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Theorem summodclem3 11161
Description: Lemma for summodc 11164. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Mar-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
isummo.1  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
isummo.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
isummolem3.5  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN ) )
isummolem3.6  |-  ( ph  ->  f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
isummolem3.7  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
isummolem3.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) )
isummolem3.4  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  N ,  [_ ( K `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) )
Assertion
Ref Expression
summodclem3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  G ) `
 M )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 N ) )
Distinct variable groups:    k, n, A   
n, F    k, N, n    ph, k, n    k, M, n    B, n    k, K, n    f, k, n
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( f)    B( f, k)    F( f, k)    G( f, k, n)    H( f, k, n)    K( f)    M( f)    N( f)

Proof of Theorem summodclem3
Dummy variables  i  j  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcl 7757 . . . 4  |-  ( ( m  e.  CC  /\  j  e.  CC )  ->  ( m  +  j )  e.  CC )
21adantl 275 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  CC  /\  j  e.  CC ) )  -> 
( m  +  j )  e.  CC )
3 addcom 7911 . . . 4  |-  ( ( m  e.  CC  /\  j  e.  CC )  ->  ( m  +  j )  =  ( j  +  m ) )
43adantl 275 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  CC  /\  j  e.  CC ) )  -> 
( m  +  j )  =  ( j  +  m ) )
5 addass 7762 . . . 4  |-  ( ( m  e.  CC  /\  j  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  (
( m  +  j )  +  y )  =  ( m  +  ( j  +  y ) ) )
65adantl 275 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  CC  /\  j  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( ( m  +  j )  +  y )  =  ( m  +  ( j  +  y ) ) )
7 isummolem3.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN ) )
87simpld 111 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
9 nnuz 9373 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
108, 9eleqtrdi 2232 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
11 isummolem3.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
12 f1ocnv 5380 . . . . . 6  |-  ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  ->  `' f : A -1-1-onto-> ( 1 ... M
) )
1311, 12syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  `' f : A -1-1-onto-> (
1 ... M ) )
14 isummolem3.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
15 f1oco 5390 . . . . 5  |-  ( ( `' f : A -1-1-onto-> (
1 ... M )  /\  K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )  ->  ( `' f  o.  K
) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
1613, 14, 15syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' f  o.  K ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
177, 11, 14nnf1o 11157 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  =  M )
1817eqcomd 2145 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  =  N )
1918oveq2d 5790 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... M
)  =  ( 1 ... N ) )
20 f1oeq2 5357 . . . . 5  |-  ( ( 1 ... M )  =  ( 1 ... N )  ->  (
( `' f  o.  K ) : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( 1 ... M )  <-> 
( `' f  o.  K ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) ) )
2119, 20syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' f  o.  K ) : ( 1 ... M
)
-1-1-onto-> ( 1 ... M
)  <->  ( `' f  o.  K ) : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... M
) ) )
2216, 21mpbird 166 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' f  o.  K ) : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
23 elnnuz 9374 . . . 4  |-  ( m  e.  NN  <->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
24 isummolem3.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) )
25 breq1 3932 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
n  <_  M  <->  m  <_  M ) )
26 fveq2 5421 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  (
f `  n )  =  ( f `  m ) )
2726csbeq1d 3010 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  m )  /  k ]_ B )
2825, 27ifbieq1d 3494 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  if ( n  <_  M ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( m  <_  M ,  [_ ( f `  m
)  /  k ]_ B ,  0 ) )
29 simplr 519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  ->  m  e.  NN )
30 elfzle2 9820 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( 1 ... M )  ->  m  <_  M )
3130adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  ->  m  <_  M )
3231iftrued 3481 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  ->  if ( m  <_  M ,  [_ ( f `  m
)  /  k ]_ B ,  0 )  =  [_ ( f `
 m )  / 
k ]_ B )
33 f1of 5367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... M
) --> A )
3411, 33syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  f : ( 1 ... M ) --> A )
3534ffvelrnda 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
f `  m )  e.  A )
36 isummo.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
3736ralrimiva 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
3837adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
39 nfcsb1v 3035 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k [_ ( f `  m
)  /  k ]_ B
4039nfel1 2292 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k
[_ ( f `  m )  /  k ]_ B  e.  CC
41 csbeq1a 3012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  m )  ->  B  =  [_ ( f `  m )  /  k ]_ B )
4241eleq1d 2208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( f `  m )  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ ( f `
 m )  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
4340, 42rspc 2783 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  m )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ ( f `  m
)  /  k ]_ B  e.  CC )
)
4435, 38, 43sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  ->  [_ (
f `  m )  /  k ]_ B  e.  CC )
4544adantlr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  ->  [_ (
f `  m )  /  k ]_ B  e.  CC )
4632, 45eqeltrd 2216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  ->  if ( m  <_  M ,  [_ ( f `  m
)  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
4724, 28, 29, 46fvmptd3 5514 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  m )  =  if ( m  <_  M ,  [_ ( f `
 m )  / 
k ]_ B ,  0 ) )
4847, 46eqeltrd 2216 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  m )  e.  CC )
49 simplr 519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  m  e.  NN )
508ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  M  e.  NN )
5150nnzd 9184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
52 eluzp1l 9362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  M  <  m )
5351, 52sylancom 416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  M  <  m )
5449nnzd 9184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
55 zltnle 9112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( M  <  m  <->  -.  m  <_  M )
)
5651, 54, 55syl2anc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( M  <  m  <->  -.  m  <_  M ) )
5753, 56mpbid 146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  -.  m  <_  M )
5857iffalsed 3484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  if (
m  <_  M ,  [_ ( f `  m
)  /  k ]_ B ,  0 )  =  0 )
59 0cn 7770 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
6058, 59eqeltrdi 2230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  if (
m  <_  M ,  [_ ( f `  m
)  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
6124, 28, 49, 60fvmptd3 5514 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( G `  m )  =  if ( m  <_  M ,  [_ ( f `  m )  /  k ]_ B ,  0 ) )
6261, 60eqeltrd 2216 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( G `  m )  e.  CC )
63 nnsplit 9926 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  NN  =  ( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
648, 63syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  NN  =  ( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
6564eleq2d 2209 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  <->  m  e.  ( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
6665biimpa 294 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  ( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )
67 elun 3217 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  <->  ( m  e.  ( 1 ... M
)  \/  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
6866, 67sylib 121 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  e.  ( 1 ... M )  \/  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
6948, 62, 68mpjaodan 787 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( G `
 m )  e.  CC )
7023, 69sylan2br 286 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( G `  m )  e.  CC )
7117oveq2d 5790 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  =  ( 1 ... M ) )
7271eleq2d 2209 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( m  e.  ( 1 ... N )  <-> 
m  e.  ( 1 ... M ) ) )
7372adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  e.  ( 1 ... N )  <->  m  e.  ( 1 ... M
) ) )
7473pm5.32i 449 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... N
) )  <->  ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... M ) ) )
75 isummolem3.4 . . . . . . . 8  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  N ,  [_ ( K `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) )
76 breq1 3932 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  (
n  <_  N  <->  m  <_  N ) )
77 fveq2 5421 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  ( K `  n )  =  ( K `  m ) )
7877csbeq1d 3010 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  [_ ( K `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( K `  m )  /  k ]_ B )
7976, 78ifbieq1d 3494 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  if ( n  <_  N ,  [_ ( K `  n
)  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( m  <_  N ,  [_ ( K `  m )  /  k ]_ B ,  0 ) )
80 simplr 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... N
) )  ->  m  e.  NN )
81 elfzle2 9820 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1 ... N )  ->  m  <_  N )
8281adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... N
) )  ->  m  <_  N )
8382iftrued 3481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... N
) )  ->  if ( m  <_  N ,  [_ ( K `  m
)  /  k ]_ B ,  0 )  =  [_ ( K `
 m )  / 
k ]_ B )
84 f1of 5367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  ->  K :
( 1 ... N
) --> A )
8514, 84syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... N ) --> A )
8685ffvelrnda 5555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( K `  m )  e.  A )
8737adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... N
) )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
88 nfcsb1v 3035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k [_ ( K `  m
)  /  k ]_ B
8988nfel1 2292 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k
[_ ( K `  m )  /  k ]_ B  e.  CC
90 csbeq1a 3012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( K `  m )  ->  B  =  [_ ( K `  m )  /  k ]_ B )
9190eleq1d 2208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( K `  m )  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ ( K `
 m )  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
9289, 91rspc 2783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K `  m )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ ( K `  m
)  /  k ]_ B  e.  CC )
)
9386, 87, 92sylc 62 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... N
) )  ->  [_ ( K `  m )  /  k ]_ B  e.  CC )
9493adantlr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... N
) )  ->  [_ ( K `  m )  /  k ]_ B  e.  CC )
9583, 94eqeltrd 2216 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... N
) )  ->  if ( m  <_  N ,  [_ ( K `  m
)  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
9675, 79, 80, 95fvmptd3 5514 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( H `  m )  =  if ( m  <_  N ,  [_ ( K `
 m )  / 
k ]_ B ,  0 ) )
9796, 95eqeltrd 2216 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( H `  m )  e.  CC )
9874, 97sylbir 134 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( H `  m )  e.  CC )
9917breq2d 3941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( m  <_  N  <->  m  <_  M ) )
10099notbid 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -.  m  <_  N 
<->  -.  m  <_  M
) )
101100ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( -.  m  <_  N  <->  -.  m  <_  M ) )
10257, 101mpbird 166 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  -.  m  <_  N )
103102iffalsed 3484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  if (
m  <_  N ,  [_ ( K `  m
)  /  k ]_ B ,  0 )  =  0 )
104103, 59eqeltrdi 2230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  if (
m  <_  N ,  [_ ( K `  m
)  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
10575, 79, 49, 104fvmptd3 5514 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( H `  m )  =  if ( m  <_  N ,  [_ ( K `  m )  /  k ]_ B ,  0 ) )
106105, 104eqeltrd 2216 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( H `  m )  e.  CC )
10798, 106, 68mpjaodan 787 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `
 m )  e.  CC )
10823, 107sylan2br 286 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( H `  m )  e.  CC )
109 f1oeq2 5357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... M )  =  ( 1 ... N )  ->  ( K : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  <->  K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A ) )
11019, 109syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  <-> 
K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A ) )
11114, 110mpbird 166 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
112 f1of 5367 . . . . . . . . 9  |-  ( K : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  ->  K :
( 1 ... M
) --> A )
113111, 112syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... M ) --> A )
114 fvco3 5492 . . . . . . . 8  |-  ( ( K : ( 1 ... M ) --> A  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( `' f  o.  K
) `  i )  =  ( `' f `
 ( K `  i ) ) )
115113, 114sylan 281 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( `' f  o.  K ) `  i
)  =  ( `' f `  ( K `
 i ) ) )
116115fveq2d 5425 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
f `  ( ( `' f  o.  K
) `  i )
)  =  ( f `
 ( `' f `
 ( K `  i ) ) ) )
11711adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
118113ffvelrnda 5555 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( K `  i )  e.  A )
119 f1ocnvfv2 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  ( K `  i )  e.  A )  -> 
( f `  ( `' f `  ( K `  i )
) )  =  ( K `  i ) )
120117, 118, 119syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
f `  ( `' f `  ( K `  i ) ) )  =  ( K `  i ) )
121116, 120eqtr2d 2173 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( K `  i )  =  ( f `  ( ( `' f  o.  K ) `  i ) ) )
122121csbeq1d 3010 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  [_ ( K `  i )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  ( ( `' f  o.  K ) `  i ) )  / 
k ]_ B )
123 elfznn 9846 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  i  e.  NN )
124 elfzle2 9820 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  i  <_  M )
125124adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  i  <_  M )
12618breq2d 3941 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( i  <_  M  <->  i  <_  N ) )
127126adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
i  <_  M  <->  i  <_  N ) )
128125, 127mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  i  <_  N )
129128iftrued 3481 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  if ( i  <_  N ,  [_ ( K `  i )  /  k ]_ B ,  0 )  =  [_ ( K `
 i )  / 
k ]_ B )
13037adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
131 nfcsb1v 3035 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k [_ ( K `  i
)  /  k ]_ B
132131nfel1 2292 . . . . . . . . 9  |-  F/ k
[_ ( K `  i )  /  k ]_ B  e.  CC
133 csbeq1a 3012 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( K `  i )  ->  B  =  [_ ( K `  i )  /  k ]_ B )
134133eleq1d 2208 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( K `  i )  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ ( K `
 i )  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
135132, 134rspc 2783 . . . . . . . 8  |-  ( ( K `  i )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ ( K `  i
)  /  k ]_ B  e.  CC )
)
136118, 130, 135sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  [_ ( K `  i )  /  k ]_ B  e.  CC )
137129, 136eqeltrd 2216 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  if ( i  <_  N ,  [_ ( K `  i )  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
138 breq1 3932 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  i  ->  (
n  <_  N  <->  i  <_  N ) )
139 fveq2 5421 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  i  ->  ( K `  n )  =  ( K `  i ) )
140139csbeq1d 3010 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  i  ->  [_ ( K `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( K `  i )  /  k ]_ B )
141138, 140ifbieq1d 3494 . . . . . . 7  |-  ( n  =  i  ->  if ( n  <_  N ,  [_ ( K `  n
)  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( i  <_  N ,  [_ ( K `  i )  /  k ]_ B ,  0 ) )
142141, 75fvmptg 5497 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  NN  /\  if ( i  <_  N ,  [_ ( K `  i )  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )  -> 
( H `  i
)  =  if ( i  <_  N ,  [_ ( K `  i
)  /  k ]_ B ,  0 ) )
143123, 137, 142syl2an2 583 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( H `  i )  =  if ( i  <_  N ,  [_ ( K `
 i )  / 
k ]_ B ,  0 ) )
144143, 129eqtrd 2172 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( H `  i )  =  [_ ( K `  i )  /  k ]_ B )
145 breq1 3932 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( ( `' f  o.  K ) `
 i )  -> 
( n  <_  M  <->  ( ( `' f  o.  K ) `  i
)  <_  M )
)
146 fveq2 5421 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( ( `' f  o.  K ) `
 i )  -> 
( f `  n
)  =  ( f `
 ( ( `' f  o.  K ) `
 i ) ) )
147146csbeq1d 3010 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( ( `' f  o.  K ) `
 i )  ->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B  =  [_ ( f `
 ( ( `' f  o.  K ) `
 i ) )  /  k ]_ B
)
148145, 147ifbieq1d 3494 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( ( `' f  o.  K ) `
 i )  ->  if ( n  <_  M ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( ( ( `' f  o.  K ) `  i
)  <_  M ,  [_ ( f `  (
( `' f  o.  K ) `  i
) )  /  k ]_ B ,  0 ) )
149 f1of 5367 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' f  o.  K
) : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( 1 ... M )  -> 
( `' f  o.  K ) : ( 1 ... M ) --> ( 1 ... M
) )
15022, 149syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' f  o.  K ) : ( 1 ... M ) --> ( 1 ... M
) )
151150ffvelrnda 5555 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( `' f  o.  K ) `  i
)  e.  ( 1 ... M ) )
152 elfznn 9846 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' f  o.  K ) `  i
)  e.  ( 1 ... M )  -> 
( ( `' f  o.  K ) `  i )  e.  NN )
153151, 152syl 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( `' f  o.  K ) `  i
)  e.  NN )
154 elfzle2 9820 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' f  o.  K ) `  i
)  e.  ( 1 ... M )  -> 
( ( `' f  o.  K ) `  i )  <_  M
)
155151, 154syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( `' f  o.  K ) `  i
)  <_  M )
156155iftrued 3481 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  if ( ( ( `' f  o.  K ) `
 i )  <_  M ,  [_ ( f `
 ( ( `' f  o.  K ) `
 i ) )  /  k ]_ B ,  0 )  = 
[_ ( f `  ( ( `' f  o.  K ) `  i ) )  / 
k ]_ B )
157156, 122eqtr4d 2175 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  if ( ( ( `' f  o.  K ) `
 i )  <_  M ,  [_ ( f `
 ( ( `' f  o.  K ) `
 i ) )  /  k ]_ B ,  0 )  = 
[_ ( K `  i )  /  k ]_ B )
158157, 136eqeltrd 2216 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  if ( ( ( `' f  o.  K ) `
 i )  <_  M ,  [_ ( f `
 ( ( `' f  o.  K ) `
 i ) )  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
15924, 148, 153, 158fvmptd3 5514 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  ( ( `' f  o.  K
) `  i )
)  =  if ( ( ( `' f  o.  K ) `  i )  <_  M ,  [_ ( f `  ( ( `' f  o.  K ) `  i ) )  / 
k ]_ B ,  0 ) )
160159, 156eqtrd 2172 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  ( ( `' f  o.  K
) `  i )
)  =  [_ (
f `  ( ( `' f  o.  K
) `  i )
)  /  k ]_ B )
161122, 144, 1603eqtr4d 2182 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( H `  i )  =  ( G `  ( ( `' f  o.  K ) `  i ) ) )
1622, 4, 6, 10, 22, 70, 108, 161seq3f1o 10289 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 M )  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `
 M ) )
16318fveq2d 5425 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 M )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 N ) )
164162, 163eqtr3d 2174 1  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  G ) `
 M )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   [_csb 3003    u. cun 3069   ifcif 3474   class class class wbr 3929    |-> cmpt 3989   `'ccnv 4538    o. ccom 4543   -->wf 5119   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7630   0cc0 7632   1c1 7633    + caddc 7635    < clt 7812    <_ cle 7813   NNcn 8732   ZZcz 9066   ZZ>=cuz 9338   ...cfz 9802    seqcseq 10230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-fz 9803  df-fzo 9932  df-seqfrec 10231  df-ihash 10534
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