Theorem fnn0nninf 10829

Description: A function from NN0 into ℕ_∞. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
fxnn0nninf.f	|- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fnn0nninf	|- ( F o. `' G ) : NN0 -->ℕ∞

Distinct variable group:   i, n

Allowed substitution hints:   F( x, i, n)   G( x, i, n)

Proof of Theorem fnn0nninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.f	. . 3 |- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
2		nnnninf 7432	. . 3 |- ( n e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
3	1, 2	fmpti 5836	. 2 |- F : om -->ℕ∞
4		fxnn0nninf.g	. . . 4 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
5	4	frechashgf1o 10819	. . 3 |- G : om -1-1-onto-> NN0
6		f1ocnv 5634	. . 3 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> `' G : NN0 -1-1-onto-> om )
7		f1of 5621	. . 3 |- ( `' G : NN0 -1-1-onto-> om -> `' G : NN0 --> om )
8	5, 6, 7	mp2b 8	. 2 |- `' G : NN0 --> om
9		fco 5534	. 2 |- ( ( F : om -->ℕ∞ /\ `' G : NN0 --> om ) -> ( F o. `' G ) : NN0 -->ℕ∞ )
10	3, 8, 9	mp2an 426	1 |- ( F o. `' G ) : NN0 -->ℕ∞

Syntax hints:   = wceq 1398   (/)c0 3512   ifcif 3625   |-> cmpt 4177   omcom 4719   `'ccnv 4755   o. ccom 4760   -->wf 5355   -1-1-onto->wf1o 5358  (class class class)co 6060  freccfrec 6636   1oc1o 6655  ℕ_∞xnninf 7425   0cc0 8145   1c1 8146   + caddc 8148   NN0cn0 9518   ZZcz 9599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-iinf 4717  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-addcom 8245  ax-addass 8247  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-ltadd 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4720  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-f1 5364  df-fo 5365  df-f1o 5366  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-recs 6551  df-frec 6637  df-1o 6662  df-2o 6663  df-map 6899  df-nninf 7426  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-inn 9260  df-n0 9519  df-z 9600  df-uz 9877

This theorem is referenced by:  fxnn0nninf  10830  inftonninf  10833