Theorem prodmodclem3 12265

Description: Lemma for prodmodc 12268. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodmo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
prodmo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
prodmodc.3	|- G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
prodmodclem3.4	|- H = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
prodmolem3.5	|- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN ) )
prodmolem3.6	|- ( ph -> f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
prodmolem3.7	|- ( ph -> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )

Assertion

Ref	Expression
prodmodclem3	|- ( ph -> ( seq 1 ( x. , G ) ` M ) = ( seq 1 ( x. , H ) ` N ) )

Distinct variable groups:   A, j, k   B, j   j, G   j, K, k   j, M   f, j, k   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( f, j)   A( f)   B( f, k)   F( f, j, k)   G( f, k)   H( f, j, k)   K( f)   M( f, k)   N( f, j, k)

Proof of Theorem prodmodclem3

Dummy variables i m x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcl 8256	. . . 4 |- ( ( m e. CC /\ y e. CC ) -> ( m x. y ) e. CC )
2	1	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ( m e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( m x. y ) e. CC )
3		mulcom 8258	. . . 4 |- ( ( m e. CC /\ y e. CC ) -> ( m x. y ) = ( y x. m ) )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ( m e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( m x. y ) = ( y x. m ) )
5		mulass 8260	. . . 4 |- ( ( m e. CC /\ y e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( m x. y ) x. x ) = ( m x. ( y x. x ) ) )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ( m e. CC /\ y e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( ( m x. y ) x. x ) = ( m x. ( y x. x ) ) )
7		prodmolem3.5	. . . . 5 |- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN ) )
8	7	simpld 112	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN )
9		nnuz 9893	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
10	8, 9	eleqtrdi 2327	. . 3 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
11		prodmolem3.6	. . . . . 6 |- ( ph -> f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
12		f1ocnv 5629	. . . . . 6 |- ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A -> `' f : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> `' f : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
14		prodmolem3.7	. . . . 5 |- ( ph -> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
15		f1oco 5639	. . . . 5 |- ( ( `' f : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) /\ K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A ) -> ( `' f o. K ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
16	13, 14, 15	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( `' f o. K ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
17	7	ancomd 267	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N e. NN /\ M e. NN ) )
18	17, 14, 11	nnf1o 12066	. . . . . 6 |- ( ph -> M = N )
19	18	oveq2d 6068	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... M ) = ( 1 ... N ) )
20	19	f1oeq2d 5612	. . . 4 |- ( ph -> ( ( `' f o. K ) : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) <-> ( `' f o. K ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) ) )
21	16, 20	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> ( `' f o. K ) : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
22		prodmodc.3	. . . . 5 |- G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
23		breq1 4114	. . . . . 6 |- ( j = m -> ( j <_ (♯ ` A ) <-> m <_ (♯ ` A ) ) )
24		fveq2 5672	. . . . . . 7 |- ( j = m -> ( f ` j ) = ( f ` m ) )
25	24	csbeq1d 3147	. . . . . 6 |- ( j = m -> [_ ( f ` j ) / k ]_ B = [_ ( f ` m ) / k ]_ B )
26	23, 25	ifbieq1d 3647	. . . . 5 |- ( j = m -> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) = if ( m <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` m ) / k ]_ B , 1 ) )
27		elnnuz 9894	. . . . . . 7 |- ( m e. NN <-> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
28	27	biimpri 133	. . . . . 6 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> m e. NN )
29	28	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> m e. NN )
30		f1of 5616	. . . . . . . . . 10 |- ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... M ) --> A )
31	11, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> f : ( 1 ... M ) --> A )
32	31	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> f : ( 1 ... M ) --> A )
33		1zzd 9606	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> 1 e. ZZ )
34	8	nnzd 9702	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> M e. ZZ )
36		eluzelz 9866	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> m e. ZZ )
37	36	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> m e. ZZ )
38	33, 35, 37	3jca 1204	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ m e. ZZ ) )
39		eluzle 9869	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 <_ m )
40	39	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> 1 <_ m )
41		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> m <_ (♯ ` A ) )
42	8	nnnn0d 9555	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. NN0 )
43		hashfz1 11150	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... M ) ) = M )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... M ) ) = M )
45		1zzd 9606	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
46	45, 34	fzfigd 10797	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 ... M ) e. Fin )
47	46, 11	fihasheqf1od 11156	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... M ) ) = (♯ ` A ) )
48	44, 47	eqtr3d 2269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M = (♯ ` A ) )
49	48	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> M = (♯ ` A ) )
50	41, 49	breqtrrd 4139	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> m <_ M )
51	40, 50	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 <_ m /\ m <_ M ) )
52		elfz2 10352	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( 1 ... M ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ m e. ZZ ) /\ ( 1 <_ m /\ m <_ M ) ) )
53	38, 51, 52	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> m e. ( 1 ... M ) )
54	32, 53	ffvelcdmd 5815	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> ( f ` m ) e. A )
55		prodmo.2	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
56	55	ralrimiva 2617	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
57	56	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> A. k e. A B e. CC )
58		nfcsb1v 3173	. . . . . . . . 9 |- F/_ k [_ ( f ` m ) / k ]_ B
59	58	nfel1 2397	. . . . . . . 8 |- F/ k [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC
60		csbeq1a 3149	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( f ` m ) -> B = [_ ( f ` m ) / k ]_ B )
61	60	eleq1d 2303	. . . . . . . 8 |- ( k = ( f ` m ) -> ( B e. CC <-> [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC ) )
62	59, 61	rspc 2917	. . . . . . 7 |- ( ( f ` m ) e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC ) )
63	54, 57, 62	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC )
64		1cnd 8292	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. m <_ (♯ ` A ) ) -> 1 e. CC )
65	29	nnzd 9702	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> m e. ZZ )
66	48, 34	eqeltrrd 2312	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (♯ ` A ) e. ZZ )
67	66	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
68		zdcle 9656	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ ) -> DECID m <_ (♯ ` A ) )
69	65, 67, 68	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID m <_ (♯ ` A ) )
70	63, 64, 69	ifcldadc 3654	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( m <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` m ) / k ]_ B , 1 ) e. CC )
71	22, 26, 29, 70	fvmptd3 5773	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( G ` m ) = if ( m <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` m ) / k ]_ B , 1 ) )
72	71, 70	eqeltrd 2311	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( G ` m ) e. CC )
73		prodmodclem3.4	. . . . 5 |- H = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
74		fveq2 5672	. . . . . . 7 |- ( j = m -> ( K ` j ) = ( K ` m ) )
75	74	csbeq1d 3147	. . . . . 6 |- ( j = m -> [_ ( K ` j ) / k ]_ B = [_ ( K ` m ) / k ]_ B )
76	23, 75	ifbieq1d 3647	. . . . 5 |- ( j = m -> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` j ) / k ]_ B , 1 ) = if ( m <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 1 ) )
77	14	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
78		f1of 5616	. . . . . . . . 9 |- ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A -> K : ( 1 ... N ) --> A )
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> K : ( 1 ... N ) --> A )
80	19	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 ... M ) = ( 1 ... N ) )
81	53, 80	eleqtrd 2313	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> m e. ( 1 ... N ) )
82	79, 81	ffvelcdmd 5815	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> ( K ` m ) e. A )
83		nfcsb1v 3173	. . . . . . . . 9 |- F/_ k [_ ( K ` m ) / k ]_ B
84	83	nfel1 2397	. . . . . . . 8 |- F/ k [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC
85		csbeq1a 3149	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( K ` m ) -> B = [_ ( K ` m ) / k ]_ B )
86	85	eleq1d 2303	. . . . . . . 8 |- ( k = ( K ` m ) -> ( B e. CC <-> [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC ) )
87	84, 86	rspc 2917	. . . . . . 7 |- ( ( K ` m ) e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC ) )
88	82, 57, 87	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m <_ (♯ ` A ) ) -> [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC )
89	88, 64, 69	ifcldadc 3654	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( m <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 1 ) e. CC )
90	73, 76, 29, 89	fvmptd3 5773	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( H ` m ) = if ( m <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 1 ) )
91	90, 89	eqeltrd 2311	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( H ` m ) e. CC )
92	19	f1oeq2d 5612	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A <-> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A ) )
93	14, 92	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
94		f1of 5616	. . . . . . . . 9 |- ( K : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A -> K : ( 1 ... M ) --> A )
95	93, 94	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K : ( 1 ... M ) --> A )
96		fvco3 5750	. . . . . . . 8 |- ( ( K : ( 1 ... M ) --> A /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) = ( `' f ` ( K ` i ) ) )
97	95, 96	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) = ( `' f ` ( K ` i ) ) )
98	97	fveq2d 5676	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) = ( f ` ( `' f ` ( K ` i ) ) ) )
99	11	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
100	95	ffvelcdmda 5814	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( K ` i ) e. A )
101		f1ocnvfv2 5953	. . . . . . 7 |- ( ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( K ` i ) e. A ) -> ( f ` ( `' f ` ( K ` i ) ) ) = ( K ` i ) )
102	99, 100, 101	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( f ` ( `' f ` ( K ` i ) ) ) = ( K ` i ) )
103	98, 102	eqtrd 2267	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) = ( K ` i ) )
104	103	csbeq1d 3147	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B = [_ ( K ` i ) / k ]_ B )
105		breq1 4114	. . . . . . 7 |- ( j = ( ( `' f o. K ) ` i ) -> ( j <_ (♯ ` A ) <-> ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ (♯ ` A ) ) )
106		fveq2 5672	. . . . . . . 8 |- ( j = ( ( `' f o. K ) ` i ) -> ( f ` j ) = ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) )
107	106	csbeq1d 3147	. . . . . . 7 |- ( j = ( ( `' f o. K ) ` i ) -> [_ ( f ` j ) / k ]_ B = [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B )
108	105, 107	ifbieq1d 3647	. . . . . 6 |- ( j = ( ( `' f o. K ) ` i ) -> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) = if ( ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B , 1 ) )
109		f1of 5616	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' f o. K ) : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) -> ( `' f o. K ) : ( 1 ... M ) --> ( 1 ... M ) )
110	21, 109	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( `' f o. K ) : ( 1 ... M ) --> ( 1 ... M ) )
111	110	ffvelcdmda 5814	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) e. ( 1 ... M ) )
112		elfznn 10391	. . . . . . 7 |- ( ( ( `' f o. K ) ` i ) e. ( 1 ... M ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) e. NN )
113	111, 112	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) e. NN )
114		elfzle2 10365	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( `' f o. K ) ` i ) e. ( 1 ... M ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ M )
115	111, 114	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ M )
116	48	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> M = (♯ ` A ) )
117	115, 116	breqtrd 4137	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ (♯ ` A ) )
118	117	iftrued 3631	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> if ( ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B , 1 ) = [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B )
119	56	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A. k e. A B e. CC )
120		nfcsb1v 3173	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k [_ ( K ` i ) / k ]_ B
121	120	nfel1 2397	. . . . . . . . . 10 |- F/ k [_ ( K ` i ) / k ]_ B e. CC
122		csbeq1a 3149	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( K ` i ) -> B = [_ ( K ` i ) / k ]_ B )
123	122	eleq1d 2303	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( K ` i ) -> ( B e. CC <-> [_ ( K ` i ) / k ]_ B e. CC ) )
124	121, 123	rspc 2917	. . . . . . . . 9 |- ( ( K ` i ) e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ ( K ` i ) / k ]_ B e. CC ) )
125	100, 119, 124	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> [_ ( K ` i ) / k ]_ B e. CC )
126	104, 125	eqeltrd 2311	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B e. CC )
127	118, 126	eqeltrd 2311	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> if ( ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B , 1 ) e. CC )
128	22, 108, 113, 127	fvmptd3 5773	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) = if ( ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B , 1 ) )
129	128, 118	eqtrd 2267	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) = [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B )
130		breq1 4114	. . . . . . 7 |- ( j = i -> ( j <_ (♯ ` A ) <-> i <_ (♯ ` A ) ) )
131		fveq2 5672	. . . . . . . 8 |- ( j = i -> ( K ` j ) = ( K ` i ) )
132	131	csbeq1d 3147	. . . . . . 7 |- ( j = i -> [_ ( K ` j ) / k ]_ B = [_ ( K ` i ) / k ]_ B )
133	130, 132	ifbieq1d 3647	. . . . . 6 |- ( j = i -> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` j ) / k ]_ B , 1 ) = if ( i <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` i ) / k ]_ B , 1 ) )
134		elfznn 10391	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> i e. NN )
135	134	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> i e. NN )
136		elfzle2 10365	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> i <_ M )
137	136	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> i <_ M )
138	137, 116	breqtrd 4137	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> i <_ (♯ ` A ) )
139	138	iftrued 3631	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> if ( i <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` i ) / k ]_ B , 1 ) = [_ ( K ` i ) / k ]_ B )
140	139, 125	eqeltrd 2311	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> if ( i <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` i ) / k ]_ B , 1 ) e. CC )
141	73, 133, 135, 140	fvmptd3 5773	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( H ` i ) = if ( i <_ (♯ ` A ) , [_ ( K ` i ) / k ]_ B , 1 ) )
142	141, 139	eqtrd 2267	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( H ` i ) = [_ ( K ` i ) / k ]_ B )
143	104, 129, 142	3eqtr4rd 2278	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( H ` i ) = ( G ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) )
144	2, 4, 6, 10, 21, 72, 91, 143	seq3f1o 10883	. 2 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , H ) ` M ) = ( seq 1 ( x. , G ) ` M ) )
145	18	fveq2d 5676	. 2 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , H ) ` M ) = ( seq 1 ( x. , H ) ` N ) )
146	144, 145	eqtr3d 2269	1 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , G ) ` M ) = ( seq 1 ( x. , H ) ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   [_csb 3140   ifcif 3622   class class class wbr 4111   |-> cmpt 4173   `'ccnv 4750   o. ccom 4755   -->wf 5350   -1-1-onto->wf1o 5353   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   CCcc 8127   1c1 8130   x. cmul 8134   <_ cle 8311   NNcn 9239   NN0cn0 9498   ZZcz 9579   ZZ>=cuz 9856   ...cfz 10345   seqcseq 10813  ♯chash 11142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-1o 6649  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346  df-fzo 10481  df-seqfrec 10814  df-ihash 11143

This theorem is referenced by:  prodmodclem2a  12266  prodmodc  12268