ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnn0nninf Unicode version

Theorem fnn0nninf 10222
Description: A function from  NN0 into ℕ. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fxnn0nninf.g  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
fxnn0nninf.f  |-  F  =  ( n  e.  om  |->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )
Assertion
Ref Expression
fnn0nninf  |-  ( F  o.  `' G ) : NN0 -->
Distinct variable group:    i, n
Allowed substitution hints:    F( x, i, n)    G( x, i, n)

Proof of Theorem fnn0nninf
StepHypRef Expression
1 fxnn0nninf.f . . 3  |-  F  =  ( n  e.  om  |->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )
2 nnnninf 7023 . . 3  |-  ( n  e.  om  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) )  e.
)
31, 2fmpti 5572 . 2  |-  F : om
-->
4 fxnn0nninf.g . . . 4  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
54frechashgf1o 10213 . . 3  |-  G : om
-1-1-onto-> NN0
6 f1ocnv 5380 . . 3  |-  ( G : om -1-1-onto-> NN0  ->  `' G : NN0
-1-1-onto-> om )
7 f1of 5367 . . 3  |-  ( `' G : NN0 -1-1-onto-> om  ->  `' G : NN0 --> om )
85, 6, 7mp2b 8 . 2  |-  `' G : NN0 --> om
9 fco 5288 . 2  |-  ( ( F : om -->  /\  `' G : NN0 --> om )  ->  ( F  o.  `' G ) : NN0 --> )
103, 8, 9mp2an 422 1  |-  ( F  o.  `' G ) : NN0 -->
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1331   (/)c0 3363   ifcif 3474    |-> cmpt 3989   omcom 4504   `'ccnv 4538    o. ccom 4543   -->wf 5119   -1-1-onto->wf1o 5122  (class class class)co 5774  freccfrec 6287   1oc1o 6306  ℕxnninf 7005   0cc0 7632   1c1 7633    + caddc 7635   NN0cn0 8989   ZZcz 9066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-2o 6314  df-map 6544  df-nninf 7007  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339
This theorem is referenced by:  fxnn0nninf  10223  inftonninf  10226
  Copyright terms: Public domain W3C validator