j, K, k   j, M   f, j, k   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( f, j)   A( f)   B( f, k)   F( f, j, k)   G( f, k)   H( f, j, k)   K( f)   M( f, k)   N( f, j, k)

Proof of Theorem prodmodclem3

Dummy variables i m x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcl 8126	. . . 4 |- ( ( m e. CC /\ y e. CC ) -> ( m x. y ) e. CC )
2	1	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ( m e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( m x. y ) e. CC )
3		mulcom 8128	. . . 4 |- ( ( m e. CC /\ y e. CC ) -> ( m x. y ) = ( y x. m ) )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ( m e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( m x. y ) = ( y x. m ) )
5		mulass 8130	. . . 4 |- ( ( m e. CC /\ y e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( m x. y ) x. x ) = ( m x. ( y x. x ) ) )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ( m e. CC /\ y e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( ( m x. y ) x. x ) = ( m x. ( y x. x ) ) )
7		prodmolem3.5	. . . . 5 |- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN ) )
8	7	simpld 112	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN )
9		nnuz 9758	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
10	8, 9	eleqtrdi 2322	. . 3 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
11		prodmolem3.6	. . . . . 6 |- ( ph -> f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
12		f1ocnv 5585	. . . . . 6 |- ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A -> `' f : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> `' f : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
14		prodmolem3.7	. . . . 5 |- ( ph -> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
15		f1oco 5595	. . . . 5 |- ( ( `' f : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) /\ K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A ) -> ( `' f o. K ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
16	13, 14, 15	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( `' f o. K ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
17	7	ancomd 267	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N e. NN /\ M e. NN ) )
18	17, 14, 11	nnf1o 11887	. . . . . 6 |- ( ph -> M = N )
19	18	oveq2d 6017	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... M ) = ( 1 ... N ) )
20	19	f1oeq2d 5568	. . . 4 |- ( ph -> ( ( `' f o. K ) : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) <-> ( `' f o. K ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) ) )
21	16, 20	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> ( `' f o. K ) : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
22		prodmodc.3	. . . . 5 |- G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
23		breq1 4086	. . . . . 6 |- ( j = m -> ( j <_ (♯ ` A ) <-> m <_ (♯ ` A ) ) )
24		fveq2 5627	. . . . . . 7 |- ( j = m -> ( f ` j ) = ( f ` m ) )
25	24	csbeq1d 3131	. . . . . 6 |- ( j = m -> [_ ( f ` j ) / k ]_ B = [_ ( f ` m ) / k ]_ B )
26	23, 25	ifbieq1d 3625	. . . . 5 |- ( j = m -> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) = if ( m <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` m ) / k ]_ B , 1 ) )
27		elnnuz 9759	. . . . . . 7 |- ( m e. NN <-> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
28	27	biimpri 133	. . . . . 6 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> m e. NN )
29	28	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> m e. NN )
30		f1of 5572	. . . . . . . . . 10 |- ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... M ) --> A )
31	11, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> f : ( 1 ... M ) --> A )
32	31	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> f : ( 1 ... M ) --> A )
33		1zzd 9473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> 1 e. ZZ )
34	8	nnzd 9568	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> M e. ZZ )
36		eluzelz 9731	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> m e. ZZ )
37	36	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> m e. ZZ )
38	33, 35, 37	3jca 1201	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ m e. ZZ ) )
39		eluzle 9734	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 <_ m )
40	39	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> 1 <_ m )
41		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> m <_ (♯ ` A ) )
42	8	nnnn0d 9422	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. NN0 )
43		hashfz1 11005	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... M ) ) = M )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... M ) ) = M )
45		1zzd 9473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
46	45, 34	fzfigd 10653	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 ... M ) e. Fin )
47	46, 11	fihasheqf1od 11011	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... M ) ) = (♯ ` A ) )
48	44, 47	eqtr3d 2264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M = (♯ ` A ) )
49	48	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> M = (♯ ` A ) )
50	41, 49	breqtrrd 4111	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> m <_ M )
51	40, 50	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 <_ m /\ m <_ M ) )
52		elfz2 10211	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( 1 ... M ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ m e. ZZ ) /\ ( 1 <_ m /\ m <_ M ) ) )
53	38, 51, 52	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> m e. ( 1 ... M ) )
54	32, 53	ffvelcdmd 5771	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> ( f ` m ) e. A )
55		prodmo.2	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
56	55	ralrimiva 2603	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
57	56	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> A. k e. A B e. CC )
58		nfcsb1v 3157	. . . . . . . . 9 |- F/_ k [_ ( f ` m ) / k ]_ B
59	58	nfel1 2383	. . . . . . . 8 |- F/ k [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC
60		csbeq1a 3133	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( f ` m ) -> B = [_ ( f ` m ) / k ]_ B )
61	60	eleq1d 2298	. . . . . . . 8 |- ( k = ( f ` m ) -> ( B e. CC <-> [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC ) )
62	59, 61	rspc 2901	. . . . . . 7 |- ( ( f ` m ) e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC ) )
63	54, 57, 62	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC )
64		1cnd 8162	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. m <_ (♯ ` A ) ) -> 1 e. CC )
65	29	nnzd 9568	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> m e. ZZ )
66	48, 34	eqeltrrd 2307	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (♯ ` A ) e. ZZ )
67	66	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
68		zdcle 9523	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ ) -> DECID m <_ (♯ ` A ) )
69	65, 67, 68	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID m <_ (♯ ` A ) )
70	63, 64, 69	ifcldadc 3632	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( m <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` m ) / k ]_ B , 1 ) e. CC )
71	22, 26, 29, 70	fvmptd3 5728	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( G ` m ) = if ( m <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` m ) / k ]_ B , 1 ) )
72	71, 70	eqeltrd 2306	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( G ` m ) e. CC )
73		prodmodclem3.4	. . . . 5 |- H = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
74		fveq2 5627	. . . . . . 7 |- ( j = m -> ( K ` j ) = ( K ` m ) )
75	74	csbeq1d 3131	. . . . . 6 |- ( j = m -> [_ ( K ` j ) / k ]_ B = [_ ( K ` m ) / k ]_ B )
76	23, 75	ifbieq1d 3625	. . . . 5 |- ( j = m -> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` j ) / k ]_ B , 1 ) = if ( m <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 1 ) )
77	14	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
78		f1of 5572	. . . . . . . . 9 |- ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A -> K : ( 1 ... N ) --> A )
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> K : ( 1 ... N ) --> A )
80	19	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 ... M ) = ( 1 ... N ) )
81	53, 80	eleqtrd 2308	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> m e. ( 1 ... N ) )
82	79, 81	ffvelcdmd 5771	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> ( K ` m ) e. A )
83		nfcsb1v 3157	. . . . . . . . 9 |- F/_ k [_ ( K ` m ) / k ]_ B
84	83	nfel1 2383	. . . . . . . 8 |- F/ k [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC
85		csbeq1a 3133	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( K ` m ) -> B = [_ ( K ` m ) / k ]_ B )
86	85	eleq1d 2298	. . . . . . . 8 |- ( k = ( K ` m ) -> ( B e. CC <-> [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC ) )
87	84, 86	rspc 2901	. . . . . . 7 |- ( ( K ` m ) e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC ) )
88	82, 57, 87	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC )
89	88, 64, 69	ifcldadc 3632	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( m <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 1 ) e. CC )
90	73, 76, 29, 89	fvmptd3 5728	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( H ` m ) = if ( m <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 1 ) )
91	90, 89	eqeltrd 2306	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( H ` m ) e. CC )
92	19	f1oeq2d 5568	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A <-> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A ) )
93	14, 92	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
94		f1of 5572	. . . . . . . . 9 |- ( K : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A -> K : ( 1 ... M ) --> A )
95	93, 94	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K : ( 1 ... M ) --> A )
96		fvco3 5705	. . . . . . . 8 |- ( ( K : ( 1 ... M ) --> A /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) = ( `' f ` ( K ` i ) ) )
97	95, 96	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) = ( `' f ` ( K ` i ) ) )
98	97	fveq2d 5631	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) = ( f ` ( `' f ` ( K ` i ) ) ) )
99	11	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
100	95	ffvelcdmda 5770	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( K ` i ) e. A )
101		f1ocnvfv2 5902	. . . . . . 7 |- ( ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( K ` i ) e. A ) -> ( f ` ( `' f ` ( K ` i ) ) ) = ( K ` i ) )
102	99, 100, 101	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( f ` ( `' f ` ( K ` i ) ) ) = ( K ` i ) )
103	98, 102	eqtrd 2262	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) = ( K ` i ) )
104	103	csbeq1d 3131	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B = [_ ( K ` i ) / k ]_ B )
105		breq1 4086	. . . . . . 7 |- ( j = ( ( `' f o. K ) ` i ) -> ( j <_ (♯ ` A ) <-> ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ (♯ ` A ) ) )
106		fveq2 5627	. . . . . . . 8 |- ( j = ( ( `' f o. K ) ` i ) -> ( f ` j ) = ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) )
107	106	csbeq1d 3131	. . . . . . 7 |- ( j = ( ( `' f o. K ) ` i ) -> [_ ( f ` j ) / k ]_ B = [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B )
108	105, 107	ifbieq1d 3625	. . . . . 6 |- ( j = ( ( `' f o. K ) ` i ) -> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) = if ( ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B , 1 ) )
109		f1of 5572	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' f o. K ) : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) -> ( `' f o. K ) : ( 1 ... M ) --> ( 1 ... M ) )
110	21, 109	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( `' f o. K ) : ( 1 ... M ) --> ( 1 ... M ) )
111	110	ffvelcdmda 5770	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) e. ( 1 ... M ) )
112		elfznn 10250	. . . . . . 7 |- ( ( ( `' f o. K ) ` i ) e. ( 1 ... M ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) e. NN )
113	111, 112	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) e. NN )
114		elfzle2 10224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( `' f o. K ) ` i ) e. ( 1 ... M ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ M )
115	111, 114	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ M )
116	48	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> M = (♯ ` A ) )
117	115, 116	breqtrd 4109	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ (♯ ` A ) )
118	117	iftrued 3609	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> if ( ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B , 1 ) = [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B )
119	56	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A. k e. A B e. CC )
120		nfcsb1v 3157	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k [_ ( K ` i ) / k ]_ B
121	120	nfel1 2383	. . . . . . . . . 10 |- F/ k [_ ( K ` i ) / k ]_ B e. CC
122		csbeq1a 3133	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( K ` i ) -> B = [_ ( K ` i ) / k ]_ B )
123	122	eleq1d 2298	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( K ` i ) -> ( B e. CC <-> [_ ( K ` i ) / k ]_ B e. CC ) )
124	121, 123	rspc 2901	. . . . . . . . 9 |- ( ( K ` i ) e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ ( K ` i ) / k ]_ B e. CC ) )
125	100, 119, 124	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> [_ ( K ` i ) / k ]_ B e. CC )
126	104, 125	eqeltrd 2306	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B e. CC )
127	118, 126	eqeltrd 2306	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> if ( ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B , 1 ) e. CC )
128	22, 108, 113, 127	fvmptd3 5728	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) = if ( ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B , 1 ) )
129	128, 118	eqtrd 2262	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) = [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B )
130		breq1 4086	. . . . . . 7 |- ( j = i -> ( j <_ (♯ ` A ) <-> i <_ (♯ ` A ) ) )
131		fveq2 5627	. . . . . . . 8 |- ( j = i -> ( K ` j ) = ( K ` i ) )
132	131	csbeq1d 3131	. . . . . . 7 |- ( j = i -> [_ ( K ` j ) / k ]_ B = [_ ( K ` i ) / k ]_ B )
133	130, 132	ifbieq1d 3625	. . . . . 6 |- ( j = i -> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` j ) / k ]_ B , 1 ) = if ( i <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` i ) / k ]_ B , 1 ) )
134		elfznn 10250	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> i e. NN )
135	134	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> i e. NN )
136		elfzle2 10224	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> i <_ M )
137	136	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> i <_ M )
138	137, 116	breqtrd 4109	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> i <_ (♯ ` A ) )
139	138	iftrued 3609	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> if ( i <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` i ) / k ]_ B , 1 ) = [_ ( K ` i ) / k ]_ B )
140	139, 125	eqeltrd 2306	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> if ( i <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` i ) / k ]_ B , 1 ) e. CC )
141	73, 133, 135, 140	fvmptd3 5728	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( H ` i ) = if ( i <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` i ) / k ]_ B , 1 ) )
142	141, 139	eqtrd 2262	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( H ` i ) = [_ ( K ` i ) / k ]_ B )
143	104, 129, 142	3eqtr4rd 2273	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( H ` i ) = ( G ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) )
144	2, 4, 6, 10, 21, 72, 91, 143	seq3f1o 10739	. 2 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , H ) ` M ) = ( seq 1 ( x. , G ) ` M ) )
145	18	fveq2d 5631	. 2 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , H ) ` M ) = ( seq 1 ( x. , H ) ` N ) )
146	144, 145	eqtr3d 2264	1 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , G ) ` M ) = ( seq 1 ( x. , H ) ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 839   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   [_csb 3124   ifcif 3602   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   `'ccnv 4718   o. ccom 4723   -->wf 5314   -1-1-onto->wf1o 5317   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   CCcc 7997   1c1 8000   x. cmul 8004   <_ cle 8182   NNcn 9110   NN0cn0 9369   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722   ...cfz 10204   seqcseq 10669  ♯chash 10997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-1o 6562  df-er 6680  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-seqfrec 10670  df-ihash 10998

This theorem is referenced by:  prodmodclem2a  12087  prodmodc  12089