Theorem divcnap 15152

Description: Complex number division is a continuous function, when the second argument is apart from zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcncntop.j	|- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
divcnap.k	|- K = ( J ↾t { x e. CC | x # 0 } )

Assertion

Ref	Expression
divcnap	|- ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( y / z ) ) e. ( ( J tX K ) Cn J )

Distinct variable groups:   x, y, z, J   x, K, y, z

Proof of Theorem divcnap

Dummy variables a b u w q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4062	. . . . 5 |- ( x = z -> ( x # 0 <-> z # 0 ) )
2	1	elrab 2936	. . . 4 |- ( z e. { x e. CC | x # 0 } <-> ( z e. CC /\ z # 0 ) )
3		divrecap 8796	. . . . 5 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC /\ z # 0 ) -> ( y / z ) = ( y x. ( 1 / z ) ) )
4	3	3expb 1207	. . . 4 |- ( ( y e. CC /\ ( z e. CC /\ z # 0 ) ) -> ( y / z ) = ( y x. ( 1 / z ) ) )
5	2, 4	sylan2b 287	. . 3 |- ( ( y e. CC /\ z e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( y / z ) = ( y x. ( 1 / z ) ) )
6	5	mpoeq3ia 6033	. 2 |- ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( y / z ) ) = ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( y x. ( 1 / z ) ) )
7		addcncntop.j	. . . . . 6 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
8	7	cntoptopon 15119	. . . . 5 |- J e. (TopOn ` CC )
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> J e. (TopOn ` CC ) )
10		divcnap.k	. . . . 5 |- K = ( J ↾t { x e. CC | x # 0 } )
11		ssrab2 3286	. . . . . 6 |- { x e. CC | x # 0 } C_ CC
12		resttopon 14758	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ { x e. CC | x # 0 } C_ CC ) -> ( J ↾t { x e. CC | x # 0 } ) e. (TopOn ` { x e. CC | x # 0 } ) )
13	9, 11, 12	sylancl 413	. . . . 5 |- ( T. -> ( J ↾t { x e. CC | x # 0 } ) e. (TopOn ` { x e. CC | x # 0 } ) )
14	10, 13	eqeltrid 2294	. . . 4 |- ( T. -> K e. (TopOn ` { x e. CC | x # 0 } ) )
15	9, 14	cnmpt1st 14875	. . . 4 |- ( T. -> ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> y ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
16	9, 14	cnmpt2nd 14876	. . . . 5 |- ( T. -> ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> z ) e. ( ( J tX K ) Cn K ) )
17		eqid 2207	. . . . . . . 8 |- ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) = ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) )
18		breq1 4062	. . . . . . . . . 10 |- ( x = q -> ( x # 0 <-> q # 0 ) )
19	18	elrab 2936	. . . . . . . . 9 |- ( q e. { x e. CC | x # 0 } <-> ( q e. CC /\ q # 0 ) )
20		recclap 8787	. . . . . . . . 9 |- ( ( q e. CC /\ q # 0 ) -> ( 1 / q ) e. CC )
21	19, 20	sylbi 121	. . . . . . . 8 |- ( q e. { x e. CC | x # 0 } -> ( 1 / q ) e. CC )
22	17, 21	fmpti 5755	. . . . . . 7 |- ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) : { x e. CC | x # 0 } --> CC
23		breq1 4062	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = a -> ( x # 0 <-> a # 0 ) )
24	23	elrab 2936	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } <-> ( a e. CC /\ a # 0 ) )
25		eqid 2207	. . . . . . . . . . . 12 |- (inf ( { 1 , ( ( abs ` a ) x. b ) } , RR , < ) x. ( ( abs ` a ) / 2 ) ) = (inf ( { 1 , ( ( abs ` a ) x. b ) } , RR , < ) x. ( ( abs ` a ) / 2 ) )
26	25	reccn2ap 11739	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. CC /\ a # 0 /\ b e. RR+ ) -> E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) )
27	26	3expa 1206	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. CC /\ a # 0 ) /\ b e. RR+ ) -> E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) )
28	24, 27	sylanb 284	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ b e. RR+ ) -> E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) )
29		ovres 6109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) = ( a ( abs o. - ) w ) )
30		elrabi 2933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } -> a e. CC )
31		elrabi 2933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. { x e. CC | x # 0 } -> w e. CC )
32		eqid 2207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
33	32	cnmetdval 15116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. CC /\ w e. CC ) -> ( a ( abs o. - ) w ) = ( abs ` ( a - w ) ) )
34		abssub 11527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. CC /\ w e. CC ) -> ( abs ` ( a - w ) ) = ( abs ` ( w - a ) ) )
35	33, 34	eqtrd 2240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. CC /\ w e. CC ) -> ( a ( abs o. - ) w ) = ( abs ` ( w - a ) ) )
36	30, 31, 35	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( a ( abs o. - ) w ) = ( abs ` ( w - a ) ) )
37	29, 36	eqtrd 2240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) = ( abs ` ( w - a ) ) )
38	37	breq1d 4069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u <-> ( abs ` ( w - a ) ) < u ) )
39	24	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } -> a # 0 )
40	30, 39	recclapd 8889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } -> ( 1 / a ) e. CC )
41		oveq2 5975	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q = a -> ( 1 / q ) = ( 1 / a ) )
42	41, 17	fvmptg 5678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ ( 1 / a ) e. CC ) -> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) = ( 1 / a ) )
43	40, 42	mpdan 421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } -> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) = ( 1 / a ) )
44		breq1 4062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = w -> ( x # 0 <-> w # 0 ) )
45	44	elrab 2936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. { x e. CC | x # 0 } <-> ( w e. CC /\ w # 0 ) )
46	45	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. { x e. CC | x # 0 } -> w # 0 )
47	31, 46	recclapd 8889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. { x e. CC | x # 0 } -> ( 1 / w ) e. CC )
48		oveq2 5975	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q = w -> ( 1 / q ) = ( 1 / w ) )
49	48, 17	fvmptg 5678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( w e. { x e. CC | x # 0 } /\ ( 1 / w ) e. CC ) -> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) = ( 1 / w ) )
50	47, 49	mpdan 421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. { x e. CC | x # 0 } -> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) = ( 1 / w ) )
51	43, 50	oveqan12d 5986	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) = ( ( 1 / a ) ( abs o. - ) ( 1 / w ) ) )
52	32	cnmetdval 15116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1 / a ) e. CC /\ ( 1 / w ) e. CC ) -> ( ( 1 / a ) ( abs o. - ) ( 1 / w ) ) = ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / w ) ) ) )
53		abssub 11527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1 / a ) e. CC /\ ( 1 / w ) e. CC ) -> ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / w ) ) ) = ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) )
54	52, 53	eqtrd 2240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 1 / a ) e. CC /\ ( 1 / w ) e. CC ) -> ( ( 1 / a ) ( abs o. - ) ( 1 / w ) ) = ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) )
55	40, 47, 54	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( ( 1 / a ) ( abs o. - ) ( 1 / w ) ) = ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) )
56	51, 55	eqtrd 2240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) = ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) )
57	56	breq1d 4069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b <-> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) )
58	38, 57	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) <-> ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) ) )
59	58	ralbidva 2504	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } -> ( A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) <-> A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) ) )
60	59	rexbidv 2509	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } -> ( E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) <-> E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) ) )
61	60	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ b e. RR+ ) -> ( E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) <-> E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) ) )
62	28, 61	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ b e. RR+ ) -> E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) )
63	62	rgen2 2594	. . . . . . 7 |- A. a e. { x e. CC | x # 0 } A. b e. RR+ E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b )
64		cnxmet 15118	. . . . . . . . 9 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
65		xmetres2 14966	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ { x e. CC | x # 0 } C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) e. ( *Met ` { x e. CC | x # 0 } ) )
66	64, 11, 65	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) e. ( *Met ` { x e. CC | x # 0 } )
67		eqid 2207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) )
68		eqid 2207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) )
69	67, 7, 68	metrest 15093	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ { x e. CC | x # 0 } C_ CC ) -> ( J ↾t { x e. CC | x # 0 } ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) ) )
70	64, 11, 69	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 |- ( J ↾t { x e. CC | x # 0 } ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) )
71	10, 70	eqtri 2228	. . . . . . . . 9 |- K = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) )
72	71, 7	metcn 15101	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) e. ( *Met ` { x e. CC | x # 0 } ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) ) -> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) e. ( K Cn J ) <-> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) : { x e. CC | x # 0 } --> CC /\ A. a e. { x e. CC | x # 0 } A. b e. RR+ E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) ) ) )
73	66, 64, 72	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) e. ( K Cn J ) <-> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) : { x e. CC | x # 0 } --> CC /\ A. a e. { x e. CC | x # 0 } A. b e. RR+ E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) ) )
74	22, 63, 73	mpbir2an 945	. . . . . 6 |- ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) e. ( K Cn J )
75	74	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) e. ( K Cn J ) )
76		oveq2 5975	. . . . 5 |- ( q = z -> ( 1 / q ) = ( 1 / z ) )
77	9, 14, 16, 14, 75, 76	cnmpt21 14878	. . . 4 |- ( T. -> ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / z ) ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
78	7	mulcncntop 15151	. . . . 5 |- x. e. ( ( J tX J ) Cn J )
79	78	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> x. e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
80	9, 14, 15, 77, 79	cnmpt22f 14882	. . 3 |- ( T. -> ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( y x. ( 1 / z ) ) ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
81	80	mptru 1382	. 2 |- ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( y x. ( 1 / z ) ) ) e. ( ( J tX K ) Cn J )
82	6, 81	eqeltri 2280	1 |- ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( y / z ) ) e. ( ( J tX K ) Cn J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   T. wtru 1374   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   {crab 2490   C_ wss 3174   {cpr 3644   class class class wbr 4059   |-> cmpt 4121   X. cxp 4691   |` cres 4695   o. ccom 4697   -->wf 5286   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   e. cmpo 5969  infcinf 7111   CCcc 7958   RRcr 7959   0cc0 7960   1c1 7961   x. cmul 7965   < clt 8142   - cmin 8278   # cap 8689   / cdiv 8780   2c2 9122   RR+crp 9810   abscabs 11423   ↾_t crest 13186   *Metcxmet 14413   MetOpencmopn 14418  TopOnctopon 14597   Cn ccn 14772   tX ctx 14839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080  ax-mulf 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-map 6760  df-sup 7112  df-inf 7113  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-xneg 9929  df-xadd 9930  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-rest 13188  df-topgen 13207  df-psmet 14420  df-xmet 14421  df-met 14422  df-bl 14423  df-mopn 14424  df-top 14585  df-topon 14598  df-bases 14630  df-cn 14775  df-cnp 14776  df-tx 14840

This theorem is referenced by: (None)