Theorem fnn0nninf 10699

Description: A function from NN0 into ℕ_∞. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
fxnn0nninf.f	|- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fnn0nninf	|- ( F o. `' G ) : NN0 -->ℕ∞

Distinct variable group:   i, n

Allowed substitution hints:   F( x, i, n)   G( x, i, n)

Proof of Theorem fnn0nninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.f	. . 3 |- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
2		nnnninf 7324	. . 3 |- ( n e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
3	1, 2	fmpti 5799	. 2 |- F : om -->ℕ∞
4		fxnn0nninf.g	. . . 4 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
5	4	frechashgf1o 10689	. . 3 |- G : om -1-1-onto-> NN0
6		f1ocnv 5596	. . 3 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> `' G : NN0 -1-1-onto-> om )
7		f1of 5583	. . 3 |- ( `' G : NN0 -1-1-onto-> om -> `' G : NN0 --> om )
8	5, 6, 7	mp2b 8	. 2 |- `' G : NN0 --> om
9		fco 5500	. 2 |- ( ( F : om -->ℕ∞ /\ `' G : NN0 --> om ) -> ( F o. `' G ) : NN0 -->ℕ∞ )
10	3, 8, 9	mp2an 426	1 |- ( F o. `' G ) : NN0 -->ℕ∞

Syntax hints:   = wceq 1397   (/)c0 3494   ifcif 3605   |-> cmpt 4150   omcom 4688   `'ccnv 4724   o. ccom 4729   -->wf 5322   -1-1-onto->wf1o 5325  (class class class)co 6017  freccfrec 6555   1oc1o 6574  ℕ_∞xnninf 7317   0cc0 8031   1c1 8032   + caddc 8034   NN0cn0 9401   ZZcz 9478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-2o 6582  df-map 6818  df-nninf 7318  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755

This theorem is referenced by:  fxnn0nninf  10700  inftonninf  10703