Theorem eulerthlemh 12098

Description: Lemma for eulerth 12100. A permutation of ( 1 ... ( phi ` N ) ). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerth.1	|- ( ph -> ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) )
eulerth.2	|- S = { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 }
eulerth.4	|- ( ph -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S )
eulerth.h	|- H = ( `' F o. ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) )

Assertion

Ref	Expression
eulerthlemh	|- ( ph -> H : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, F   y, N   ph, y

Allowed substitution hints:   S( y)   H( y)

Proof of Theorem eulerthlemh

Dummy variables a b u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.4	. . . 4 |- ( ph -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S )
2		f1ocnv 5426	. . . 4 |- ( F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S -> `' F : S -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> `' F : S -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
4		eulerth.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) )
5		eulerth.2	. . . . . . 7 |- S = { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 }
6		eqid 2157	. . . . . . 7 |- ( 1 ... ( phi ` N ) ) = ( 1 ... ( phi ` N ) )
7		fveq2 5467	. . . . . . . . . 10 |- ( a = b -> ( F ` a ) = ( F ` b ) )
8	7	oveq2d 5837	. . . . . . . . 9 |- ( a = b -> ( A x. ( F ` a ) ) = ( A x. ( F ` b ) ) )
9	8	oveq1d 5836	. . . . . . . 8 |- ( a = b -> ( ( A x. ( F ` a ) ) mod N ) = ( ( A x. ( F ` b ) ) mod N ) )
10	9	cbvmptv 4060	. . . . . . 7 |- ( a e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` a ) ) mod N ) ) = ( b e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` b ) ) mod N ) )
11	4, 5, 6, 1, 10	eulerthlem1 12094	. . . . . 6 |- ( ph -> ( a e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` a ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
12		fveq2 5467	. . . . . . . . . 10 |- ( a = y -> ( F ` a ) = ( F ` y ) )
13	12	oveq2d 5837	. . . . . . . . 9 |- ( a = y -> ( A x. ( F ` a ) ) = ( A x. ( F ` y ) ) )
14	13	oveq1d 5836	. . . . . . . 8 |- ( a = y -> ( ( A x. ( F ` a ) ) mod N ) = ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) )
15	14	cbvmptv 4060	. . . . . . 7 |- ( a e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` a ) ) mod N ) ) = ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) )
16	15	feq1i 5311	. . . . . 6 |- ( ( a e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` a ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S <-> ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
17	11, 16	sylib 121	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
18	4	simp1d 994	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. NN )
19	18	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> N e. NN )
20	4	simp2d 995	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. ZZ )
21	20	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> A e. ZZ )
22		ssrab2 3213	. . . . . . . . . . . . 13 |- { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 } C_ ( 0..^ N )
23	5, 22	eqsstri 3160	. . . . . . . . . . . 12 |- S C_ ( 0..^ N )
24		fzo0ssnn0 10109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0..^ N ) C_ NN0
25		nn0ssz 9180	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN0 C_ ZZ
26	24, 25	sstri 3137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0..^ N ) C_ ZZ
27	23, 26	sstri 3137	. . . . . . . . . . 11 |- S C_ ZZ
28		f1of 5413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
29	1, 28	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
30	29	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
31		simprl 521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
32	30, 31	ffvelrnd 5602	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` u ) e. S )
33	27, 32	sseldi 3126	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` u ) e. ZZ )
34	21, 33	zmulcld 9287	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( A x. ( F ` u ) ) e. ZZ )
35	29	ffvelrnda 5601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) -> ( F ` v ) e. S )
36	35	adantrl 470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` v ) e. S )
37	27, 36	sseldi 3126	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` v ) e. ZZ )
38	21, 37	zmulcld 9287	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( A x. ( F ` v ) ) e. ZZ )
39		moddvds 11690	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( A x. ( F ` u ) ) e. ZZ /\ ( A x. ( F ` v ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( A x. ( F ` u ) ) mod N ) = ( ( A x. ( F ` v ) ) mod N ) <-> N || ( ( A x. ( F ` u ) ) - ( A x. ( F ` v ) ) ) ) )
40	19, 34, 38, 39	syl3anc 1220	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( ( A x. ( F ` u ) ) mod N ) = ( ( A x. ( F ` v ) ) mod N ) <-> N || ( ( A x. ( F ` u ) ) - ( A x. ( F ` v ) ) ) ) )
41		eqid 2157	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) = ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) )
42		fveq2 5467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = u -> ( F ` y ) = ( F ` u ) )
43	42	oveq2d 5837	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = u -> ( A x. ( F ` y ) ) = ( A x. ( F ` u ) ) )
44	43	oveq1d 5836	. . . . . . . . . 10 |- ( y = u -> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) = ( ( A x. ( F ` u ) ) mod N ) )
45		zmodfzo 10241	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A x. ( F ` u ) ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A x. ( F ` u ) ) mod N ) e. ( 0..^ N ) )
46	34, 19, 45	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( A x. ( F ` u ) ) mod N ) e. ( 0..^ N ) )
47	41, 44, 31, 46	fvmptd3 5560	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` u ) = ( ( A x. ( F ` u ) ) mod N ) )
48		fveq2 5467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = v -> ( F ` y ) = ( F ` v ) )
49	48	oveq2d 5837	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = v -> ( A x. ( F ` y ) ) = ( A x. ( F ` v ) ) )
50	49	oveq1d 5836	. . . . . . . . . 10 |- ( y = v -> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) = ( ( A x. ( F ` v ) ) mod N ) )
51		simprr 522	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
52		zmodfzo 10241	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A x. ( F ` v ) ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A x. ( F ` v ) ) mod N ) e. ( 0..^ N ) )
53	38, 19, 52	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( A x. ( F ` v ) ) mod N ) e. ( 0..^ N ) )
54	41, 50, 51, 53	fvmptd3 5560	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` v ) = ( ( A x. ( F ` v ) ) mod N ) )
55	47, 54	eqeq12d 2172	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` u ) = ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` v ) <-> ( ( A x. ( F ` u ) ) mod N ) = ( ( A x. ( F ` v ) ) mod N ) ) )
56	21	zcnd 9282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> A e. CC )
57	33	zcnd 9282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` u ) e. CC )
58	37	zcnd 9282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` v ) e. CC )
59	56, 57, 58	subdid 8284	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( A x. ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) ) = ( ( A x. ( F ` u ) ) - ( A x. ( F ` v ) ) ) )
60	59	breq2d 3977	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( N || ( A x. ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) ) <-> N || ( ( A x. ( F ` u ) ) - ( A x. ( F ` v ) ) ) ) )
61	40, 55, 60	3bitr4d 219	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` u ) = ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` v ) <-> N || ( A x. ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) ) ) )
62	18	nnzd 9280	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ZZ )
63	62, 20	gcdcomd 11852	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N gcd A ) = ( A gcd N ) )
64	4	simp3d 996	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A gcd N ) = 1 )
65	63, 64	eqtrd 2190	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N gcd A ) = 1 )
66	65	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( N gcd A ) = 1 )
67	62	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> N e. ZZ )
68	33, 37	zsubcld 9286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) e. ZZ )
69		coprmdvds 11963	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ A e. ZZ /\ ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) e. ZZ ) -> ( ( N || ( A x. ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) ) /\ ( N gcd A ) = 1 ) -> N || ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) ) )
70	67, 21, 68, 69	syl3anc 1220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( N || ( A x. ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) ) /\ ( N gcd A ) = 1 ) -> N || ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) ) )
71		zq 9530	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` u ) e. ZZ -> ( F ` u ) e. QQ )
72	33, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` u ) e. QQ )
73		zq 9530	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
74	62, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. QQ )
75	74	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> N e. QQ )
76	23, 32	sseldi 3126	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` u ) e. ( 0..^ N ) )
77		elfzole1 10049	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` u ) e. ( 0..^ N ) -> 0 <_ ( F ` u ) )
78	76, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> 0 <_ ( F ` u ) )
79		elfzolt2 10050	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` u ) e. ( 0..^ N ) -> ( F ` u ) < N )
80	76, 79	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` u ) < N )
81		modqid 10243	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F ` u ) e. QQ /\ N e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( F ` u ) /\ ( F ` u ) < N ) ) -> ( ( F ` u ) mod N ) = ( F ` u ) )
82	72, 75, 78, 80, 81	syl22anc 1221	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( F ` u ) mod N ) = ( F ` u ) )
83	27, 35	sseldi 3126	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) -> ( F ` v ) e. ZZ )
84	83	adantrl 470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` v ) e. ZZ )
85		zq 9530	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` v ) e. ZZ -> ( F ` v ) e. QQ )
86	84, 85	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` v ) e. QQ )
87	23, 35	sseldi 3126	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) -> ( F ` v ) e. ( 0..^ N ) )
88		elfzole1 10049	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` v ) e. ( 0..^ N ) -> 0 <_ ( F ` v ) )
89	87, 88	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) -> 0 <_ ( F ` v ) )
90	89	adantrl 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> 0 <_ ( F ` v ) )
91	87	adantrl 470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` v ) e. ( 0..^ N ) )
92		elfzolt2 10050	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` v ) e. ( 0..^ N ) -> ( F ` v ) < N )
93	91, 92	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` v ) < N )
94		modqid 10243	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F ` v ) e. QQ /\ N e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( F ` v ) /\ ( F ` v ) < N ) ) -> ( ( F ` v ) mod N ) = ( F ` v ) )
95	86, 75, 90, 93, 94	syl22anc 1221	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( F ` v ) mod N ) = ( F ` v ) )
96	82, 95	eqeq12d 2172	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( ( F ` u ) mod N ) = ( ( F ` v ) mod N ) <-> ( F ` u ) = ( F ` v ) ) )
97		moddvds 11690	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( F ` u ) e. ZZ /\ ( F ` v ) e. ZZ ) -> ( ( ( F ` u ) mod N ) = ( ( F ` v ) mod N ) <-> N || ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) ) )
98	19, 33, 37, 97	syl3anc 1220	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( ( F ` u ) mod N ) = ( ( F ` v ) mod N ) <-> N || ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) ) )
99		f1of1 5412	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-> S )
100	1, 99	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-> S )
101		f1fveq 5719	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-> S /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> u = v ) )
102	100, 101	sylan 281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> u = v ) )
103	96, 98, 102	3bitr3d 217	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( N || ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) <-> u = v ) )
104	70, 103	sylibd 148	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( N || ( A x. ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) ) /\ ( N gcd A ) = 1 ) -> u = v ) )
105	66, 104	mpan2d 425	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( N || ( A x. ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) ) -> u = v ) )
106	61, 105	sylbid 149	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` u ) = ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` v ) -> u = v ) )
107	106	ralrimivva 2539	. . . . 5 |- ( ph -> A. u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) A. v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` u ) = ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` v ) -> u = v ) )
108		dff13 5715	. . . . 5 |- ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-> S <-> ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S /\ A. u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) A. v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` u ) = ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` v ) -> u = v ) ) )
109	17, 107, 108	sylanbrc 414	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-> S )
110		1zzd 9189	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
111	18	phicld 12085	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( phi ` N ) e. NN )
112	111	nnzd 9280	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( phi ` N ) e. ZZ )
113	110, 112	fzfigd 10325	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 ... ( phi ` N ) ) e. Fin )
114		f1oeng 6699	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 ... ( phi ` N ) ) e. Fin /\ F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S ) -> ( 1 ... ( phi ` N ) ) ~~ S )
115	113, 1, 114	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... ( phi ` N ) ) ~~ S )
116	4, 5	eulerthlemfi 12095	. . . . 5 |- ( ph -> S e. Fin )
117		f1finf1o 6888	. . . . 5 |- ( ( ( 1 ... ( phi ` N ) ) ~~ S /\ S e. Fin ) -> ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-> S <-> ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S ) )
118	115, 116, 117	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ph -> ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-> S <-> ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S ) )
119	109, 118	mpbid 146	. . 3 |- ( ph -> ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S )
120		f1oco 5436	. . 3 |- ( ( `' F : S -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S ) -> ( `' F o. ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
121	3, 119, 120	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( `' F o. ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
122		eulerth.h	. . 3 |- H = ( `' F o. ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) )
123		f1oeq1 5402	. . 3 |- ( H = ( `' F o. ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ) -> ( H : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) <-> ( `' F o. ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) )
124	122, 123	ax-mp 5	. 2 |- ( H : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) <-> ( `' F o. ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
125	121, 124	sylibr 133	1 |- ( ph -> H : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   {crab 2439   class class class wbr 3965   |-> cmpt 4025   `'ccnv 4584   o. ccom 4589   -->wf 5165   -1-1->wf1 5166   -1-1-onto->wf1o 5168   ` cfv 5169  (class class class)co 5821   ~~ cen 6680   Fincfn 6682   0cc0 7727   1c1 7728   x. cmul 7732   < clt 7907   <_ cle 7908   - cmin 8041   NNcn 8828   NN0cn0 9085   ZZcz 9162   QQcq 9523   ...cfz 9907  ..^cfzo 10036   mod cmo 10216   || cdvds 11678   gcd cgcd 11823   phicphi 12077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7818  ax-resscn 7819  ax-1cn 7820  ax-1re 7821  ax-icn 7822  ax-addcl 7823  ax-addrcl 7824  ax-mulcl 7825  ax-mulrcl 7826  ax-addcom 7827  ax-mulcom 7828  ax-addass 7829  ax-mulass 7830  ax-distr 7831  ax-i2m1 7832  ax-0lt1 7833  ax-1rid 7834  ax-0id 7835  ax-rnegex 7836  ax-precex 7837  ax-cnre 7838  ax-pre-ltirr 7839  ax-pre-ltwlin 7840  ax-pre-lttrn 7841  ax-pre-apti 7842  ax-pre-ltadd 7843  ax-pre-mulgt0 7844  ax-pre-mulext 7845  ax-arch 7846  ax-caucvg 7847

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-frec 6335  df-1o 6360  df-er 6477  df-en 6683  df-dom 6684  df-fin 6685  df-sup 6925  df-pnf 7909  df-mnf 7910  df-xr 7911  df-ltxr 7912  df-le 7913  df-sub 8043  df-neg 8044  df-reap 8445  df-ap 8452  df-div 8541  df-inn 8829  df-2 8887  df-3 8888  df-4 8889  df-n0 9086  df-z 9163  df-uz 9435  df-q 9524  df-rp 9556  df-fz 9908  df-fzo 10037  df-fl 10164  df-mod 10217  df-seqfrec 10340  df-exp 10414  df-ihash 10645  df-cj 10737  df-re 10738  df-im 10739  df-rsqrt 10893  df-abs 10894  df-dvds 11679  df-gcd 11824  df-phi 12078

This theorem is referenced by:  eulerthlemth  12099