Theorem fnn0nninf 10241

Description: A function from NN0 into ℕ_∞. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
fxnn0nninf.f	|- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fnn0nninf	|- ( F o. `' G ) : NN0 -->ℕ∞

Distinct variable group:   i, n

Allowed substitution hints:   F( x, i, n)   G( x, i, n)

Proof of Theorem fnn0nninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.f	. . 3 |- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
2		nnnninf 7031	. . 3 |- ( n e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
3	1, 2	fmpti 5580	. 2 |- F : om -->ℕ∞
4		fxnn0nninf.g	. . . 4 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
5	4	frechashgf1o 10232	. . 3 |- G : om -1-1-onto-> NN0
6		f1ocnv 5388	. . 3 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> `' G : NN0 -1-1-onto-> om )
7		f1of 5375	. . 3 |- ( `' G : NN0 -1-1-onto-> om -> `' G : NN0 --> om )
8	5, 6, 7	mp2b 8	. 2 |- `' G : NN0 --> om
9		fco 5296	. 2 |- ( ( F : om -->ℕ∞ /\ `' G : NN0 --> om ) -> ( F o. `' G ) : NN0 -->ℕ∞ )
10	3, 8, 9	mp2an 423	1 |- ( F o. `' G ) : NN0 -->ℕ∞

Syntax hints:   = wceq 1332   (/)c0 3368   ifcif 3479   |-> cmpt 3997   omcom 4512   `'ccnv 4546   o. ccom 4551   -->wf 5127   -1-1-onto->wf1o 5130  (class class class)co 5782  freccfrec 6295   1oc1o 6314  ℕ_∞xnninf 7013   0cc0 7644   1c1 7645   + caddc 7647   NN0cn0 9001   ZZcz 9078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-recs 6210  df-frec 6296  df-1o 6321  df-2o 6322  df-map 6552  df-nninf 7015  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351

This theorem is referenced by:  fxnn0nninf  10242  inftonninf  10245