Theorem fnn0nninf 10372

Description: A function from NN0 into ℕ_∞. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
fxnn0nninf.f	|- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fnn0nninf	|- ( F o. `' G ) : NN0 -->ℕ∞

Distinct variable group:   i, n

Allowed substitution hints:   F( x, i, n)   G( x, i, n)

Proof of Theorem fnn0nninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.f	. . 3 |- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
2		nnnninf 7090	. . 3 |- ( n e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
3	1, 2	fmpti 5637	. 2 |- F : om -->ℕ∞
4		fxnn0nninf.g	. . . 4 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
5	4	frechashgf1o 10363	. . 3 |- G : om -1-1-onto-> NN0
6		f1ocnv 5445	. . 3 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> `' G : NN0 -1-1-onto-> om )
7		f1of 5432	. . 3 |- ( `' G : NN0 -1-1-onto-> om -> `' G : NN0 --> om )
8	5, 6, 7	mp2b 8	. 2 |- `' G : NN0 --> om
9		fco 5353	. 2 |- ( ( F : om -->ℕ∞ /\ `' G : NN0 --> om ) -> ( F o. `' G ) : NN0 -->ℕ∞ )
10	3, 8, 9	mp2an 423	1 |- ( F o. `' G ) : NN0 -->ℕ∞

Syntax hints:   = wceq 1343   (/)c0 3409   ifcif 3520   |-> cmpt 4043   omcom 4567   `'ccnv 4603   o. ccom 4608   -->wf 5184   -1-1-onto->wf1o 5187  (class class class)co 5842  freccfrec 6358   1oc1o 6377  ℕ_∞xnninf 7084   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   NN0cn0 9114   ZZcz 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-recs 6273  df-frec 6359  df-1o 6384  df-2o 6385  df-map 6616  df-nninf 7085  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467

This theorem is referenced by:  fxnn0nninf  10373  inftonninf  10376