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Theorem eulerthlemh 12098
Description: Lemma for eulerth 12100. A permutation of  ( 1 ... ( phi `  N ) ). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerth.1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
eulerth.2  |-  S  =  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N
)  =  1 }
eulerth.4  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> S )
eulerth.h  |-  H  =  ( `' F  o.  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) )
Assertion
Ref Expression
eulerthlemh  |-  ( ph  ->  H : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, F    y, N    ph, y
Allowed substitution hints:    S( y)    H( y)

Proof of Theorem eulerthlemh
Dummy variables  a  b  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerth.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> S )
2 f1ocnv 5426 . . . 4  |-  ( F : ( 1 ... ( phi `  N
) ) -1-1-onto-> S  ->  `' F : S -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  `' F : S -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
4 eulerth.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
5 eulerth.2 . . . . . . 7  |-  S  =  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N
)  =  1 }
6 eqid 2157 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... ( phi `  N ) )  =  ( 1 ... ( phi `  N ) )
7 fveq2 5467 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )
87oveq2d 5837 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  ( A  x.  ( F `  a ) )  =  ( A  x.  ( F `  b )
) )
98oveq1d 5836 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (
( A  x.  ( F `  a )
)  mod  N )  =  ( ( A  x.  ( F `  b ) )  mod 
N ) )
109cbvmptv 4060 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) )  |->  ( ( A  x.  ( F `
 a ) )  mod  N ) )  =  ( b  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) 
|->  ( ( A  x.  ( F `  b ) )  mod  N ) )
114, 5, 6, 1, 10eulerthlem1 12094 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( a  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  a )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S )
12 fveq2 5467 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  y  ->  ( F `  a )  =  ( F `  y ) )
1312oveq2d 5837 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  y  ->  ( A  x.  ( F `  a ) )  =  ( A  x.  ( F `  y )
) )
1413oveq1d 5836 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  y  ->  (
( A  x.  ( F `  a )
)  mod  N )  =  ( ( A  x.  ( F `  y ) )  mod 
N ) )
1514cbvmptv 4060 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) )  |->  ( ( A  x.  ( F `
 a ) )  mod  N ) )  =  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) 
|->  ( ( A  x.  ( F `  y ) )  mod  N ) )
1615feq1i 5311 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  a )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S  <-> 
( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S )
1711, 16sylib 121 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S )
184simp1d 994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
1918adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
204simp2d 995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2120adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
22 ssrab2 3213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N )  =  1 }  C_  (
0..^ N )
235, 22eqsstri 3160 . . . . . . . . . . . 12  |-  S  C_  ( 0..^ N )
24 fzo0ssnn0 10109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0..^ N )  C_  NN0
25 nn0ssz 9180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  C_  ZZ
2624, 25sstri 3137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0..^ N )  C_  ZZ
2723, 26sstri 3137 . . . . . . . . . . 11  |-  S  C_  ZZ
28 f1of 5413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : ( 1 ... ( phi `  N
) ) -1-1-onto-> S  ->  F :
( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S )
291, 28syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S )
3029adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  F :
( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S )
31 simprl 521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
3230, 31ffvelrnd 5602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  u )  e.  S
)
3327, 32sseldi 3126 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  u )  e.  ZZ )
3421, 33zmulcld 9287 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( A  x.  ( F `  u
) )  e.  ZZ )
3529ffvelrnda 5601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )  ->  ( F `  v )  e.  S
)
3635adantrl 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  v )  e.  S
)
3727, 36sseldi 3126 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  v )  e.  ZZ )
3821, 37zmulcld 9287 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( A  x.  ( F `  v
) )  e.  ZZ )
39 moddvds 11690 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  x.  ( F `  u )
)  e.  ZZ  /\  ( A  x.  ( F `  v )
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( A  x.  ( F `
 u ) )  mod  N )  =  ( ( A  x.  ( F `  v ) )  mod  N )  <-> 
N  ||  ( ( A  x.  ( F `  u ) )  -  ( A  x.  ( F `  v )
) ) ) )
4019, 34, 38, 39syl3anc 1220 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( (
( A  x.  ( F `  u )
)  mod  N )  =  ( ( A  x.  ( F `  v ) )  mod 
N )  <->  N  ||  (
( A  x.  ( F `  u )
)  -  ( A  x.  ( F `  v ) ) ) ) )
41 eqid 2157 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) )  |->  ( ( A  x.  ( F `
 y ) )  mod  N ) )  =  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) 
|->  ( ( A  x.  ( F `  y ) )  mod  N ) )
42 fveq2 5467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  u  ->  ( F `  y )  =  ( F `  u ) )
4342oveq2d 5837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  u  ->  ( A  x.  ( F `  y ) )  =  ( A  x.  ( F `  u )
) )
4443oveq1d 5836 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  u  ->  (
( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )  =  ( ( A  x.  ( F `  u ) )  mod 
N ) )
45 zmodfzo 10241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  x.  ( F `  u )
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  x.  ( F `  u ) )  mod  N )  e.  ( 0..^ N ) )
4634, 19, 45syl2anc 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( F `  u ) )  mod 
N )  e.  ( 0..^ N ) )
4741, 44, 31, 46fvmptd3 5560 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( (
y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) `  u )  =  ( ( A  x.  ( F `  u ) )  mod 
N ) )
48 fveq2 5467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  v  ->  ( F `  y )  =  ( F `  v ) )
4948oveq2d 5837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  v  ->  ( A  x.  ( F `  y ) )  =  ( A  x.  ( F `  v )
) )
5049oveq1d 5836 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  v  ->  (
( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )  =  ( ( A  x.  ( F `  v ) )  mod 
N ) )
51 simprr 522 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
52 zmodfzo 10241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  x.  ( F `  v )
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  x.  ( F `  v ) )  mod  N )  e.  ( 0..^ N ) )
5338, 19, 52syl2anc 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( F `  v ) )  mod 
N )  e.  ( 0..^ N ) )
5441, 50, 51, 53fvmptd3 5560 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( (
y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) `  v )  =  ( ( A  x.  ( F `  v ) )  mod 
N ) )
5547, 54eqeq12d 2172 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( (
( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) `  u )  =  ( ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) )  |->  ( ( A  x.  ( F `
 y ) )  mod  N ) ) `
 v )  <->  ( ( A  x.  ( F `  u ) )  mod 
N )  =  ( ( A  x.  ( F `  v )
)  mod  N )
) )
5621zcnd 9282 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  A  e.  CC )
5733zcnd 9282 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  u )  e.  CC )
5837zcnd 9282 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  v )  e.  CC )
5956, 57, 58subdid 8284 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( A  x.  ( ( F `  u )  -  ( F `  v )
) )  =  ( ( A  x.  ( F `  u )
)  -  ( A  x.  ( F `  v ) ) ) )
6059breq2d 3977 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( N  ||  ( A  x.  (
( F `  u
)  -  ( F `
 v ) ) )  <->  N  ||  ( ( A  x.  ( F `
 u ) )  -  ( A  x.  ( F `  v ) ) ) ) )
6140, 55, 603bitr4d 219 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( (
( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) `  u )  =  ( ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) )  |->  ( ( A  x.  ( F `
 y ) )  mod  N ) ) `
 v )  <->  N  ||  ( A  x.  ( ( F `  u )  -  ( F `  v ) ) ) ) )
6218nnzd 9280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
6362, 20gcdcomd 11852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  gcd  A
)  =  ( A  gcd  N ) )
644simp3d 996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  N
)  =  1 )
6563, 64eqtrd 2190 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  gcd  A
)  =  1 )
6665adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( N  gcd  A )  =  1 )
6762adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
6833, 37zsubcld 9286 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( ( F `  u )  -  ( F `  v ) )  e.  ZZ )
69 coprmdvds 11963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  (
( F `  u
)  -  ( F `
 v ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( N  ||  ( A  x.  (
( F `  u
)  -  ( F `
 v ) ) )  /\  ( N  gcd  A )  =  1 )  ->  N  ||  ( ( F `  u )  -  ( F `  v )
) ) )
7067, 21, 68, 69syl3anc 1220 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( ( N  ||  ( A  x.  ( ( F `  u )  -  ( F `  v )
) )  /\  ( N  gcd  A )  =  1 )  ->  N  ||  ( ( F `  u )  -  ( F `  v )
) ) )
71 zq 9530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  u )  e.  ZZ  ->  ( F `  u )  e.  QQ )
7233, 71syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  u )  e.  QQ )
73 zq 9530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  QQ )
7462, 73syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  QQ )
7574adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  N  e.  QQ )
7623, 32sseldi 3126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  u )  e.  ( 0..^ N ) )
77 elfzole1 10049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  u )  e.  ( 0..^ N )  ->  0  <_  ( F `  u ) )
7876, 77syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  0  <_  ( F `  u ) )
79 elfzolt2 10050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  u )  e.  ( 0..^ N )  ->  ( F `  u )  <  N
)
8076, 79syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  u )  <  N
)
81 modqid 10243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  u )  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( 0  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  u )  <  N
) )  ->  (
( F `  u
)  mod  N )  =  ( F `  u ) )
8272, 75, 78, 80, 81syl22anc 1221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( ( F `  u )  mod  N )  =  ( F `  u ) )
8327, 35sseldi 3126 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )  ->  ( F `  v )  e.  ZZ )
8483adantrl 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  v )  e.  ZZ )
85 zq 9530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  v )  e.  ZZ  ->  ( F `  v )  e.  QQ )
8684, 85syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  v )  e.  QQ )
8723, 35sseldi 3126 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )  ->  ( F `  v )  e.  ( 0..^ N ) )
88 elfzole1 10049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  v )  e.  ( 0..^ N )  ->  0  <_  ( F `  v ) )
8987, 88syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )  ->  0  <_  ( F `  v ) )
9089adantrl 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  0  <_  ( F `  v ) )
9187adantrl 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  v )  e.  ( 0..^ N ) )
92 elfzolt2 10050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  v )  e.  ( 0..^ N )  ->  ( F `  v )  <  N
)
9391, 92syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( F `  v )  <  N
)
94 modqid 10243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  v )  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( 0  <_ 
( F `  v
)  /\  ( F `  v )  <  N
) )  ->  (
( F `  v
)  mod  N )  =  ( F `  v ) )
9586, 75, 90, 93, 94syl22anc 1221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( ( F `  v )  mod  N )  =  ( F `  v ) )
9682, 95eqeq12d 2172 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( (
( F `  u
)  mod  N )  =  ( ( F `
 v )  mod 
N )  <->  ( F `  u )  =  ( F `  v ) ) )
97 moddvds 11690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( F `  u )  e.  ZZ  /\  ( F `  v )  e.  ZZ )  ->  (
( ( F `  u )  mod  N
)  =  ( ( F `  v )  mod  N )  <->  N  ||  (
( F `  u
)  -  ( F `
 v ) ) ) )
9819, 33, 37, 97syl3anc 1220 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( (
( F `  u
)  mod  N )  =  ( ( F `
 v )  mod 
N )  <->  N  ||  (
( F `  u
)  -  ( F `
 v ) ) ) )
99 f1of1 5412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : ( 1 ... ( phi `  N
) ) -1-1-onto-> S  ->  F :
( 1 ... ( phi `  N ) )
-1-1-> S )
1001, 99syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-> S
)
101 f1fveq 5719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-> S  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( ( F `  u )  =  ( F `  v )  <->  u  =  v ) )
102100, 101sylan 281 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( ( F `  u )  =  ( F `  v )  <->  u  =  v ) )
10396, 98, 1023bitr3d 217 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( N  ||  ( ( F `  u )  -  ( F `  v )
)  <->  u  =  v
) )
10470, 103sylibd 148 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( ( N  ||  ( A  x.  ( ( F `  u )  -  ( F `  v )
) )  /\  ( N  gcd  A )  =  1 )  ->  u  =  v ) )
10566, 104mpan2d 425 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( N  ||  ( A  x.  (
( F `  u
)  -  ( F `
 v ) ) )  ->  u  =  v ) )
10661, 105sylbid 149 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )  ->  ( (
( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) `  u )  =  ( ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) )  |->  ( ( A  x.  ( F `
 y ) )  mod  N ) ) `
 v )  ->  u  =  v )
)
107106ralrimivva 2539 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) A. v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ( ( ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) 
|->  ( ( A  x.  ( F `  y ) )  mod  N ) ) `  u )  =  ( ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) )  |->  ( ( A  x.  ( F `
 y ) )  mod  N ) ) `
 v )  ->  u  =  v )
)
108 dff13 5715 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-> S  <->  ( ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S  /\  A. u  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) A. v  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ( ( ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) 
|->  ( ( A  x.  ( F `  y ) )  mod  N ) ) `  u )  =  ( ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) )  |->  ( ( A  x.  ( F `
 y ) )  mod  N ) ) `
 v )  ->  u  =  v )
) )
10917, 107, 108sylanbrc 414 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-> S
)
110 1zzd 9189 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
11118phicld 12085 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  e.  NN )
112111nnzd 9280 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  e.  ZZ )
113110, 112fzfigd 10325 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( phi `  N ) )  e.  Fin )
114 f1oeng 6699 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... ( phi `  N ) )  e.  Fin  /\  F : ( 1 ... ( phi `  N
) ) -1-1-onto-> S )  ->  (
1 ... ( phi `  N ) )  ~~  S )
115113, 1, 114syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( phi `  N ) ) 
~~  S )
1164, 5eulerthlemfi 12095 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
117 f1finf1o 6888 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... ( phi `  N ) ) 
~~  S  /\  S  e.  Fin )  ->  (
( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-> S  <->  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> S ) )
118115, 116, 117syl2anc 409 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) 
|->  ( ( A  x.  ( F `  y ) )  mod  N ) ) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-> S  <->  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> S ) )
119109, 118mpbid 146 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> S )
120 f1oco 5436 . . 3  |-  ( ( `' F : S -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi `  N ) )  /\  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> S )  ->  ( `' F  o.  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) ) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
1213, 119, 120syl2anc 409 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F  o.  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) ) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
122 eulerth.h . . 3  |-  H  =  ( `' F  o.  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) )
123 f1oeq1 5402 . . 3  |-  ( H  =  ( `' F  o.  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) )  ->  ( H : ( 1 ... ( phi `  N
) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi `  N ) )  <-> 
( `' F  o.  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) ) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi `  N ) ) ) )
124122, 123ax-mp 5 . 2  |-  ( H : ( 1 ... ( phi `  N
) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi `  N ) )  <-> 
( `' F  o.  ( y  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  |->  ( ( A  x.  ( F `  y )
)  mod  N )
) ) : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
125121, 124sylibr 133 1  |-  ( ph  ->  H : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963    = wceq 1335    e. wcel 2128   A.wral 2435   {crab 2439   class class class wbr 3965    |-> cmpt 4025   `'ccnv 4584    o. ccom 4589   -->wf 5165   -1-1->wf1 5166   -1-1-onto->wf1o 5168   ` cfv 5169  (class class class)co 5821    ~~ cen 6680   Fincfn 6682   0cc0 7727   1c1 7728    x. cmul 7732    < clt 7907    <_ cle 7908    - cmin 8041   NNcn 8828   NN0cn0 9085   ZZcz 9162   QQcq 9523   ...cfz 9907  ..^cfzo 10036    mod cmo 10216    || cdvds 11678    gcd cgcd 11823   phicphi 12077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7818  ax-resscn 7819  ax-1cn 7820  ax-1re 7821  ax-icn 7822  ax-addcl 7823  ax-addrcl 7824  ax-mulcl 7825  ax-mulrcl 7826  ax-addcom 7827  ax-mulcom 7828  ax-addass 7829  ax-mulass 7830  ax-distr 7831  ax-i2m1 7832  ax-0lt1 7833  ax-1rid 7834  ax-0id 7835  ax-rnegex 7836  ax-precex 7837  ax-cnre 7838  ax-pre-ltirr 7839  ax-pre-ltwlin 7840  ax-pre-lttrn 7841  ax-pre-apti 7842  ax-pre-ltadd 7843  ax-pre-mulgt0 7844  ax-pre-mulext 7845  ax-arch 7846  ax-caucvg 7847
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-frec 6335  df-1o 6360  df-er 6477  df-en 6683  df-dom 6684  df-fin 6685  df-sup 6925  df-pnf 7909  df-mnf 7910  df-xr 7911  df-ltxr 7912  df-le 7913  df-sub 8043  df-neg 8044  df-reap 8445  df-ap 8452  df-div 8541  df-inn 8829  df-2 8887  df-3 8888  df-4 8889  df-n0 9086  df-z 9163  df-uz 9435  df-q 9524  df-rp 9556  df-fz 9908  df-fzo 10037  df-fl 10164  df-mod 10217  df-seqfrec 10340  df-exp 10414  df-ihash 10645  df-cj 10737  df-re 10738  df-im 10739  df-rsqrt 10893  df-abs 10894  df-dvds 11679  df-gcd 11824  df-phi 12078
This theorem is referenced by:  eulerthlemth  12099
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