Theorem eulerthlemh 12214

Description: Lemma for eulerth 12216. A permutation of ( 1 ... ( phi ` N ) ). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerth.1	|- ( ph -> ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) )
eulerth.2	|- S = { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 }
eulerth.4	|- ( ph -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S )
eulerth.h	|- H = ( `' F o. ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) )

Assertion

Ref	Expression
eulerthlemh	|- ( ph -> H : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, F   y, N   ph, y

Allowed substitution hints:   S( y)   H( y)

Proof of Theorem eulerthlemh

Dummy variables a b u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.4	. . . 4 |- ( ph -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S )
2		f1ocnv 5470	. . . 4 |- ( F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S -> `' F : S -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> `' F : S -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
4		eulerth.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) )
5		eulerth.2	. . . . . . 7 |- S = { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 }
6		eqid 2177	. . . . . . 7 |- ( 1 ... ( phi ` N ) ) = ( 1 ... ( phi ` N ) )
7		fveq2 5511	. . . . . . . . . 10 |- ( a = b -> ( F ` a ) = ( F ` b ) )
8	7	oveq2d 5885	. . . . . . . . 9 |- ( a = b -> ( A x. ( F ` a ) ) = ( A x. ( F ` b ) ) )
9	8	oveq1d 5884	. . . . . . . 8 |- ( a = b -> ( ( A x. ( F ` a ) ) mod N ) = ( ( A x. ( F ` b ) ) mod N ) )
10	9	cbvmptv 4096	. . . . . . 7 |- ( a e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` a ) ) mod N ) ) = ( b e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` b ) ) mod N ) )
11	4, 5, 6, 1, 10	eulerthlem1 12210	. . . . . 6 |- ( ph -> ( a e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` a ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
12		fveq2 5511	. . . . . . . . . 10 |- ( a = y -> ( F ` a ) = ( F ` y ) )
13	12	oveq2d 5885	. . . . . . . . 9 |- ( a = y -> ( A x. ( F ` a ) ) = ( A x. ( F ` y ) ) )
14	13	oveq1d 5884	. . . . . . . 8 |- ( a = y -> ( ( A x. ( F ` a ) ) mod N ) = ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) )
15	14	cbvmptv 4096	. . . . . . 7 |- ( a e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` a ) ) mod N ) ) = ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) )
16	15	feq1i 5354	. . . . . 6 |- ( ( a e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` a ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S <-> ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
17	11, 16	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
18	4	simp1d 1009	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. NN )
19	18	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> N e. NN )
20	4	simp2d 1010	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. ZZ )
21	20	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> A e. ZZ )
22		ssrab2 3240	. . . . . . . . . . . . 13 |- { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 } C_ ( 0..^ N )
23	5, 22	eqsstri 3187	. . . . . . . . . . . 12 |- S C_ ( 0..^ N )
24		fzo0ssnn0 10201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0..^ N ) C_ NN0
25		nn0ssz 9260	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN0 C_ ZZ
26	24, 25	sstri 3164	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0..^ N ) C_ ZZ
27	23, 26	sstri 3164	. . . . . . . . . . 11 |- S C_ ZZ
28		f1of 5457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
29	1, 28	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
30	29	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
31		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
32	30, 31	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` u ) e. S )
33	27, 32	sselid 3153	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` u ) e. ZZ )
34	21, 33	zmulcld 9370	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( A x. ( F ` u ) ) e. ZZ )
35	29	ffvelcdmda 5647	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) -> ( F ` v ) e. S )
36	35	adantrl 478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` v ) e. S )
37	27, 36	sselid 3153	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` v ) e. ZZ )
38	21, 37	zmulcld 9370	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( A x. ( F ` v ) ) e. ZZ )
39		moddvds 11790	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( A x. ( F ` u ) ) e. ZZ /\ ( A x. ( F ` v ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( A x. ( F ` u ) ) mod N ) = ( ( A x. ( F ` v ) ) mod N ) <-> N || ( ( A x. ( F ` u ) ) - ( A x. ( F ` v ) ) ) ) )
40	19, 34, 38, 39	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( ( A x. ( F ` u ) ) mod N ) = ( ( A x. ( F ` v ) ) mod N ) <-> N || ( ( A x. ( F ` u ) ) - ( A x. ( F ` v ) ) ) ) )
41		eqid 2177	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) = ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) )
42		fveq2 5511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = u -> ( F ` y ) = ( F ` u ) )
43	42	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = u -> ( A x. ( F ` y ) ) = ( A x. ( F ` u ) ) )
44	43	oveq1d 5884	. . . . . . . . . 10 |- ( y = u -> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) = ( ( A x. ( F ` u ) ) mod N ) )
45		zmodfzo 10333	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A x. ( F ` u ) ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A x. ( F ` u ) ) mod N ) e. ( 0..^ N ) )
46	34, 19, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( A x. ( F ` u ) ) mod N ) e. ( 0..^ N ) )
47	41, 44, 31, 46	fvmptd3 5605	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` u ) = ( ( A x. ( F ` u ) ) mod N ) )
48		fveq2 5511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = v -> ( F ` y ) = ( F ` v ) )
49	48	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = v -> ( A x. ( F ` y ) ) = ( A x. ( F ` v ) ) )
50	49	oveq1d 5884	. . . . . . . . . 10 |- ( y = v -> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) = ( ( A x. ( F ` v ) ) mod N ) )
51		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
52		zmodfzo 10333	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A x. ( F ` v ) ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A x. ( F ` v ) ) mod N ) e. ( 0..^ N ) )
53	38, 19, 52	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( A x. ( F ` v ) ) mod N ) e. ( 0..^ N ) )
54	41, 50, 51, 53	fvmptd3 5605	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` v ) = ( ( A x. ( F ` v ) ) mod N ) )
55	47, 54	eqeq12d 2192	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` u ) = ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` v ) <-> ( ( A x. ( F ` u ) ) mod N ) = ( ( A x. ( F ` v ) ) mod N ) ) )
56	21	zcnd 9365	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> A e. CC )
57	33	zcnd 9365	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` u ) e. CC )
58	37	zcnd 9365	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` v ) e. CC )
59	56, 57, 58	subdid 8361	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( A x. ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) ) = ( ( A x. ( F ` u ) ) - ( A x. ( F ` v ) ) ) )
60	59	breq2d 4012	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( N || ( A x. ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) ) <-> N || ( ( A x. ( F ` u ) ) - ( A x. ( F ` v ) ) ) ) )
61	40, 55, 60	3bitr4d 220	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` u ) = ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` v ) <-> N || ( A x. ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) ) ) )
62	18	nnzd 9363	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ZZ )
63	62, 20	gcdcomd 11958	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N gcd A ) = ( A gcd N ) )
64	4	simp3d 1011	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A gcd N ) = 1 )
65	63, 64	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N gcd A ) = 1 )
66	65	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( N gcd A ) = 1 )
67	62	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> N e. ZZ )
68	33, 37	zsubcld 9369	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) e. ZZ )
69		coprmdvds 12075	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ A e. ZZ /\ ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) e. ZZ ) -> ( ( N || ( A x. ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) ) /\ ( N gcd A ) = 1 ) -> N || ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) ) )
70	67, 21, 68, 69	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( N || ( A x. ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) ) /\ ( N gcd A ) = 1 ) -> N || ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) ) )
71		zq 9615	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` u ) e. ZZ -> ( F ` u ) e. QQ )
72	33, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` u ) e. QQ )
73		zq 9615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
74	62, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. QQ )
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> N e. QQ )
76	23, 32	sselid 3153	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` u ) e. ( 0..^ N ) )
77		elfzole1 10141	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` u ) e. ( 0..^ N ) -> 0 <_ ( F ` u ) )
78	76, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> 0 <_ ( F ` u ) )
79		elfzolt2 10142	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` u ) e. ( 0..^ N ) -> ( F ` u ) < N )
80	76, 79	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` u ) < N )
81		modqid 10335	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F ` u ) e. QQ /\ N e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( F ` u ) /\ ( F ` u ) < N ) ) -> ( ( F ` u ) mod N ) = ( F ` u ) )
82	72, 75, 78, 80, 81	syl22anc 1239	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( F ` u ) mod N ) = ( F ` u ) )
83	27, 35	sselid 3153	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) -> ( F ` v ) e. ZZ )
84	83	adantrl 478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` v ) e. ZZ )
85		zq 9615	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` v ) e. ZZ -> ( F ` v ) e. QQ )
86	84, 85	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` v ) e. QQ )
87	23, 35	sselid 3153	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) -> ( F ` v ) e. ( 0..^ N ) )
88		elfzole1 10141	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` v ) e. ( 0..^ N ) -> 0 <_ ( F ` v ) )
89	87, 88	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) -> 0 <_ ( F ` v ) )
90	89	adantrl 478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> 0 <_ ( F ` v ) )
91	87	adantrl 478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` v ) e. ( 0..^ N ) )
92		elfzolt2 10142	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` v ) e. ( 0..^ N ) -> ( F ` v ) < N )
93	91, 92	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` v ) < N )
94		modqid 10335	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F ` v ) e. QQ /\ N e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( F ` v ) /\ ( F ` v ) < N ) ) -> ( ( F ` v ) mod N ) = ( F ` v ) )
95	86, 75, 90, 93, 94	syl22anc 1239	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( F ` v ) mod N ) = ( F ` v ) )
96	82, 95	eqeq12d 2192	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( ( F ` u ) mod N ) = ( ( F ` v ) mod N ) <-> ( F ` u ) = ( F ` v ) ) )
97		moddvds 11790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( F ` u ) e. ZZ /\ ( F ` v ) e. ZZ ) -> ( ( ( F ` u ) mod N ) = ( ( F ` v ) mod N ) <-> N || ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) ) )
98	19, 33, 37, 97	syl3anc 1238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( ( F ` u ) mod N ) = ( ( F ` v ) mod N ) <-> N || ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) ) )
99		f1of1 5456	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-> S )
100	1, 99	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-> S )
101		f1fveq 5767	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-> S /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> u = v ) )
102	100, 101	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> u = v ) )
103	96, 98, 102	3bitr3d 218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( N || ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) <-> u = v ) )
104	70, 103	sylibd 149	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( N || ( A x. ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) ) /\ ( N gcd A ) = 1 ) -> u = v ) )
105	66, 104	mpan2d 428	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( N || ( A x. ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) ) -> u = v ) )
106	61, 105	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` u ) = ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` v ) -> u = v ) )
107	106	ralrimivva 2559	. . . . 5 |- ( ph -> A. u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) A. v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` u ) = ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` v ) -> u = v ) )
108		dff13 5763	. . . . 5 |- ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-> S <-> ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S /\ A. u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) A. v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` u ) = ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` v ) -> u = v ) ) )
109	17, 107, 108	sylanbrc 417	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-> S )
110		1zzd 9269	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
111	18	phicld 12201	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( phi ` N ) e. NN )
112	111	nnzd 9363	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( phi ` N ) e. ZZ )
113	110, 112	fzfigd 10417	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 ... ( phi ` N ) ) e. Fin )
114		f1oeng 6751	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 ... ( phi ` N ) ) e. Fin /\ F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S ) -> ( 1 ... ( phi ` N ) ) ~~ S )
115	113, 1, 114	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... ( phi ` N ) ) ~~ S )
116	4, 5	eulerthlemfi 12211	. . . . 5 |- ( ph -> S e. Fin )
117		f1finf1o 6940	. . . . 5 |- ( ( ( 1 ... ( phi ` N ) ) ~~ S /\ S e. Fin ) -> ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-> S <-> ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S ) )
118	115, 116, 117	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-> S <-> ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S ) )
119	109, 118	mpbid 147	. . 3 |- ( ph -> ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S )
120		f1oco 5480	. . 3 |- ( ( `' F : S -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S ) -> ( `' F o. ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
121	3, 119, 120	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( `' F o. ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
122		eulerth.h	. . 3 |- H = ( `' F o. ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) )
123		f1oeq1 5445	. . 3 |- ( H = ( `' F o. ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ) -> ( H : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) <-> ( `' F o. ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) )
124	122, 123	ax-mp 5	. 2 |- ( H : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) <-> ( `' F o. ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
125	121, 124	sylibr 134	1 |- ( ph -> H : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   {crab 2459   class class class wbr 4000   |-> cmpt 4061   `'ccnv 4622   o. ccom 4627   -->wf 5208   -1-1->wf1 5209   -1-1-onto->wf1o 5211   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   ~~ cen 6732   Fincfn 6734   0cc0 7802   1c1 7803   x. cmul 7807   < clt 7982   <_ cle 7983   - cmin 8118   NNcn 8908   NN0cn0 9165   ZZcz 9242   QQcq 9608   ...cfz 9995  ..^cfzo 10128   mod cmo 10308   || cdvds 11778   gcd cgcd 11926   phicphi 12192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-1o 6411  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-sup 6977  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-dvds 11779  df-gcd 11927  df-phi 12194

This theorem is referenced by:  eulerthlemth  12215