Theorem summodclem3 11940

Description: Lemma for summodc 11943. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Mar-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
isummo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
isummo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
isummolem3.5	|- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN ) )
isummolem3.6	|- ( ph -> f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
isummolem3.7	|- ( ph -> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
isummolem3.g	|- G = ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
isummolem3.4	|- H = ( n e. NN |-> if ( n <_ N , [_ ( K ` n ) / k ]_ B , 0 ) )

Assertion

Ref	Expression
summodclem3	|- ( ph -> ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , H ) ` N ) )

Distinct variable groups:   k, n, A   n, F   k, N, n   ph, k, n   k, M, n   B, n   k, K, n   f, k, n

Allowed substitution hints:   ph( f)   A( f)   B( f, k)   F( f, k)   G( f, k, n)   H( f, k, n)   K( f)   M( f)   N( f)

Proof of Theorem summodclem3

Dummy variables i j m y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 8156	. . . 4 |- ( ( m e. CC /\ j e. CC ) -> ( m + j ) e. CC )
2	1	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ( m e. CC /\ j e. CC ) ) -> ( m + j ) e. CC )
3		addcom 8315	. . . 4 |- ( ( m e. CC /\ j e. CC ) -> ( m + j ) = ( j + m ) )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ( m e. CC /\ j e. CC ) ) -> ( m + j ) = ( j + m ) )
5		addass 8161	. . . 4 |- ( ( m e. CC /\ j e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( m + j ) + y ) = ( m + ( j + y ) ) )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ( m e. CC /\ j e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( m + j ) + y ) = ( m + ( j + y ) ) )
7		isummolem3.5	. . . . 5 |- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN ) )
8	7	simpld 112	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN )
9		nnuz 9791	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
10	8, 9	eleqtrdi 2324	. . 3 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
11		isummolem3.6	. . . . . 6 |- ( ph -> f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
12		f1ocnv 5596	. . . . . 6 |- ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A -> `' f : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> `' f : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
14		isummolem3.7	. . . . 5 |- ( ph -> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
15		f1oco 5606	. . . . 5 |- ( ( `' f : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) /\ K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A ) -> ( `' f o. K ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
16	13, 14, 15	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( `' f o. K ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
17	7, 11, 14	nnf1o 11936	. . . . . . 7 |- ( ph -> N = M )
18	17	eqcomd 2237	. . . . . 6 |- ( ph -> M = N )
19	18	oveq2d 6033	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... M ) = ( 1 ... N ) )
20		f1oeq2 5572	. . . . 5 |- ( ( 1 ... M ) = ( 1 ... N ) -> ( ( `' f o. K ) : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) <-> ( `' f o. K ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) ) )
21	19, 20	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( `' f o. K ) : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) <-> ( `' f o. K ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) ) )
22	16, 21	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> ( `' f o. K ) : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
23		elnnuz 9792	. . . 4 |- ( m e. NN <-> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
24		isummolem3.g	. . . . . . 7 |- G = ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
25		breq1 4091	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( n <_ M <-> m <_ M ) )
26		fveq2 5639	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( f ` n ) = ( f ` m ) )
27	26	csbeq1d 3134	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` m ) / k ]_ B )
28	25, 27	ifbieq1d 3628	. . . . . . 7 |- ( n = m -> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( m <_ M , [_ ( f ` m ) / k ]_ B , 0 ) )
29		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> m e. NN )
30		elfzle2 10262	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( 1 ... M ) -> m <_ M )
31	30	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> m <_ M )
32	31	iftrued 3612	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> if ( m <_ M , [_ ( f ` m ) / k ]_ B , 0 ) = [_ ( f ` m ) / k ]_ B )
33		f1of 5583	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... M ) --> A )
34	11, 33	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> f : ( 1 ... M ) --> A )
35	34	ffvelcdmda 5782	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> ( f ` m ) e. A )
36		isummo.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
37	36	ralrimiva 2605	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
38	37	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> A. k e. A B e. CC )
39		nfcsb1v 3160	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k [_ ( f ` m ) / k ]_ B
40	39	nfel1 2385	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC
41		csbeq1a 3136	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( f ` m ) -> B = [_ ( f ` m ) / k ]_ B )
42	41	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( f ` m ) -> ( B e. CC <-> [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC ) )
43	40, 42	rspc 2904	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` m ) e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC ) )
44	35, 38, 43	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC )
45	44	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC )
46	32, 45	eqeltrd 2308	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> if ( m <_ M , [_ ( f ` m ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
47	24, 28, 29, 46	fvmptd3 5740	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` m ) = if ( m <_ M , [_ ( f ` m ) / k ]_ B , 0 ) )
48	47, 46	eqeltrd 2308	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` m ) e. CC )
49		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> m e. NN )
50	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M e. NN )
51	50	nnzd 9600	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
52		eluzp1l 9780	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M < m )
53	51, 52	sylancom 420	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M < m )
54	49	nnzd 9600	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> m e. ZZ )
55		zltnle 9524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( M < m <-> -. m <_ M ) )
56	51, 54, 55	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M < m <-> -. m <_ M ) )
57	53, 56	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> -. m <_ M )
58	57	iffalsed 3615	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> if ( m <_ M , [_ ( f ` m ) / k ]_ B , 0 ) = 0 )
59		0cn 8170	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
60	58, 59	eqeltrdi 2322	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> if ( m <_ M , [_ ( f ` m ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
61	24, 28, 49, 60	fvmptd3 5740	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( G ` m ) = if ( m <_ M , [_ ( f ` m ) / k ]_ B , 0 ) )
62	61, 60	eqeltrd 2308	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( G ` m ) e. CC )
63		nnsplit 10371	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> NN = ( ( 1 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
64	8, 63	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> NN = ( ( 1 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
65	64	eleq2d 2301	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( m e. NN <-> m e. ( ( 1 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
66	65	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. ( ( 1 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
67		elun 3348	. . . . . 6 |- ( m e. ( ( 1 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) <-> ( m e. ( 1 ... M ) \/ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
68	66, 67	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( m e. ( 1 ... M ) \/ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
69	48, 62, 68	mpjaodan 805	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( G ` m ) e. CC )
70	23, 69	sylan2br 288	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( G ` m ) e. CC )
71	17	oveq2d 6033	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... N ) = ( 1 ... M ) )
72	71	eleq2d 2301	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( m e. ( 1 ... N ) <-> m e. ( 1 ... M ) ) )
73	72	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( m e. ( 1 ... N ) <-> m e. ( 1 ... M ) ) )
74	73	pm5.32i 454	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... N ) ) <-> ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) )
75		isummolem3.4	. . . . . . . 8 |- H = ( n e. NN |-> if ( n <_ N , [_ ( K ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
76		breq1 4091	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( n <_ N <-> m <_ N ) )
77		fveq2 5639	. . . . . . . . . 10 |- ( n = m -> ( K ` n ) = ( K ` m ) )
78	77	csbeq1d 3134	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> [_ ( K ` n ) / k ]_ B = [_ ( K ` m ) / k ]_ B )
79	76, 78	ifbieq1d 3628	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> if ( n <_ N , [_ ( K ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( m <_ N , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 0 ) )
80		simplr 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... N ) ) -> m e. NN )
81		elfzle2 10262	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( 1 ... N ) -> m <_ N )
82	81	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... N ) ) -> m <_ N )
83	82	iftrued 3612	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... N ) ) -> if ( m <_ N , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 0 ) = [_ ( K ` m ) / k ]_ B )
84		f1of 5583	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A -> K : ( 1 ... N ) --> A )
85	14, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> K : ( 1 ... N ) --> A )
86	85	ffvelcdmda 5782	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... N ) ) -> ( K ` m ) e. A )
87	37	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... N ) ) -> A. k e. A B e. CC )
88		nfcsb1v 3160	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k [_ ( K ` m ) / k ]_ B
89	88	nfel1 2385	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC
90		csbeq1a 3136	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( K ` m ) -> B = [_ ( K ` m ) / k ]_ B )
91	90	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( K ` m ) -> ( B e. CC <-> [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC ) )
92	89, 91	rspc 2904	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K ` m ) e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC ) )
93	86, 87, 92	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... N ) ) -> [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC )
94	93	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... N ) ) -> [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC )
95	83, 94	eqeltrd 2308	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... N ) ) -> if ( m <_ N , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
96	75, 79, 80, 95	fvmptd3 5740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... N ) ) -> ( H ` m ) = if ( m <_ N , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 0 ) )
97	96, 95	eqeltrd 2308	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... N ) ) -> ( H ` m ) e. CC )
98	74, 97	sylbir 135	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> ( H ` m ) e. CC )
99	17	breq2d 4100	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( m <_ N <-> m <_ M ) )
100	99	notbid 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -. m <_ N <-> -. m <_ M ) )
101	100	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( -. m <_ N <-> -. m <_ M ) )
102	57, 101	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> -. m <_ N )
103	102	iffalsed 3615	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> if ( m <_ N , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 0 ) = 0 )
104	103, 59	eqeltrdi 2322	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> if ( m <_ N , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
105	75, 79, 49, 104	fvmptd3 5740	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( H ` m ) = if ( m <_ N , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 0 ) )
106	105, 104	eqeltrd 2308	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( H ` m ) e. CC )
107	98, 106, 68	mpjaodan 805	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( H ` m ) e. CC )
108	23, 107	sylan2br 288	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( H ` m ) e. CC )
109		f1oeq2 5572	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 ... M ) = ( 1 ... N ) -> ( K : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A <-> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A ) )
110	19, 109	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A <-> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A ) )
111	14, 110	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
112		f1of 5583	. . . . . . . . 9 |- ( K : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A -> K : ( 1 ... M ) --> A )
113	111, 112	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K : ( 1 ... M ) --> A )
114		fvco3 5717	. . . . . . . 8 |- ( ( K : ( 1 ... M ) --> A /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) = ( `' f ` ( K ` i ) ) )
115	113, 114	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) = ( `' f ` ( K ` i ) ) )
116	115	fveq2d 5643	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) = ( f ` ( `' f ` ( K ` i ) ) ) )
117	11	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
118	113	ffvelcdmda 5782	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( K ` i ) e. A )
119		f1ocnvfv2 5918	. . . . . . 7 |- ( ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( K ` i ) e. A ) -> ( f ` ( `' f ` ( K ` i ) ) ) = ( K ` i ) )
120	117, 118, 119	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( f ` ( `' f ` ( K ` i ) ) ) = ( K ` i ) )
121	116, 120	eqtr2d 2265	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( K ` i ) = ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) )
122	121	csbeq1d 3134	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> [_ ( K ` i ) / k ]_ B = [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B )
123		elfznn 10288	. . . . . 6 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> i e. NN )
124		elfzle2 10262	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> i <_ M )
125	124	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> i <_ M )
126	18	breq2d 4100	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( i <_ M <-> i <_ N ) )
127	126	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( i <_ M <-> i <_ N ) )
128	125, 127	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> i <_ N )
129	128	iftrued 3612	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> if ( i <_ N , [_ ( K ` i ) / k ]_ B , 0 ) = [_ ( K ` i ) / k ]_ B )
130	37	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A. k e. A B e. CC )
131		nfcsb1v 3160	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ ( K ` i ) / k ]_ B
132	131	nfel1 2385	. . . . . . . . 9 |- F/ k [_ ( K ` i ) / k ]_ B e. CC
133		csbeq1a 3136	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( K ` i ) -> B = [_ ( K ` i ) / k ]_ B )
134	133	eleq1d 2300	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( K ` i ) -> ( B e. CC <-> [_ ( K ` i ) / k ]_ B e. CC ) )
135	132, 134	rspc 2904	. . . . . . . 8 |- ( ( K ` i ) e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ ( K ` i ) / k ]_ B e. CC ) )
136	118, 130, 135	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> [_ ( K ` i ) / k ]_ B e. CC )
137	129, 136	eqeltrd 2308	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> if ( i <_ N , [_ ( K ` i ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
138		breq1 4091	. . . . . . . 8 |- ( n = i -> ( n <_ N <-> i <_ N ) )
139		fveq2 5639	. . . . . . . . 9 |- ( n = i -> ( K ` n ) = ( K ` i ) )
140	139	csbeq1d 3134	. . . . . . . 8 |- ( n = i -> [_ ( K ` n ) / k ]_ B = [_ ( K ` i ) / k ]_ B )
141	138, 140	ifbieq1d 3628	. . . . . . 7 |- ( n = i -> if ( n <_ N , [_ ( K ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( i <_ N , [_ ( K ` i ) / k ]_ B , 0 ) )
142	141, 75	fvmptg 5722	. . . . . 6 |- ( ( i e. NN /\ if ( i <_ N , [_ ( K ` i ) / k ]_ B , 0 ) e. CC ) -> ( H ` i ) = if ( i <_ N , [_ ( K ` i ) / k ]_ B , 0 ) )
143	123, 137, 142	syl2an2 598	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( H ` i ) = if ( i <_ N , [_ ( K ` i ) / k ]_ B , 0 ) )
144	143, 129	eqtrd 2264	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( H ` i ) = [_ ( K ` i ) / k ]_ B )
145		breq1 4091	. . . . . . 7 |- ( n = ( ( `' f o. K ) ` i ) -> ( n <_ M <-> ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ M ) )
146		fveq2 5639	. . . . . . . 8 |- ( n = ( ( `' f o. K ) ` i ) -> ( f ` n ) = ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) )
147	146	csbeq1d 3134	. . . . . . 7 |- ( n = ( ( `' f o. K ) ` i ) -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B )
148	145, 147	ifbieq1d 3628	. . . . . 6 |- ( n = ( ( `' f o. K ) ` i ) -> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ M , [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B , 0 ) )
149		f1of 5583	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' f o. K ) : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) -> ( `' f o. K ) : ( 1 ... M ) --> ( 1 ... M ) )
150	22, 149	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( `' f o. K ) : ( 1 ... M ) --> ( 1 ... M ) )
151	150	ffvelcdmda 5782	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) e. ( 1 ... M ) )
152		elfznn 10288	. . . . . . 7 |- ( ( ( `' f o. K ) ` i ) e. ( 1 ... M ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) e. NN )
153	151, 152	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) e. NN )
154		elfzle2 10262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( `' f o. K ) ` i ) e. ( 1 ... M ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ M )
155	151, 154	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ M )
156	155	iftrued 3612	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> if ( ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ M , [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B , 0 ) = [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B )
157	156, 122	eqtr4d 2267	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> if ( ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ M , [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B , 0 ) = [_ ( K ` i ) / k ]_ B )
158	157, 136	eqeltrd 2308	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> if ( ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ M , [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
159	24, 148, 153, 158	fvmptd3 5740	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) = if ( ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ M , [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B , 0 ) )
160	159, 156	eqtrd 2264	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) = [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B )
161	122, 144, 160	3eqtr4d 2274	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( H ` i ) = ( G ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) )
162	2, 4, 6, 10, 22, 70, 108, 161	seq3f1o 10778	. 2 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , H ) ` M ) = ( seq 1 ( + , G ) ` M ) )
163	18	fveq2d 5643	. 2 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , H ) ` M ) = ( seq 1 ( + , H ) ` N ) )
164	162, 163	eqtr3d 2266	1 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , H ) ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   [_csb 3127   u. cun 3198   ifcif 3605   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   `'ccnv 4724   o. ccom 4729   -->wf 5322   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   CCcc 8029   0cc0 8031   1c1 8032   + caddc 8034   < clt 8213   <_ cle 8214   NNcn 9142   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754   ...cfz 10242   seqcseq 10708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-seqfrec 10709  df-ihash 11037

This theorem is referenced by:  summodclem2a  11941  summodc  11943