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Theorem eulerthlemh 12214
Description: Lemma for eulerth 12216. A permutation of  ( 1 ... ( phi `  N ) ). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerth.1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
eulerth.2  |-  S  =  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N
)  =  1 }
eulerth.4  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> S )
eulerth.h  |-  H  =  ( `' F  o.  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) )
Assertion
Ref Expression
eulerthlemh  |-  ( ph  ->  H : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, F    y, N    ph, y
Allowed substitution hints:    S( y)    H( y)

Proof of Theorem eulerthlemh
Dummy variables  a  b  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerth.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> S )
2 f1ocnv 5470 . . . 4  |-  ( F : ( 1 ... ( phi `  N
) ) -1-1-onto-> S  ->  `' F : S -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  `' F : S -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
4 eulerth.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
5 eulerth.2 . . . . . . 7  |-  S  =  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N
)  =  1 }
6 eqid 2177 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... ( phi `  N ) )  =  ( 1 ... ( phi `  N ) )
7 fveq2 5511 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )
87oveq2d 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  ( A  x.  ( F `  a ) )  =  ( A  x.  ( F `  b )
) )
98oveq1d 5884 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (
( A  x.  ( F `  a )
)  mod  N )  =  ( ( A  x.  ( F `  b ) )  mod 
N ) )
109cbvmptv 4096 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) )  |->  ( ( A  x.  ( F `
 a ) )  mod  N ) )  =  ( b  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) 
|->  ( ( A  x.  ( F `  b ) )  mod  N ) )
114, 5, 6, 1, 10eulerthlem1 12210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( a  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  a )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S )
12 fveq2 5511 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  y  ->  ( F `  a )  =  ( F `  y ) )
1312oveq2d 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  y  ->  ( A  x.  ( F `  a ) )  =  ( A  x.  ( F `  y )
) )
1413oveq1d 5884 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  y  ->  (
( A  x.  ( F `  a )
)  mod  N )  =  ( ( A  x.  ( F `  y ) )  mod 
N ) )
1514cbvmptv 4096 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) )  |->  ( ( A  x.  ( F `
 a ) )  mod  N ) )  =  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) 
|->  ( ( A  x.  ( F `  y ) )  mod  N ) )
1615feq1i 5354 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  a )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S  <-> 
( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S )
1711, 16sylib 122 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S )
184simp1d 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
1918adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
204simp2d 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2120adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
22 ssrab2 3240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N )  =  1 }  C_  (
0..^ N )
235, 22eqsstri 3187 . . . . . . . . . . . 12  |-  S  C_  ( 0..^ N )
24 fzo0ssnn0 10201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0..^ N )  C_  NN0
25 nn0ssz 9260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  C_  ZZ
2624, 25sstri 3164 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0..^ N )  C_  ZZ
2723, 26sstri 3164 . . . . . . . . . . 11  |-  S  C_  ZZ
28 f1of 5457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : ( 1 ... ( phi `  N
) ) -1-1-onto-> S  ->  F :
( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S )
291, 28syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S )
3029adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  F :
( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S )
31 simprl 529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
3230, 31ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  u )  e.  S
)
3327, 32sselid 3153 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  u )  e.  ZZ )
3421, 33zmulcld 9370 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( A  x.  ( F `  u
) )  e.  ZZ )
3529ffvelcdmda 5647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )  ->  ( F `  v )  e.  S
)
3635adantrl 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  v )  e.  S
)
3727, 36sselid 3153 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  v )  e.  ZZ )
3821, 37zmulcld 9370 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( A  x.  ( F `  v
) )  e.  ZZ )
39 moddvds 11790 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  x.  ( F `  u )
)  e.  ZZ  /\  ( A  x.  ( F `  v )
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( A  x.  ( F `
 u ) )  mod  N )  =  ( ( A  x.  ( F `  v ) )  mod  N )  <-> 
N  ||  ( ( A  x.  ( F `  u ) )  -  ( A  x.  ( F `  v )
) ) ) )
4019, 34, 38, 39syl3anc 1238 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( (
( A  x.  ( F `  u )
)  mod  N )  =  ( ( A  x.  ( F `  v ) )  mod 
N )  <->  N  ||  (
( A  x.  ( F `  u )
)  -  ( A  x.  ( F `  v ) ) ) ) )
41 eqid 2177 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) )  |->  ( ( A  x.  ( F `
 y ) )  mod  N ) )  =  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) 
|->  ( ( A  x.  ( F `  y ) )  mod  N ) )
42 fveq2 5511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  u  ->  ( F `  y )  =  ( F `  u ) )
4342oveq2d 5885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  u  ->  ( A  x.  ( F `  y ) )  =  ( A  x.  ( F `  u )
) )
4443oveq1d 5884 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  u  ->  (
( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )  =  ( ( A  x.  ( F `  u ) )  mod 
N ) )
45 zmodfzo 10333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  x.  ( F `  u )
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  x.  ( F `  u ) )  mod  N )  e.  ( 0..^ N ) )
4634, 19, 45syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( F `  u ) )  mod 
N )  e.  ( 0..^ N ) )
4741, 44, 31, 46fvmptd3 5605 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( (
y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) `  u )  =  ( ( A  x.  ( F `  u ) )  mod 
N ) )
48 fveq2 5511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  v  ->  ( F `  y )  =  ( F `  v ) )
4948oveq2d 5885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  v  ->  ( A  x.  ( F `  y ) )  =  ( A  x.  ( F `  v )
) )
5049oveq1d 5884 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  v  ->  (
( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )  =  ( ( A  x.  ( F `  v ) )  mod 
N ) )
51 simprr 531 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
52 zmodfzo 10333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  x.  ( F `  v )
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  x.  ( F `  v ) )  mod  N )  e.  ( 0..^ N ) )
5338, 19, 52syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( F `  v ) )  mod 
N )  e.  ( 0..^ N ) )
5441, 50, 51, 53fvmptd3 5605 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( (
y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) `  v )  =  ( ( A  x.  ( F `  v ) )  mod 
N ) )
5547, 54eqeq12d 2192 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( (
( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) `  u )  =  ( ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) )  |->  ( ( A  x.  ( F `
 y ) )  mod  N ) ) `
 v )  <->  ( ( A  x.  ( F `  u ) )  mod 
N )  =  ( ( A  x.  ( F `  v )
)  mod  N )
) )
5621zcnd 9365 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  A  e.  CC )
5733zcnd 9365 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  u )  e.  CC )
5837zcnd 9365 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  v )  e.  CC )
5956, 57, 58subdid 8361 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( A  x.  ( ( F `  u )  -  ( F `  v )
) )  =  ( ( A  x.  ( F `  u )
)  -  ( A  x.  ( F `  v ) ) ) )
6059breq2d 4012 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( N  ||  ( A  x.  (
( F `  u
)  -  ( F `
 v ) ) )  <->  N  ||  ( ( A  x.  ( F `
 u ) )  -  ( A  x.  ( F `  v ) ) ) ) )
6140, 55, 603bitr4d 220 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( (
( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) `  u )  =  ( ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) )  |->  ( ( A  x.  ( F `
 y ) )  mod  N ) ) `
 v )  <->  N  ||  ( A  x.  ( ( F `  u )  -  ( F `  v ) ) ) ) )
6218nnzd 9363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
6362, 20gcdcomd 11958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  gcd  A
)  =  ( A  gcd  N ) )
644simp3d 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  N
)  =  1 )
6563, 64eqtrd 2210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  gcd  A
)  =  1 )
6665adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( N  gcd  A )  =  1 )
6762adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
6833, 37zsubcld 9369 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( ( F `  u )  -  ( F `  v ) )  e.  ZZ )
69 coprmdvds 12075 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  (
( F `  u
)  -  ( F `
 v ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( N  ||  ( A  x.  (
( F `  u
)  -  ( F `
 v ) ) )  /\  ( N  gcd  A )  =  1 )  ->  N  ||  ( ( F `  u )  -  ( F `  v )
) ) )
7067, 21, 68, 69syl3anc 1238 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( ( N  ||  ( A  x.  ( ( F `  u )  -  ( F `  v )
) )  /\  ( N  gcd  A )  =  1 )  ->  N  ||  ( ( F `  u )  -  ( F `  v )
) ) )
71 zq 9615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  u )  e.  ZZ  ->  ( F `  u )  e.  QQ )
7233, 71syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  u )  e.  QQ )
73 zq 9615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  QQ )
7462, 73syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  QQ )
7574adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  N  e.  QQ )
7623, 32sselid 3153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  u )  e.  ( 0..^ N ) )
77 elfzole1 10141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  u )  e.  ( 0..^ N )  ->  0  <_  ( F `  u ) )
7876, 77syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  0  <_  ( F `  u ) )
79 elfzolt2 10142 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  u )  e.  ( 0..^ N )  ->  ( F `  u )  <  N
)
8076, 79syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  u )  <  N
)
81 modqid 10335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  u )  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( 0  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  u )  <  N
) )  ->  (
( F `  u
)  mod  N )  =  ( F `  u ) )
8272, 75, 78, 80, 81syl22anc 1239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( ( F `  u )  mod  N )  =  ( F `  u ) )
8327, 35sselid 3153 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )  ->  ( F `  v )  e.  ZZ )
8483adantrl 478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  v )  e.  ZZ )
85 zq 9615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  v )  e.  ZZ  ->  ( F `  v )  e.  QQ )
8684, 85syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  v )  e.  QQ )
8723, 35sselid 3153 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )  ->  ( F `  v )  e.  ( 0..^ N ) )
88 elfzole1 10141 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  v )  e.  ( 0..^ N )  ->  0  <_  ( F `  v ) )
8987, 88syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )  ->  0  <_  ( F `  v ) )
9089adantrl 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  0  <_  ( F `  v ) )
9187adantrl 478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  v )  e.  ( 0..^ N ) )
92 elfzolt2 10142 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  v )  e.  ( 0..^ N )  ->  ( F `  v )  <  N
)
9391, 92syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  v )  <  N
)
94 modqid 10335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  v )  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( 0  <_ 
( F `  v
)  /\  ( F `  v )  <  N
) )  ->  (
( F `  v
)  mod  N )  =  ( F `  v ) )
9586, 75, 90, 93, 94syl22anc 1239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( ( F `  v )  mod  N )  =  ( F `  v ) )
9682, 95eqeq12d 2192 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( (
( F `  u
)  mod  N )  =  ( ( F `
 v )  mod 
N )  <->  ( F `  u )  =  ( F `  v ) ) )
97 moddvds 11790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( F `  u )  e.  ZZ  /\  ( F `  v )  e.  ZZ )  ->  (
( ( F `  u )  mod  N
)  =  ( ( F `  v )  mod  N )  <->  N  ||  (
( F `  u
)  -  ( F `
 v ) ) ) )
9819, 33, 37, 97syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( (
( F `  u
)  mod  N )  =  ( ( F `
 v )  mod 
N )  <->  N  ||  (
( F `  u
)  -  ( F `
 v ) ) ) )
99 f1of1 5456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : ( 1 ... ( phi `  N
) ) -1-1-onto-> S  ->  F :
( 1 ... ( phi `  N ) )
-1-1-> S )
1001, 99syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-> S
)
101 f1fveq 5767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-> S  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( ( F `  u )  =  ( F `  v )  <->  u  =  v ) )
102100, 101sylan 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( ( F `  u )  =  ( F `  v )  <->  u  =  v ) )
10396, 98, 1023bitr3d 218 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( N  ||  ( ( F `  u )  -  ( F `  v )
)  <->  u  =  v
) )
10470, 103sylibd 149 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( ( N  ||  ( A  x.  ( ( F `  u )  -  ( F `  v )
) )  /\  ( N  gcd  A )  =  1 )  ->  u  =  v ) )
10566, 104mpan2d 428 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( N  ||  ( A  x.  (
( F `  u
)  -  ( F `
 v ) ) )  ->  u  =  v ) )
10661, 105sylbid 150 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( (
( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) `  u )  =  ( ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) )  |->  ( ( A  x.  ( F `
 y ) )  mod  N ) ) `
 v )  ->  u  =  v )
)
107106ralrimivva 2559 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) A. v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ( ( ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) 
|->  ( ( A  x.  ( F `  y ) )  mod  N ) ) `  u )  =  ( ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) )  |->  ( ( A  x.  ( F `
 y ) )  mod  N ) ) `
 v )  ->  u  =  v )
)
108 dff13 5763 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-> S  <->  ( ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S  /\  A. u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) A. v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ( ( ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) 
|->  ( ( A  x.  ( F `  y ) )  mod  N ) ) `  u )  =  ( ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) )  |->  ( ( A  x.  ( F `
 y ) )  mod  N ) ) `
 v )  ->  u  =  v )
) )
10917, 107, 108sylanbrc 417 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-> S
)
110 1zzd 9269 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
11118phicld 12201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  e.  NN )
112111nnzd 9363 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  e.  ZZ )
113110, 112fzfigd 10417 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( phi `  N ) )  e.  Fin )
114 f1oeng 6751 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... ( phi `  N ) )  e.  Fin  /\  F : ( 1 ... ( phi `  N
) ) -1-1-onto-> S )  ->  (
1 ... ( phi `  N ) )  ~~  S )
115113, 1, 114syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( phi `  N ) ) 
~~  S )
1164, 5eulerthlemfi 12211 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
117 f1finf1o 6940 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... ( phi `  N ) ) 
~~  S  /\  S  e.  Fin )  ->  (
( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-> S  <->  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> S ) )
118115, 116, 117syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) 
|->  ( ( A  x.  ( F `  y ) )  mod  N ) ) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-> S  <->  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> S ) )
119109, 118mpbid 147 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> S )
120 f1oco 5480 . . 3  |-  ( ( `' F : S -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> S )  ->  ( `' F  o.  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) ) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
1213, 119, 120syl2anc 411 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F  o.  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) ) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
122 eulerth.h . . 3  |-  H  =  ( `' F  o.  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) )
123 f1oeq1 5445 . . 3  |-  ( H  =  ( `' F  o.  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) )  ->  ( H : ( 1 ... ( phi `  N
) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi `  N ) )  <-> 
( `' F  o.  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) ) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )
124122, 123ax-mp 5 . 2  |-  ( H : ( 1 ... ( phi `  N
) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi `  N ) )  <-> 
( `' F  o.  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) ) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
125121, 124sylibr 134 1  |-  ( ph  ->  H : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   {crab 2459   class class class wbr 4000    |-> cmpt 4061   `'ccnv 4622    o. ccom 4627   -->wf 5208   -1-1->wf1 5209   -1-1-onto->wf1o 5211   ` cfv 5212  (class class class)co 5869    ~~ cen 6732   Fincfn 6734   0cc0 7802   1c1 7803    x. cmul 7807    < clt 7982    <_ cle 7983    - cmin 8118   NNcn 8908   NN0cn0 9165   ZZcz 9242   QQcq 9608   ...cfz 9995  ..^cfzo 10128    mod cmo 10308    || cdvds 11778    gcd cgcd 11926   phicphi 12192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-1o 6411  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-sup 6977  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-dvds 11779  df-gcd 11927  df-phi 12194
This theorem is referenced by:  eulerthlemth  12215
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