Theorem summodclem3 11321

Description: Lemma for summodc 11324. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Mar-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
isummo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
isummo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
isummolem3.5	|- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN ) )
isummolem3.6	|- ( ph -> f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
isummolem3.7	|- ( ph -> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
isummolem3.g	|- G = ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
isummolem3.4	|- H = ( n e. NN |-> if ( n <_ N , [_ ( K ` n ) / k ]_ B , 0 ) )

Assertion

Ref	Expression
summodclem3	|- ( ph -> ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , H ) ` N ) )

Distinct variable groups:   k, n, A   n, F   k, N, n   ph, k, n   k, M, n   B, n   k, K, n   f, k, n

Allowed substitution hints:   ph( f)   A( f)   B( f, k)   F( f, k)   G( f, k, n)   H( f, k, n)   K( f)   M( f)   N( f)

Proof of Theorem summodclem3

Dummy variables i j m y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 7878	. . . 4 |- ( ( m e. CC /\ j e. CC ) -> ( m + j ) e. CC )
2	1	adantl 275	. . 3 |- ( ( ph /\ ( m e. CC /\ j e. CC ) ) -> ( m + j ) e. CC )
3		addcom 8035	. . . 4 |- ( ( m e. CC /\ j e. CC ) -> ( m + j ) = ( j + m ) )
4	3	adantl 275	. . 3 |- ( ( ph /\ ( m e. CC /\ j e. CC ) ) -> ( m + j ) = ( j + m ) )
5		addass 7883	. . . 4 |- ( ( m e. CC /\ j e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( m + j ) + y ) = ( m + ( j + y ) ) )
6	5	adantl 275	. . 3 |- ( ( ph /\ ( m e. CC /\ j e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( m + j ) + y ) = ( m + ( j + y ) ) )
7		isummolem3.5	. . . . 5 |- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN ) )
8	7	simpld 111	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN )
9		nnuz 9501	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
10	8, 9	eleqtrdi 2259	. . 3 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
11		isummolem3.6	. . . . . 6 |- ( ph -> f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
12		f1ocnv 5445	. . . . . 6 |- ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A -> `' f : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> `' f : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
14		isummolem3.7	. . . . 5 |- ( ph -> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
15		f1oco 5455	. . . . 5 |- ( ( `' f : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) /\ K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A ) -> ( `' f o. K ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
16	13, 14, 15	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ph -> ( `' f o. K ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
17	7, 11, 14	nnf1o 11317	. . . . . . 7 |- ( ph -> N = M )
18	17	eqcomd 2171	. . . . . 6 |- ( ph -> M = N )
19	18	oveq2d 5858	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... M ) = ( 1 ... N ) )
20		f1oeq2 5422	. . . . 5 |- ( ( 1 ... M ) = ( 1 ... N ) -> ( ( `' f o. K ) : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) <-> ( `' f o. K ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) ) )
21	19, 20	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( `' f o. K ) : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) <-> ( `' f o. K ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) ) )
22	16, 21	mpbird 166	. . 3 |- ( ph -> ( `' f o. K ) : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
23		elnnuz 9502	. . . 4 |- ( m e. NN <-> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
24		isummolem3.g	. . . . . . 7 |- G = ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
25		breq1 3985	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( n <_ M <-> m <_ M ) )
26		fveq2 5486	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( f ` n ) = ( f ` m ) )
27	26	csbeq1d 3052	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` m ) / k ]_ B )
28	25, 27	ifbieq1d 3542	. . . . . . 7 |- ( n = m -> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( m <_ M , [_ ( f ` m ) / k ]_ B , 0 ) )
29		simplr 520	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> m e. NN )
30		elfzle2 9963	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( 1 ... M ) -> m <_ M )
31	30	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> m <_ M )
32	31	iftrued 3527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> if ( m <_ M , [_ ( f ` m ) / k ]_ B , 0 ) = [_ ( f ` m ) / k ]_ B )
33		f1of 5432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... M ) --> A )
34	11, 33	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> f : ( 1 ... M ) --> A )
35	34	ffvelrnda 5620	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> ( f ` m ) e. A )
36		isummo.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
37	36	ralrimiva 2539	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
38	37	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> A. k e. A B e. CC )
39		nfcsb1v 3078	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k [_ ( f ` m ) / k ]_ B
40	39	nfel1 2319	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC
41		csbeq1a 3054	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( f ` m ) -> B = [_ ( f ` m ) / k ]_ B )
42	41	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( f ` m ) -> ( B e. CC <-> [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC ) )
43	40, 42	rspc 2824	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` m ) e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC ) )
44	35, 38, 43	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC )
45	44	adantlr 469	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> [_ ( f ` m ) / k ]_ B e. CC )
46	32, 45	eqeltrd 2243	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> if ( m <_ M , [_ ( f ` m ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
47	24, 28, 29, 46	fvmptd3 5579	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` m ) = if ( m <_ M , [_ ( f ` m ) / k ]_ B , 0 ) )
48	47, 46	eqeltrd 2243	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` m ) e. CC )
49		simplr 520	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> m e. NN )
50	8	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M e. NN )
51	50	nnzd 9312	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
52		eluzp1l 9490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M < m )
53	51, 52	sylancom 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M < m )
54	49	nnzd 9312	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> m e. ZZ )
55		zltnle 9237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( M < m <-> -. m <_ M ) )
56	51, 54, 55	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M < m <-> -. m <_ M ) )
57	53, 56	mpbid 146	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> -. m <_ M )
58	57	iffalsed 3530	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> if ( m <_ M , [_ ( f ` m ) / k ]_ B , 0 ) = 0 )
59		0cn 7891	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
60	58, 59	eqeltrdi 2257	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> if ( m <_ M , [_ ( f ` m ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
61	24, 28, 49, 60	fvmptd3 5579	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( G ` m ) = if ( m <_ M , [_ ( f ` m ) / k ]_ B , 0 ) )
62	61, 60	eqeltrd 2243	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( G ` m ) e. CC )
63		nnsplit 10072	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> NN = ( ( 1 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
64	8, 63	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> NN = ( ( 1 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
65	64	eleq2d 2236	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( m e. NN <-> m e. ( ( 1 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
66	65	biimpa 294	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. ( ( 1 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
67		elun 3263	. . . . . 6 |- ( m e. ( ( 1 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) <-> ( m e. ( 1 ... M ) \/ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
68	66, 67	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( m e. ( 1 ... M ) \/ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
69	48, 62, 68	mpjaodan 788	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( G ` m ) e. CC )
70	23, 69	sylan2br 286	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( G ` m ) e. CC )
71	17	oveq2d 5858	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... N ) = ( 1 ... M ) )
72	71	eleq2d 2236	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( m e. ( 1 ... N ) <-> m e. ( 1 ... M ) ) )
73	72	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( m e. ( 1 ... N ) <-> m e. ( 1 ... M ) ) )
74	73	pm5.32i 450	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... N ) ) <-> ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) )
75		isummolem3.4	. . . . . . . 8 |- H = ( n e. NN |-> if ( n <_ N , [_ ( K ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
76		breq1 3985	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( n <_ N <-> m <_ N ) )
77		fveq2 5486	. . . . . . . . . 10 |- ( n = m -> ( K ` n ) = ( K ` m ) )
78	77	csbeq1d 3052	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> [_ ( K ` n ) / k ]_ B = [_ ( K ` m ) / k ]_ B )
79	76, 78	ifbieq1d 3542	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> if ( n <_ N , [_ ( K ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( m <_ N , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 0 ) )
80		simplr 520	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... N ) ) -> m e. NN )
81		elfzle2 9963	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( 1 ... N ) -> m <_ N )
82	81	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... N ) ) -> m <_ N )
83	82	iftrued 3527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... N ) ) -> if ( m <_ N , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 0 ) = [_ ( K ` m ) / k ]_ B )
84		f1of 5432	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A -> K : ( 1 ... N ) --> A )
85	14, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> K : ( 1 ... N ) --> A )
86	85	ffvelrnda 5620	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... N ) ) -> ( K ` m ) e. A )
87	37	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... N ) ) -> A. k e. A B e. CC )
88		nfcsb1v 3078	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k [_ ( K ` m ) / k ]_ B
89	88	nfel1 2319	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC
90		csbeq1a 3054	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( K ` m ) -> B = [_ ( K ` m ) / k ]_ B )
91	90	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( K ` m ) -> ( B e. CC <-> [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC ) )
92	89, 91	rspc 2824	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K ` m ) e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC ) )
93	86, 87, 92	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... N ) ) -> [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC )
94	93	adantlr 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... N ) ) -> [_ ( K ` m ) / k ]_ B e. CC )
95	83, 94	eqeltrd 2243	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... N ) ) -> if ( m <_ N , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
96	75, 79, 80, 95	fvmptd3 5579	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... N ) ) -> ( H ` m ) = if ( m <_ N , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 0 ) )
97	96, 95	eqeltrd 2243	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... N ) ) -> ( H ` m ) e. CC )
98	74, 97	sylbir 134	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> ( H ` m ) e. CC )
99	17	breq2d 3994	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( m <_ N <-> m <_ M ) )
100	99	notbid 657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -. m <_ N <-> -. m <_ M ) )
101	100	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( -. m <_ N <-> -. m <_ M ) )
102	57, 101	mpbird 166	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> -. m <_ N )
103	102	iffalsed 3530	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> if ( m <_ N , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 0 ) = 0 )
104	103, 59	eqeltrdi 2257	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> if ( m <_ N , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
105	75, 79, 49, 104	fvmptd3 5579	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( H ` m ) = if ( m <_ N , [_ ( K ` m ) / k ]_ B , 0 ) )
106	105, 104	eqeltrd 2243	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( H ` m ) e. CC )
107	98, 106, 68	mpjaodan 788	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( H ` m ) e. CC )
108	23, 107	sylan2br 286	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( H ` m ) e. CC )
109		f1oeq2 5422	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 ... M ) = ( 1 ... N ) -> ( K : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A <-> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A ) )
110	19, 109	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A <-> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A ) )
111	14, 110	mpbird 166	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
112		f1of 5432	. . . . . . . . 9 |- ( K : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A -> K : ( 1 ... M ) --> A )
113	111, 112	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K : ( 1 ... M ) --> A )
114		fvco3 5557	. . . . . . . 8 |- ( ( K : ( 1 ... M ) --> A /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) = ( `' f ` ( K ` i ) ) )
115	113, 114	sylan 281	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) = ( `' f ` ( K ` i ) ) )
116	115	fveq2d 5490	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) = ( f ` ( `' f ` ( K ` i ) ) ) )
117	11	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
118	113	ffvelrnda 5620	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( K ` i ) e. A )
119		f1ocnvfv2 5746	. . . . . . 7 |- ( ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( K ` i ) e. A ) -> ( f ` ( `' f ` ( K ` i ) ) ) = ( K ` i ) )
120	117, 118, 119	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( f ` ( `' f ` ( K ` i ) ) ) = ( K ` i ) )
121	116, 120	eqtr2d 2199	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( K ` i ) = ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) )
122	121	csbeq1d 3052	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> [_ ( K ` i ) / k ]_ B = [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B )
123		elfznn 9989	. . . . . 6 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> i e. NN )
124		elfzle2 9963	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> i <_ M )
125	124	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> i <_ M )
126	18	breq2d 3994	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( i <_ M <-> i <_ N ) )
127	126	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( i <_ M <-> i <_ N ) )
128	125, 127	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> i <_ N )
129	128	iftrued 3527	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> if ( i <_ N , [_ ( K ` i ) / k ]_ B , 0 ) = [_ ( K ` i ) / k ]_ B )
130	37	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A. k e. A B e. CC )
131		nfcsb1v 3078	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ ( K ` i ) / k ]_ B
132	131	nfel1 2319	. . . . . . . . 9 |- F/ k [_ ( K ` i ) / k ]_ B e. CC
133		csbeq1a 3054	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( K ` i ) -> B = [_ ( K ` i ) / k ]_ B )
134	133	eleq1d 2235	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( K ` i ) -> ( B e. CC <-> [_ ( K ` i ) / k ]_ B e. CC ) )
135	132, 134	rspc 2824	. . . . . . . 8 |- ( ( K ` i ) e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ ( K ` i ) / k ]_ B e. CC ) )
136	118, 130, 135	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> [_ ( K ` i ) / k ]_ B e. CC )
137	129, 136	eqeltrd 2243	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> if ( i <_ N , [_ ( K ` i ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
138		breq1 3985	. . . . . . . 8 |- ( n = i -> ( n <_ N <-> i <_ N ) )
139		fveq2 5486	. . . . . . . . 9 |- ( n = i -> ( K ` n ) = ( K ` i ) )
140	139	csbeq1d 3052	. . . . . . . 8 |- ( n = i -> [_ ( K ` n ) / k ]_ B = [_ ( K ` i ) / k ]_ B )
141	138, 140	ifbieq1d 3542	. . . . . . 7 |- ( n = i -> if ( n <_ N , [_ ( K ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( i <_ N , [_ ( K ` i ) / k ]_ B , 0 ) )
142	141, 75	fvmptg 5562	. . . . . 6 |- ( ( i e. NN /\ if ( i <_ N , [_ ( K ` i ) / k ]_ B , 0 ) e. CC ) -> ( H ` i ) = if ( i <_ N , [_ ( K ` i ) / k ]_ B , 0 ) )
143	123, 137, 142	syl2an2 584	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( H ` i ) = if ( i <_ N , [_ ( K ` i ) / k ]_ B , 0 ) )
144	143, 129	eqtrd 2198	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( H ` i ) = [_ ( K ` i ) / k ]_ B )
145		breq1 3985	. . . . . . 7 |- ( n = ( ( `' f o. K ) ` i ) -> ( n <_ M <-> ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ M ) )
146		fveq2 5486	. . . . . . . 8 |- ( n = ( ( `' f o. K ) ` i ) -> ( f ` n ) = ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) )
147	146	csbeq1d 3052	. . . . . . 7 |- ( n = ( ( `' f o. K ) ` i ) -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B )
148	145, 147	ifbieq1d 3542	. . . . . 6 |- ( n = ( ( `' f o. K ) ` i ) -> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ M , [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B , 0 ) )
149		f1of 5432	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' f o. K ) : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) -> ( `' f o. K ) : ( 1 ... M ) --> ( 1 ... M ) )
150	22, 149	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( `' f o. K ) : ( 1 ... M ) --> ( 1 ... M ) )
151	150	ffvelrnda 5620	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) e. ( 1 ... M ) )
152		elfznn 9989	. . . . . . 7 |- ( ( ( `' f o. K ) ` i ) e. ( 1 ... M ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) e. NN )
153	151, 152	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) e. NN )
154		elfzle2 9963	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( `' f o. K ) ` i ) e. ( 1 ... M ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ M )
155	151, 154	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ M )
156	155	iftrued 3527	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> if ( ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ M , [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B , 0 ) = [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B )
157	156, 122	eqtr4d 2201	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> if ( ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ M , [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B , 0 ) = [_ ( K ` i ) / k ]_ B )
158	157, 136	eqeltrd 2243	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> if ( ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ M , [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
159	24, 148, 153, 158	fvmptd3 5579	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) = if ( ( ( `' f o. K ) ` i ) <_ M , [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B , 0 ) )
160	159, 156	eqtrd 2198	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) = [_ ( f ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) / k ]_ B )
161	122, 144, 160	3eqtr4d 2208	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( H ` i ) = ( G ` ( ( `' f o. K ) ` i ) ) )
162	2, 4, 6, 10, 22, 70, 108, 161	seq3f1o 10439	. 2 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , H ) ` M ) = ( seq 1 ( + , G ) ` M ) )
163	18	fveq2d 5490	. 2 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , H ) ` M ) = ( seq 1 ( + , H ) ` N ) )
164	162, 163	eqtr3d 2200	1 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , H ) ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   [_csb 3045   u. cun 3114   ifcif 3520   class class class wbr 3982   |-> cmpt 4043   `'ccnv 4603   o. ccom 4608   -->wf 5184   -1-1-onto->wf1o 5187   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   < clt 7933   <_ cle 7934   NNcn 8857   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   ...cfz 9944   seqcseq 10380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-1o 6384  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-ihash 10689

This theorem is referenced by:  summodclem2a  11322  summodc  11324