Theorem summodclem3 12091

Description: Lemma for summodc 12094. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Mar-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
isummo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
isummo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
isummolem3.5	|- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN ) )
isummolem3.6	|- ( ph -> f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
isummolem3.7	|- ( ph -> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
isummolem3.g	|- G = ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
isummolem3.4	|- H = ( n e. NN |-> if ( n <_ N , [_ ( K ` n ) / k ]_ B , 0 ) )

Assertion

Ref	Expression
summodclem3	|- ( ph -> ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , H ) ` N ) )

Distinct variable groups:   k, n, A   n, F   k, N, n   ph, k, n   k, M, n   B, n   k, K, n   f, k, n

Allowed substitution hints:   ph( f)   A( f)   B( f, k)   F( f, k)   G( f, k, n)   H( f, k, n)   K( f)   M( f)   N( f)

Proof of Theorem summodclem3

Dummy variables i j m y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 8268	. . . 4 |- ( ( m e. CC /\ j e. CC ) -> ( m + j ) e. CC )
2	1	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ( m e. CC /\ j e. CC ) ) -> ( m + j ) e. CC )
3		addcom 8426	. . . 4 |- ( ( m e. CC /\ j e. CC ) -> ( m + j ) = ( j + m ) )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ( m e. CC /\ j e. CC ) ) -> ( m + j ) = ( j + m ) )
5		addass 8273	. . . 4 |- ( ( m e. CC /\ j e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( m + j ) + y ) = ( m + ( j + y ) ) )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ( m e. CC /\ j e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( m + j ) + y ) = ( m + ( j + y ) ) )
7		isummolem3.5	. . . . 5 |- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN ) )
8	7	simpld 112	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN )
9		nnuz 9908	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
10	8, 9	eleqtrdi 2327	. . 3 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
11		isummolem3.6	. . . . . 6 |- ( ph -> f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
12		f1ocnv 5632	. . . . . 6 |- ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A -> `' f : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> `' f : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
14		isummolem3.7	. . . . 5 |- ( ph -> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
15		f1oco 5642	. . . . 5 |- ( ( `' f : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) /\ K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A ) -> ( `' f o. K ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
16	13, 14, 15	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( `' f o. K ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
17	7, 11, 14	nnf1o 12087	. . . . . . 7 |- ( ph -> N = M )
18	17	eqcomd 2240	. . . . . 6 |- ( ph -> M = N )
19	18	oveq2d 6074	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... M ) = ( 1 ... N ) )
20		f1oeq2 5608	. . . . 5 |- ( ( 1 ... M ) = ( 1 ... N ) -> ( ( `' f o. K ) : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) <-> ( `' f o. K ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) ) )
21	19, 20	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( `' f o. K ) : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) <-> ( `' f o. K ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) ) )
22	16, 21	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> ( `' f o. K ) : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
23		elnnuz 9909	. . . 4 |- ( m e. NN <-> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
24		isummolem3.g	. . . . . . 7 |- G = ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
25		breq1 4117	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( n <_ M <-> m <_ M ) )
26		fveq2 5675	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( f ` n ) = ( f ` m ) )
27	26	csbeq1d 3148	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` m ) / k ]_ B )
28	25, 27	ifbieq1d 3649	. . . . . . 7 |- ( n = m -> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( m <_ M , [_ ( f ` m ) / k ]_ B , 0 ) )
29		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> m e. NN )
30		elfzle2 10382	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( 1 ... M ) -> m <_ M )
31	30	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> m <_ M )
32	31	iftrued 3633	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> if ( m <_ M , [_ ( f ` m ) / k ]_ B , 0 ) = [_ ( f ` m ) / k ]_ B )
33		f1of 5619	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... M ) --> A )
34	11, 33	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> f : ( 1 ... M ) --> A )
35	34	ffvelcdmda 5817	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> ( f ` m ) e. A )
36		isummo.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
37	36	ralrimiva 2617	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
38	37	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> A. k e. A B e. CC )
39		nfcsb1v 3174	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k [_ ( f ` m ) / k ]_ B
40	39	nfel1 2397	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC
41		csbeq1a 3150	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( f ` m ) -> B = [_ ( f ` m ) / k ]_ B )
42	41	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( f ` m ) -> ( B e. CC <-> [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC ) )
43	40, 42	rspc 2917	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` m ) e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC ) )
44	35, 38, 43	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC )
45	44	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC )
46	32, 45	eqeltrd 2311	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> if ( m <_ M , [_ ( f ` m ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
47	24, 28, 29, 46	fvmptd3 5776	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` m ) = if ( m <_ M , [_ ( f ` m ) / k ]_ B , 0 ) )
48	47, 46	eqeltrd 2311	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` m ) e. CC )
49		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> m e. NN )
50	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M e. NN )
51	50	nnzd 9717	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
52		eluzp1l 9897	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M < m )
53	51, 52	sylancom 420	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M < m )
54	49	nnzd 9717	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> m e. ZZ )
55		zltnle 9640	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( M < m <-> -. m <_ M ) )
56	51, 54, 55	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M < m <-> -. m <_ M ) )
57	53, 56	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> -. m <_ M )
58	57	iffalsed 3636	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> if ( m <_ M , [_ ( f ` m ) / k ]_ B , 0 ) = 0 )
59		0cn 8282	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
60	58, 59	eqeltrdi 2325	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> if ( m <_ M , [_ ( f ` m ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
61	24, 28, 49, 60	fvmptd3 5776	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( G ` m ) = if ( m <_ M , [_ ( f ` m ) / k ]_ B , 0 ) )
62	61, 60	eqeltrd 2311	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( G ` m ) e. CC )
63		nnsplit 10493	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> NN = ( ( 1 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
64	8, 63	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> NN = ( ( 1 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
65	64	eleq2d 2304	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( m e. NN <-> m e. ( ( 1 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
66	65	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. ( ( 1 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
67		elun 3364	. . . . . 6 |- ( m e. ( ( 1 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) <-> ( m e. ( 1 ... M ) \/ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
68	66, 67	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( m e. ( 1 ... M ) \/ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
69	48, 62, 68	mpjaodan 806	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( G ` m ) e. CC )
70	23, 69	sylan2br 288	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( G ` m ) e. CC )
71	17	oveq2d 6074	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... N ) = ( 1 ... M ) )
72	71	eleq2d 2304	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( m e. ( 1 ... N ) <-> m e. ( 1 ... M ) ) )
73	72	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( m e. ( 1 ... N ) <-> m e. ( 1 ... M ) ) )
74	73	pm5.32i 454	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... N ) ) <-> ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) )
75		isummolem3.4	. . . . . . . 8 |- H = ( n e. NN |-> if ( n <_ N , [_ ( K ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
76		breq1 4117	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( n <_ N <-> m <_ N ) )
77		fveq2 5675	. . . . . . . . . 10 |- ( n = m -> ( K ` n ) = ( K ` m ) )
78	77	csbeq1d 3148	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> [_ ( K ` n ) / k ]_ B = [_ ( K ` m ) / k ]_ B )
79	76, 78	ifbieq1d 3649	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> if ( n <_ N , [_ ( K ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( m <_ N , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 0 ) )
80		simplr 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... N ) ) -> m e. NN )
81		elfzle2 10382	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( 1 ... N ) -> m <_ N )
82	81	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... N ) ) -> m <_ N )
83	82	iftrued 3633	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... N ) ) -> if ( m <_ N , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 0 ) = [_ ( K ` m ) / k ]_ B )
84		f1of 5619	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A -> K : ( 1 ... N ) --> A )
85	14, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> K : ( 1 ... N ) --> A )
86	85	ffvelcdmda 5817	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... N ) ) -> ( K ` m ) e. A )
87	37	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... N ) ) -> A. k e. A B e. CC )
88		nfcsb1v 3174	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k [_ ( K ` m ) / k ]_ B
89	88	nfel1 2397	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC
90		csbeq1a 3150	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( K ` m ) -> B = [_ ( K ` m ) / k ]_ B )
91	90	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( K ` m ) -> ( B e. CC <-> [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC ) )
92	89, 91	rspc 2917	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K ` m ) e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC ) )
93	86, 87, 92	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... N ) ) -> [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC )
94	93	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... N ) ) -> [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC )
95	83, 94	eqeltrd 2311	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... N ) ) -> if ( m <_ N , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
96	75, 79, 80, 95	fvmptd3 5776	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... N ) ) -> ( H ` m ) = if ( m <_ N , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 0 ) )
97	96, 95	eqeltrd 2311	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... N ) ) -> ( H ` m ) e. CC )
98	74, 97	sylbir 135	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> ( H ` m ) e. CC )
99	17	breq2d 4126	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( m <_ N <-> m <_ M ) )
100	99	notbid 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -. m <_ N <-> -. m <_ M ) )
101	100	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( -. m <_ N <-> -. m <_ M ) )
102	57, 101	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> -. m <_ N )
103	102	iffalsed 3636	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> if ( m <_ N , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 0 ) = 0 )
104	103, 59	eqeltrdi 2325	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> if ( m <_ N , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
105	75, 79, 49, 104	fvmptd3 5776	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( H ` m ) = if ( m <_ N , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 0 ) )
106	105, 104	eqeltrd 2311	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( H ` m ) e. CC )
107	98, 106, 68	mpjaodan 806	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( H ` m ) e. CC )
108	23, 107	sylan2br 288	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( H ` m ) e. CC )
109		f1oeq2 5608	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 ... M ) = ( 1 ... N ) -> ( K : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A <-> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A ) )
110	19, 109	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A <-> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A ) )
111	14, 110	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
112		f1of 5619	. . . . . . . . 9 |- ( K : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A -> K : ( 1 ... M ) --> A )
113	111, 112	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K : ( 1 ... M ) --> A )
114		fvco3 5753	. . . . . . . 8 |- ( ( K : ( 1 ... M ) --> A /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) = ( `' f ` ( K ` i ) ) )
115	113, 114	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) = ( `' f ` ( K ` i ) ) )
116	115	fveq2d 5679	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) = ( f ` ( `' f ` ( K ` i ) ) ) )
117	11	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
118	113	ffvelcdmda 5817	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( K ` i ) e. A )
119		f1ocnvfv2 5957	. . . . . . 7 |- ( ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( K ` i ) e. A ) -> ( f ` ( `' f ` ( K ` i ) ) ) = ( K ` i ) )
120	117, 118, 119	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( f ` ( `' f ` ( K ` i ) ) ) = ( K ` i ) )
121	116, 120	eqtr2d 2268	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( K ` i ) = ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) )
122	121	csbeq1d 3148	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> [_ ( K ` i ) / k ]_ B = [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B )
123		elfznn 10409	. . . . . 6 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> i e. NN )
124		elfzle2 10382	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> i <_ M )
125	124	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> i <_ M )
126	18	breq2d 4126	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( i <_ M <-> i <_ N ) )
127	126	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( i <_ M <-> i <_ N ) )
128	125, 127	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> i <_ N )
129	128	iftrued 3633	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> if ( i <_ N , [_ ( K ` i ) / k ]_ B , 0 ) = [_ ( K ` i ) / k ]_ B )
130	37	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A. k e. A B e. CC )
131		nfcsb1v 3174	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ ( K ` i ) / k ]_ B
132	131	nfel1 2397	. . . . . . . . 9 |- F/ k [_ ( K ` i ) / k ]_ B e. CC
133		csbeq1a 3150	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( K ` i ) -> B = [_ ( K ` i ) / k ]_ B )
134	133	eleq1d 2303	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( K ` i ) -> ( B e. CC <-> [_ ( K ` i ) / k ]_ B e. CC ) )
135	132, 134	rspc 2917	. . . . . . . 8 |- ( ( K ` i ) e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ ( K ` i ) / k ]_ B e. CC ) )
136	118, 130, 135	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> [_ ( K ` i ) / k ]_ B e. CC )
137	129, 136	eqeltrd 2311	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> if ( i <_ N , [_ ( K ` i ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
138		breq1 4117	. . . . . . . 8 |- ( n = i -> ( n <_ N <-> i <_ N ) )
139		fveq2 5675	. . . . . . . . 9 |- ( n = i -> ( K ` n ) = ( K ` i ) )
140	139	csbeq1d 3148	. . . . . . . 8 |- ( n = i -> [_ ( K ` n ) / k ]_ B = [_ ( K ` i ) / k ]_ B )
141	138, 140	ifbieq1d 3649	. . . . . . 7 |- ( n = i -> if ( n <_ N , [_ ( K ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( i <_ N , [_ ( K ` i ) / k ]_ B , 0 ) )
142	141, 75	fvmptg 5758	. . . . . 6 |- ( ( i e. NN /\ if ( i <_ N , [_ ( K ` i ) / k ]_ B , 0 ) e. CC ) -> ( H ` i ) = if ( i <_ N , [_ ( K ` i ) / k ]_ B , 0 ) )
143	123, 137, 142	syl2an2 598	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( H ` i ) = if ( i <_ N , [_ ( K ` i ) / k ]_ B , 0 ) )
144	143, 129	eqtrd 2267	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( H ` i ) = [_ ( K ` i ) / k ]_ B )
145		breq1 4117	. . . . . . 7 |- ( n = ( ( `' f o. K ) ` i ) -> ( n <_ M <-> ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ M ) )
146		fveq2 5675	. . . . . . . 8 |- ( n = ( ( `' f o. K ) ` i ) -> ( f ` n ) = ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) )
147	146	csbeq1d 3148	. . . . . . 7 |- ( n = ( ( `' f o. K ) ` i ) -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B )
148	145, 147	ifbieq1d 3649	. . . . . 6 |- ( n = ( ( `' f o. K ) ` i ) -> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ M , [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B , 0 ) )
149		f1of 5619	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' f o. K ) : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) -> ( `' f o. K ) : ( 1 ... M ) --> ( 1 ... M ) )
150	22, 149	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( `' f o. K ) : ( 1 ... M ) --> ( 1 ... M ) )
151	150	ffvelcdmda 5817	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) e. ( 1 ... M ) )
152		elfznn 10409	. . . . . . 7 |- ( ( ( `' f o. K ) ` i ) e. ( 1 ... M ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) e. NN )
153	151, 152	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) e. NN )
154		elfzle2 10382	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( `' f o. K ) ` i ) e. ( 1 ... M ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ M )
155	151, 154	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ M )
156	155	iftrued 3633	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> if ( ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ M , [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B , 0 ) = [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B )
157	156, 122	eqtr4d 2270	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> if ( ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ M , [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B , 0 ) = [_ ( K ` i ) / k ]_ B )
158	157, 136	eqeltrd 2311	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> if ( ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ M , [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
159	24, 148, 153, 158	fvmptd3 5776	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) = if ( ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ M , [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B , 0 ) )
160	159, 156	eqtrd 2267	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) = [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B )
161	122, 144, 160	3eqtr4d 2277	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( H ` i ) = ( G ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) )
162	2, 4, 6, 10, 22, 70, 108, 161	seq3f1o 10903	. 2 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , H ) ` M ) = ( seq 1 ( + , G ) ` M ) )
163	18	fveq2d 5679	. 2 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , H ) ` M ) = ( seq 1 ( + , H ) ` N ) )
164	162, 163	eqtr3d 2269	1 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , H ) ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   [_csb 3141   u. cun 3212   ifcif 3624   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   `'ccnv 4753   o. ccom 4758   -->wf 5353   -1-1-onto->wf1o 5356   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   <_ cle 8325   NNcn 9254   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   ...cfz 10361   seqcseq 10833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-ihash 11164

This theorem is referenced by:  summodclem2a  12092  summodc  12094