Theorem eulerthlemh 12774

Description: Lemma for eulerth 12776. A permutation of ( 1 ... ( phi ` N ) ). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerth.1	|- ( ph -> ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) )
eulerth.2	|- S = { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 }
eulerth.4	|- ( ph -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S )
eulerth.h	|- H = ( `' F o. ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) )

Assertion

Ref	Expression
eulerthlemh	|- ( ph -> H : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, F   y, N   ph, y

Allowed substitution hints:   S( y)   H( y)

Proof of Theorem eulerthlemh

Dummy variables a b u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.4	. . . 4 |- ( ph -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S )
2		f1ocnv 5590	. . . 4 |- ( F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S -> `' F : S -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> `' F : S -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
4		eulerth.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) )
5		eulerth.2	. . . . . . 7 |- S = { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 }
6		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( 1 ... ( phi ` N ) ) = ( 1 ... ( phi ` N ) )
7		fveq2 5632	. . . . . . . . . 10 |- ( a = b -> ( F ` a ) = ( F ` b ) )
8	7	oveq2d 6026	. . . . . . . . 9 |- ( a = b -> ( A x. ( F ` a ) ) = ( A x. ( F ` b ) ) )
9	8	oveq1d 6025	. . . . . . . 8 |- ( a = b -> ( ( A x. ( F ` a ) ) mod N ) = ( ( A x. ( F ` b ) ) mod N ) )
10	9	cbvmptv 4180	. . . . . . 7 |- ( a e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` a ) ) mod N ) ) = ( b e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` b ) ) mod N ) )
11	4, 5, 6, 1, 10	eulerthlem1 12770	. . . . . 6 |- ( ph -> ( a e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` a ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
12		fveq2 5632	. . . . . . . . . 10 |- ( a = y -> ( F ` a ) = ( F ` y ) )
13	12	oveq2d 6026	. . . . . . . . 9 |- ( a = y -> ( A x. ( F ` a ) ) = ( A x. ( F ` y ) ) )
14	13	oveq1d 6025	. . . . . . . 8 |- ( a = y -> ( ( A x. ( F ` a ) ) mod N ) = ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) )
15	14	cbvmptv 4180	. . . . . . 7 |- ( a e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` a ) ) mod N ) ) = ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) )
16	15	feq1i 5469	. . . . . 6 |- ( ( a e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` a ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S <-> ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
17	11, 16	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
18	4	simp1d 1033	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. NN )
19	18	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> N e. NN )
20	4	simp2d 1034	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. ZZ )
21	20	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> A e. ZZ )
22		ssrab2 3309	. . . . . . . . . . . . 13 |- { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 } C_ ( 0..^ N )
23	5, 22	eqsstri 3256	. . . . . . . . . . . 12 |- S C_ ( 0..^ N )
24		fzo0ssnn0 10438	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0..^ N ) C_ NN0
25		nn0ssz 9480	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN0 C_ ZZ
26	24, 25	sstri 3233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0..^ N ) C_ ZZ
27	23, 26	sstri 3233	. . . . . . . . . . 11 |- S C_ ZZ
28		f1of 5577	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
29	1, 28	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
30	29	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
31		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
32	30, 31	ffvelcdmd 5776	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` u ) e. S )
33	27, 32	sselid 3222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` u ) e. ZZ )
34	21, 33	zmulcld 9591	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( A x. ( F ` u ) ) e. ZZ )
35	29	ffvelcdmda 5775	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) -> ( F ` v ) e. S )
36	35	adantrl 478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` v ) e. S )
37	27, 36	sselid 3222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` v ) e. ZZ )
38	21, 37	zmulcld 9591	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( A x. ( F ` v ) ) e. ZZ )
39		moddvds 12331	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( A x. ( F ` u ) ) e. ZZ /\ ( A x. ( F ` v ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( A x. ( F ` u ) ) mod N ) = ( ( A x. ( F ` v ) ) mod N ) <-> N || ( ( A x. ( F ` u ) ) - ( A x. ( F ` v ) ) ) ) )
40	19, 34, 38, 39	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( ( A x. ( F ` u ) ) mod N ) = ( ( A x. ( F ` v ) ) mod N ) <-> N || ( ( A x. ( F ` u ) ) - ( A x. ( F ` v ) ) ) ) )
41		eqid 2229	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) = ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) )
42		fveq2 5632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = u -> ( F ` y ) = ( F ` u ) )
43	42	oveq2d 6026	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = u -> ( A x. ( F ` y ) ) = ( A x. ( F ` u ) ) )
44	43	oveq1d 6025	. . . . . . . . . 10 |- ( y = u -> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) = ( ( A x. ( F ` u ) ) mod N ) )
45		zmodfzo 10586	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A x. ( F ` u ) ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A x. ( F ` u ) ) mod N ) e. ( 0..^ N ) )
46	34, 19, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( A x. ( F ` u ) ) mod N ) e. ( 0..^ N ) )
47	41, 44, 31, 46	fvmptd3 5733	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` u ) = ( ( A x. ( F ` u ) ) mod N ) )
48		fveq2 5632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = v -> ( F ` y ) = ( F ` v ) )
49	48	oveq2d 6026	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = v -> ( A x. ( F ` y ) ) = ( A x. ( F ` v ) ) )
50	49	oveq1d 6025	. . . . . . . . . 10 |- ( y = v -> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) = ( ( A x. ( F ` v ) ) mod N ) )
51		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
52		zmodfzo 10586	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A x. ( F ` v ) ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A x. ( F ` v ) ) mod N ) e. ( 0..^ N ) )
53	38, 19, 52	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( A x. ( F ` v ) ) mod N ) e. ( 0..^ N ) )
54	41, 50, 51, 53	fvmptd3 5733	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` v ) = ( ( A x. ( F ` v ) ) mod N ) )
55	47, 54	eqeq12d 2244	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` u ) = ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` v ) <-> ( ( A x. ( F ` u ) ) mod N ) = ( ( A x. ( F ` v ) ) mod N ) ) )
56	21	zcnd 9586	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> A e. CC )
57	33	zcnd 9586	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` u ) e. CC )
58	37	zcnd 9586	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` v ) e. CC )
59	56, 57, 58	subdid 8576	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( A x. ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) ) = ( ( A x. ( F ` u ) ) - ( A x. ( F ` v ) ) ) )
60	59	breq2d 4095	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( N || ( A x. ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) ) <-> N || ( ( A x. ( F ` u ) ) - ( A x. ( F ` v ) ) ) ) )
61	40, 55, 60	3bitr4d 220	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` u ) = ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` v ) <-> N || ( A x. ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) ) ) )
62	18	nnzd 9584	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ZZ )
63	62, 20	gcdcomd 12516	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N gcd A ) = ( A gcd N ) )
64	4	simp3d 1035	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A gcd N ) = 1 )
65	63, 64	eqtrd 2262	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N gcd A ) = 1 )
66	65	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( N gcd A ) = 1 )
67	62	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> N e. ZZ )
68	33, 37	zsubcld 9590	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) e. ZZ )
69		coprmdvds 12635	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ A e. ZZ /\ ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) e. ZZ ) -> ( ( N || ( A x. ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) ) /\ ( N gcd A ) = 1 ) -> N || ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) ) )
70	67, 21, 68, 69	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( N || ( A x. ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) ) /\ ( N gcd A ) = 1 ) -> N || ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) ) )
71		zq 9838	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` u ) e. ZZ -> ( F ` u ) e. QQ )
72	33, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` u ) e. QQ )
73		zq 9838	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
74	62, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. QQ )
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> N e. QQ )
76	23, 32	sselid 3222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` u ) e. ( 0..^ N ) )
77		elfzole1 10369	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` u ) e. ( 0..^ N ) -> 0 <_ ( F ` u ) )
78	76, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> 0 <_ ( F ` u ) )
79		elfzolt2 10370	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` u ) e. ( 0..^ N ) -> ( F ` u ) < N )
80	76, 79	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` u ) < N )
81		modqid 10588	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F ` u ) e. QQ /\ N e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( F ` u ) /\ ( F ` u ) < N ) ) -> ( ( F ` u ) mod N ) = ( F ` u ) )
82	72, 75, 78, 80, 81	syl22anc 1272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( F ` u ) mod N ) = ( F ` u ) )
83	27, 35	sselid 3222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) -> ( F ` v ) e. ZZ )
84	83	adantrl 478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` v ) e. ZZ )
85		zq 9838	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` v ) e. ZZ -> ( F ` v ) e. QQ )
86	84, 85	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` v ) e. QQ )
87	23, 35	sselid 3222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) -> ( F ` v ) e. ( 0..^ N ) )
88		elfzole1 10369	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` v ) e. ( 0..^ N ) -> 0 <_ ( F ` v ) )
89	87, 88	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) -> 0 <_ ( F ` v ) )
90	89	adantrl 478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> 0 <_ ( F ` v ) )
91	87	adantrl 478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` v ) e. ( 0..^ N ) )
92		elfzolt2 10370	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` v ) e. ( 0..^ N ) -> ( F ` v ) < N )
93	91, 92	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( F ` v ) < N )
94		modqid 10588	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F ` v ) e. QQ /\ N e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( F ` v ) /\ ( F ` v ) < N ) ) -> ( ( F ` v ) mod N ) = ( F ` v ) )
95	86, 75, 90, 93, 94	syl22anc 1272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( F ` v ) mod N ) = ( F ` v ) )
96	82, 95	eqeq12d 2244	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( ( F ` u ) mod N ) = ( ( F ` v ) mod N ) <-> ( F ` u ) = ( F ` v ) ) )
97		moddvds 12331	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( F ` u ) e. ZZ /\ ( F ` v ) e. ZZ ) -> ( ( ( F ` u ) mod N ) = ( ( F ` v ) mod N ) <-> N || ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) ) )
98	19, 33, 37, 97	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( ( F ` u ) mod N ) = ( ( F ` v ) mod N ) <-> N || ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) ) )
99		f1of1 5576	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-> S )
100	1, 99	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-> S )
101		f1fveq 5905	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-> S /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> u = v ) )
102	100, 101	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> u = v ) )
103	96, 98, 102	3bitr3d 218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( N || ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) <-> u = v ) )
104	70, 103	sylibd 149	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( N || ( A x. ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) ) /\ ( N gcd A ) = 1 ) -> u = v ) )
105	66, 104	mpan2d 428	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( N || ( A x. ( ( F ` u ) - ( F ` v ) ) ) -> u = v ) )
106	61, 105	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) ) -> ( ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` u ) = ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` v ) -> u = v ) )
107	106	ralrimivva 2612	. . . . 5 |- ( ph -> A. u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) A. v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` u ) = ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` v ) -> u = v ) )
108		dff13 5901	. . . . 5 |- ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-> S <-> ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S /\ A. u e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) A. v e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` u ) = ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ` v ) -> u = v ) ) )
109	17, 107, 108	sylanbrc 417	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-> S )
110		1zzd 9489	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
111	18	phicld 12761	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( phi ` N ) e. NN )
112	111	nnzd 9584	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( phi ` N ) e. ZZ )
113	110, 112	fzfigd 10670	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 ... ( phi ` N ) ) e. Fin )
114		f1oeng 6921	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 ... ( phi ` N ) ) e. Fin /\ F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S ) -> ( 1 ... ( phi ` N ) ) ~~ S )
115	113, 1, 114	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... ( phi ` N ) ) ~~ S )
116	4, 5	eulerthlemfi 12771	. . . . 5 |- ( ph -> S e. Fin )
117		f1finf1o 7130	. . . . 5 |- ( ( ( 1 ... ( phi ` N ) ) ~~ S /\ S e. Fin ) -> ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-> S <-> ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S ) )
118	115, 116, 117	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-> S <-> ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S ) )
119	109, 118	mpbid 147	. . 3 |- ( ph -> ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S )
120		f1oco 5600	. . 3 |- ( ( `' F : S -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) /\ ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S ) -> ( `' F o. ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
121	3, 119, 120	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( `' F o. ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
122		eulerth.h	. . 3 |- H = ( `' F o. ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) )
123		f1oeq1 5565	. . 3 |- ( H = ( `' F o. ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ) -> ( H : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) <-> ( `' F o. ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) )
124	122, 123	ax-mp 5	. 2 |- ( H : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) <-> ( `' F o. ( y e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) |-> ( ( A x. ( F ` y ) ) mod N ) ) ) : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
125	121, 124	sylibr 134	1 |- ( ph -> H : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   {crab 2512   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   `'ccnv 4719   o. ccom 4724   -->wf 5317   -1-1->wf1 5318   -1-1-onto->wf1o 5320   ` cfv 5321  (class class class)co 6010   ~~ cen 6898   Fincfn 6900   0cc0 8015   1c1 8016   x. cmul 8020   < clt 8197   <_ cle 8198   - cmin 8333   NNcn 9126   NN0cn0 9385   ZZcz 9462   QQcq 9831   ...cfz 10221  ..^cfzo 10355   mod cmo 10561   || cdvds 12319   gcd cgcd 12495   phicphi 12752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-1o 6573  df-er 6693  df-en 6901  df-dom 6902  df-fin 6903  df-sup 7167  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-fl 10507  df-mod 10562  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-ihash 11015  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531  df-dvds 12320  df-gcd 12496  df-phi 12754

This theorem is referenced by:  eulerthlemth  12775