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Theorem eulerthlemh 12185
Description: Lemma for eulerth 12187. A permutation of  ( 1 ... ( phi `  N ) ). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerth.1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
eulerth.2  |-  S  =  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N
)  =  1 }
eulerth.4  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> S )
eulerth.h  |-  H  =  ( `' F  o.  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) )
Assertion
Ref Expression
eulerthlemh  |-  ( ph  ->  H : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, F    y, N    ph, y
Allowed substitution hints:    S( y)    H( y)

Proof of Theorem eulerthlemh
Dummy variables  a  b  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerth.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> S )
2 f1ocnv 5455 . . . 4  |-  ( F : ( 1 ... ( phi `  N
) ) -1-1-onto-> S  ->  `' F : S -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  `' F : S -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
4 eulerth.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
5 eulerth.2 . . . . . . 7  |-  S  =  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N
)  =  1 }
6 eqid 2170 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... ( phi `  N ) )  =  ( 1 ... ( phi `  N ) )
7 fveq2 5496 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )
87oveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  ( A  x.  ( F `  a ) )  =  ( A  x.  ( F `  b )
) )
98oveq1d 5868 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (
( A  x.  ( F `  a )
)  mod  N )  =  ( ( A  x.  ( F `  b ) )  mod 
N ) )
109cbvmptv 4085 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) )  |->  ( ( A  x.  ( F `
 a ) )  mod  N ) )  =  ( b  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) 
|->  ( ( A  x.  ( F `  b ) )  mod  N ) )
114, 5, 6, 1, 10eulerthlem1 12181 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( a  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  a )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S )
12 fveq2 5496 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  y  ->  ( F `  a )  =  ( F `  y ) )
1312oveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  y  ->  ( A  x.  ( F `  a ) )  =  ( A  x.  ( F `  y )
) )
1413oveq1d 5868 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  y  ->  (
( A  x.  ( F `  a )
)  mod  N )  =  ( ( A  x.  ( F `  y ) )  mod 
N ) )
1514cbvmptv 4085 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) )  |->  ( ( A  x.  ( F `
 a ) )  mod  N ) )  =  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) 
|->  ( ( A  x.  ( F `  y ) )  mod  N ) )
1615feq1i 5340 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  a )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S  <-> 
( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S )
1711, 16sylib 121 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S )
184simp1d 1004 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
1918adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
204simp2d 1005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2120adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
22 ssrab2 3232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N )  =  1 }  C_  (
0..^ N )
235, 22eqsstri 3179 . . . . . . . . . . . 12  |-  S  C_  ( 0..^ N )
24 fzo0ssnn0 10171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0..^ N )  C_  NN0
25 nn0ssz 9230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  C_  ZZ
2624, 25sstri 3156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0..^ N )  C_  ZZ
2723, 26sstri 3156 . . . . . . . . . . 11  |-  S  C_  ZZ
28 f1of 5442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : ( 1 ... ( phi `  N
) ) -1-1-onto-> S  ->  F :
( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S )
291, 28syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S )
3029adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  F :
( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S )
31 simprl 526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
3230, 31ffvelrnd 5632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  u )  e.  S
)
3327, 32sselid 3145 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  u )  e.  ZZ )
3421, 33zmulcld 9340 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( A  x.  ( F `  u
) )  e.  ZZ )
3529ffvelrnda 5631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )  ->  ( F `  v )  e.  S
)
3635adantrl 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  v )  e.  S
)
3727, 36sselid 3145 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  v )  e.  ZZ )
3821, 37zmulcld 9340 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( A  x.  ( F `  v
) )  e.  ZZ )
39 moddvds 11761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  x.  ( F `  u )
)  e.  ZZ  /\  ( A  x.  ( F `  v )
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( A  x.  ( F `
 u ) )  mod  N )  =  ( ( A  x.  ( F `  v ) )  mod  N )  <-> 
N  ||  ( ( A  x.  ( F `  u ) )  -  ( A  x.  ( F `  v )
) ) ) )
4019, 34, 38, 39syl3anc 1233 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( (
( A  x.  ( F `  u )
)  mod  N )  =  ( ( A  x.  ( F `  v ) )  mod 
N )  <->  N  ||  (
( A  x.  ( F `  u )
)  -  ( A  x.  ( F `  v ) ) ) ) )
41 eqid 2170 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) )  |->  ( ( A  x.  ( F `
 y ) )  mod  N ) )  =  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) 
|->  ( ( A  x.  ( F `  y ) )  mod  N ) )
42 fveq2 5496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  u  ->  ( F `  y )  =  ( F `  u ) )
4342oveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  u  ->  ( A  x.  ( F `  y ) )  =  ( A  x.  ( F `  u )
) )
4443oveq1d 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  u  ->  (
( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )  =  ( ( A  x.  ( F `  u ) )  mod 
N ) )
45 zmodfzo 10303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  x.  ( F `  u )
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  x.  ( F `  u ) )  mod  N )  e.  ( 0..^ N ) )
4634, 19, 45syl2anc 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( F `  u ) )  mod 
N )  e.  ( 0..^ N ) )
4741, 44, 31, 46fvmptd3 5589 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( (
y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) `  u )  =  ( ( A  x.  ( F `  u ) )  mod 
N ) )
48 fveq2 5496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  v  ->  ( F `  y )  =  ( F `  v ) )
4948oveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  v  ->  ( A  x.  ( F `  y ) )  =  ( A  x.  ( F `  v )
) )
5049oveq1d 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  v  ->  (
( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )  =  ( ( A  x.  ( F `  v ) )  mod 
N ) )
51 simprr 527 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
52 zmodfzo 10303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  x.  ( F `  v )
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  x.  ( F `  v ) )  mod  N )  e.  ( 0..^ N ) )
5338, 19, 52syl2anc 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( F `  v ) )  mod 
N )  e.  ( 0..^ N ) )
5441, 50, 51, 53fvmptd3 5589 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( (
y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) `  v )  =  ( ( A  x.  ( F `  v ) )  mod 
N ) )
5547, 54eqeq12d 2185 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( (
( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) `  u )  =  ( ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) )  |->  ( ( A  x.  ( F `
 y ) )  mod  N ) ) `
 v )  <->  ( ( A  x.  ( F `  u ) )  mod 
N )  =  ( ( A  x.  ( F `  v )
)  mod  N )
) )
5621zcnd 9335 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  A  e.  CC )
5733zcnd 9335 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  u )  e.  CC )
5837zcnd 9335 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  v )  e.  CC )
5956, 57, 58subdid 8333 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( A  x.  ( ( F `  u )  -  ( F `  v )
) )  =  ( ( A  x.  ( F `  u )
)  -  ( A  x.  ( F `  v ) ) ) )
6059breq2d 4001 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( N  ||  ( A  x.  (
( F `  u
)  -  ( F `
 v ) ) )  <->  N  ||  ( ( A  x.  ( F `
 u ) )  -  ( A  x.  ( F `  v ) ) ) ) )
6140, 55, 603bitr4d 219 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( (
( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) `  u )  =  ( ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) )  |->  ( ( A  x.  ( F `
 y ) )  mod  N ) ) `
 v )  <->  N  ||  ( A  x.  ( ( F `  u )  -  ( F `  v ) ) ) ) )
6218nnzd 9333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
6362, 20gcdcomd 11929 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  gcd  A
)  =  ( A  gcd  N ) )
644simp3d 1006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  N
)  =  1 )
6563, 64eqtrd 2203 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  gcd  A
)  =  1 )
6665adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( N  gcd  A )  =  1 )
6762adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
6833, 37zsubcld 9339 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( ( F `  u )  -  ( F `  v ) )  e.  ZZ )
69 coprmdvds 12046 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  (
( F `  u
)  -  ( F `
 v ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( N  ||  ( A  x.  (
( F `  u
)  -  ( F `
 v ) ) )  /\  ( N  gcd  A )  =  1 )  ->  N  ||  ( ( F `  u )  -  ( F `  v )
) ) )
7067, 21, 68, 69syl3anc 1233 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( ( N  ||  ( A  x.  ( ( F `  u )  -  ( F `  v )
) )  /\  ( N  gcd  A )  =  1 )  ->  N  ||  ( ( F `  u )  -  ( F `  v )
) ) )
71 zq 9585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  u )  e.  ZZ  ->  ( F `  u )  e.  QQ )
7233, 71syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  u )  e.  QQ )
73 zq 9585 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  QQ )
7462, 73syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  QQ )
7574adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  N  e.  QQ )
7623, 32sselid 3145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  u )  e.  ( 0..^ N ) )
77 elfzole1 10111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  u )  e.  ( 0..^ N )  ->  0  <_  ( F `  u ) )
7876, 77syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  0  <_  ( F `  u ) )
79 elfzolt2 10112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  u )  e.  ( 0..^ N )  ->  ( F `  u )  <  N
)
8076, 79syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  u )  <  N
)
81 modqid 10305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  u )  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( 0  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  u )  <  N
) )  ->  (
( F `  u
)  mod  N )  =  ( F `  u ) )
8272, 75, 78, 80, 81syl22anc 1234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( ( F `  u )  mod  N )  =  ( F `  u ) )
8327, 35sselid 3145 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )  ->  ( F `  v )  e.  ZZ )
8483adantrl 475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  v )  e.  ZZ )
85 zq 9585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  v )  e.  ZZ  ->  ( F `  v )  e.  QQ )
8684, 85syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  v )  e.  QQ )
8723, 35sselid 3145 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )  ->  ( F `  v )  e.  ( 0..^ N ) )
88 elfzole1 10111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  v )  e.  ( 0..^ N )  ->  0  <_  ( F `  v ) )
8987, 88syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )  ->  0  <_  ( F `  v ) )
9089adantrl 475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  0  <_  ( F `  v ) )
9187adantrl 475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  v )  e.  ( 0..^ N ) )
92 elfzolt2 10112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  v )  e.  ( 0..^ N )  ->  ( F `  v )  <  N
)
9391, 92syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  v )  <  N
)
94 modqid 10305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  v )  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( 0  <_ 
( F `  v
)  /\  ( F `  v )  <  N
) )  ->  (
( F `  v
)  mod  N )  =  ( F `  v ) )
9586, 75, 90, 93, 94syl22anc 1234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( ( F `  v )  mod  N )  =  ( F `  v ) )
9682, 95eqeq12d 2185 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( (
( F `  u
)  mod  N )  =  ( ( F `
 v )  mod 
N )  <->  ( F `  u )  =  ( F `  v ) ) )
97 moddvds 11761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( F `  u )  e.  ZZ  /\  ( F `  v )  e.  ZZ )  ->  (
( ( F `  u )  mod  N
)  =  ( ( F `  v )  mod  N )  <->  N  ||  (
( F `  u
)  -  ( F `
 v ) ) ) )
9819, 33, 37, 97syl3anc 1233 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( (
( F `  u
)  mod  N )  =  ( ( F `
 v )  mod 
N )  <->  N  ||  (
( F `  u
)  -  ( F `
 v ) ) ) )
99 f1of1 5441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : ( 1 ... ( phi `  N
) ) -1-1-onto-> S  ->  F :
( 1 ... ( phi `  N ) )
-1-1-> S )
1001, 99syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-> S
)
101 f1fveq 5751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-> S  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( ( F `  u )  =  ( F `  v )  <->  u  =  v ) )
102100, 101sylan 281 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( ( F `  u )  =  ( F `  v )  <->  u  =  v ) )
10396, 98, 1023bitr3d 217 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( N  ||  ( ( F `  u )  -  ( F `  v )
)  <->  u  =  v
) )
10470, 103sylibd 148 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( ( N  ||  ( A  x.  ( ( F `  u )  -  ( F `  v )
) )  /\  ( N  gcd  A )  =  1 )  ->  u  =  v ) )
10566, 104mpan2d 426 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( N  ||  ( A  x.  (
( F `  u
)  -  ( F `
 v ) ) )  ->  u  =  v ) )
10661, 105sylbid 149 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( (
( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) `  u )  =  ( ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) )  |->  ( ( A  x.  ( F `
 y ) )  mod  N ) ) `
 v )  ->  u  =  v )
)
107106ralrimivva 2552 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) A. v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ( ( ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) 
|->  ( ( A  x.  ( F `  y ) )  mod  N ) ) `  u )  =  ( ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) )  |->  ( ( A  x.  ( F `
 y ) )  mod  N ) ) `
 v )  ->  u  =  v )
)
108 dff13 5747 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-> S  <->  ( ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S  /\  A. u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) A. v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ( ( ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) 
|->  ( ( A  x.  ( F `  y ) )  mod  N ) ) `  u )  =  ( ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) )  |->  ( ( A  x.  ( F `
 y ) )  mod  N ) ) `
 v )  ->  u  =  v )
) )
10917, 107, 108sylanbrc 415 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-> S
)
110 1zzd 9239 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
11118phicld 12172 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  e.  NN )
112111nnzd 9333 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  e.  ZZ )
113110, 112fzfigd 10387 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( phi `  N ) )  e.  Fin )
114 f1oeng 6735 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... ( phi `  N ) )  e.  Fin  /\  F : ( 1 ... ( phi `  N
) ) -1-1-onto-> S )  ->  (
1 ... ( phi `  N ) )  ~~  S )
115113, 1, 114syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( phi `  N ) ) 
~~  S )
1164, 5eulerthlemfi 12182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
117 f1finf1o 6924 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... ( phi `  N ) ) 
~~  S  /\  S  e.  Fin )  ->  (
( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-> S  <->  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> S ) )
118115, 116, 117syl2anc 409 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) 
|->  ( ( A  x.  ( F `  y ) )  mod  N ) ) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-> S  <->  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> S ) )
119109, 118mpbid 146 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> S )
120 f1oco 5465 . . 3  |-  ( ( `' F : S -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> S )  ->  ( `' F  o.  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) ) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
1213, 119, 120syl2anc 409 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F  o.  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) ) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
122 eulerth.h . . 3  |-  H  =  ( `' F  o.  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) )
123 f1oeq1 5431 . . 3  |-  ( H  =  ( `' F  o.  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) )  ->  ( H : ( 1 ... ( phi `  N
) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi `  N ) )  <-> 
( `' F  o.  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) ) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )
124122, 123ax-mp 5 . 2  |-  ( H : ( 1 ... ( phi `  N
) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi `  N ) )  <-> 
( `' F  o.  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) ) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
125121, 124sylibr 133 1  |-  ( ph  ->  H : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 973    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   {crab 2452   class class class wbr 3989    |-> cmpt 4050   `'ccnv 4610    o. ccom 4615   -->wf 5194   -1-1->wf1 5195   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198  (class class class)co 5853    ~~ cen 6716   Fincfn 6718   0cc0 7774   1c1 7775    x. cmul 7779    < clt 7954    <_ cle 7955    - cmin 8090   NNcn 8878   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   QQcq 9578   ...cfz 9965  ..^cfzo 10098    mod cmo 10278    || cdvds 11749    gcd cgcd 11897   phicphi 12163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-sup 6961  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750  df-gcd 11898  df-phi 12165
This theorem is referenced by:  eulerthlemth  12186
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