ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1oco GIF version

Theorem f1oco 5344
Description: Composition of one-to-one onto functions. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
f1oco ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐺:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴1-1-onto𝐶)

Proof of Theorem f1oco
StepHypRef Expression
1 df-f1o 5086 . . 3 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶 ↔ (𝐹:𝐵1-1𝐶𝐹:𝐵onto𝐶))
2 df-f1o 5086 . . 3 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ↔ (𝐺:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴onto𝐵))
3 f1co 5296 . . . . 5 ((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶)
4 foco 5311 . . . . 5 ((𝐹:𝐵onto𝐶𝐺:𝐴onto𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴onto𝐶)
53, 4anim12i 334 . . . 4 (((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ (𝐹:𝐵onto𝐶𝐺:𝐴onto𝐵)) → ((𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶 ∧ (𝐹𝐺):𝐴onto𝐶))
65an4s 560 . . 3 (((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐹:𝐵onto𝐶) ∧ (𝐺:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴onto𝐵)) → ((𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶 ∧ (𝐹𝐺):𝐴onto𝐶))
71, 2, 6syl2anb 287 . 2 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐺:𝐴1-1-onto𝐵) → ((𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶 ∧ (𝐹𝐺):𝐴onto𝐶))
8 df-f1o 5086 . 2 ((𝐹𝐺):𝐴1-1-onto𝐶 ↔ ((𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶 ∧ (𝐹𝐺):𝐴onto𝐶))
97, 8sylibr 133 1 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐺:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴1-1-onto𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  ccom 4501  1-1wf1 5076  ontowfo 5077  1-1-ontowf1o 5078
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-rex 2394  df-v 2657  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-br 3894  df-opab 3948  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086
This theorem is referenced by:  isotr  5669  ener  6625  hashfacen  10466  isummolemnm  11034  summodclem3  11035  fsumf1o  11045
  Copyright terms: Public domain W3C validator