ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1oco GIF version

Theorem f1oco 5479
Description: Composition of one-to-one onto functions. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
f1oco ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐺:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴1-1-onto𝐶)

Proof of Theorem f1oco
StepHypRef Expression
1 df-f1o 5218 . . 3 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶 ↔ (𝐹:𝐵1-1𝐶𝐹:𝐵onto𝐶))
2 df-f1o 5218 . . 3 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ↔ (𝐺:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴onto𝐵))
3 f1co 5428 . . . . 5 ((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶)
4 foco 5443 . . . . 5 ((𝐹:𝐵onto𝐶𝐺:𝐴onto𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴onto𝐶)
53, 4anim12i 338 . . . 4 (((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ (𝐹:𝐵onto𝐶𝐺:𝐴onto𝐵)) → ((𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶 ∧ (𝐹𝐺):𝐴onto𝐶))
65an4s 588 . . 3 (((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐹:𝐵onto𝐶) ∧ (𝐺:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴onto𝐵)) → ((𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶 ∧ (𝐹𝐺):𝐴onto𝐶))
71, 2, 6syl2anb 291 . 2 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐺:𝐴1-1-onto𝐵) → ((𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶 ∧ (𝐹𝐺):𝐴onto𝐶))
8 df-f1o 5218 . 2 ((𝐹𝐺):𝐴1-1-onto𝐶 ↔ ((𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶 ∧ (𝐹𝐺):𝐴onto𝐶))
97, 8sylibr 134 1 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐺:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴1-1-onto𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  ccom 4626  1-1wf1 5208  ontowfo 5209  1-1-ontowf1o 5210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218
This theorem is referenced by:  isotr  5810  ener  6772  hashfacen  10787  nnf1o  11355  summodclem3  11359  fsumf1o  11369  prodmodclem3  11554  fprodf1o  11567  eulerthlemh  12201
  Copyright terms: Public domain W3C validator