Theorem divcnap 14885

Description: Complex number division is a continuous function, when the second argument is apart from zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcncntop.j	|- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
divcnap.k	|- K = ( J ↾t { x e. CC | x # 0 } )

Assertion

Ref	Expression
divcnap	|- ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( y / z ) ) e. ( ( J tX K ) Cn J )

Distinct variable groups:   x, y, z, J   x, K, y, z

Proof of Theorem divcnap

Dummy variables a b u w q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4037	. . . . 5 |- ( x = z -> ( x # 0 <-> z # 0 ) )
2	1	elrab 2920	. . . 4 |- ( z e. { x e. CC | x # 0 } <-> ( z e. CC /\ z # 0 ) )
3		divrecap 8732	. . . . 5 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC /\ z # 0 ) -> ( y / z ) = ( y x. ( 1 / z ) ) )
4	3	3expb 1206	. . . 4 |- ( ( y e. CC /\ ( z e. CC /\ z # 0 ) ) -> ( y / z ) = ( y x. ( 1 / z ) ) )
5	2, 4	sylan2b 287	. . 3 |- ( ( y e. CC /\ z e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( y / z ) = ( y x. ( 1 / z ) ) )
6	5	mpoeq3ia 5991	. 2 |- ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( y / z ) ) = ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( y x. ( 1 / z ) ) )
7		addcncntop.j	. . . . . 6 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
8	7	cntoptopon 14852	. . . . 5 |- J e. (TopOn ` CC )
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> J e. (TopOn ` CC ) )
10		divcnap.k	. . . . 5 |- K = ( J ↾t { x e. CC | x # 0 } )
11		ssrab2 3269	. . . . . 6 |- { x e. CC | x # 0 } C_ CC
12		resttopon 14491	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ { x e. CC | x # 0 } C_ CC ) -> ( J ↾t { x e. CC | x # 0 } ) e. (TopOn ` { x e. CC | x # 0 } ) )
13	9, 11, 12	sylancl 413	. . . . 5 |- ( T. -> ( J ↾t { x e. CC | x # 0 } ) e. (TopOn ` { x e. CC | x # 0 } ) )
14	10, 13	eqeltrid 2283	. . . 4 |- ( T. -> K e. (TopOn ` { x e. CC | x # 0 } ) )
15	9, 14	cnmpt1st 14608	. . . 4 |- ( T. -> ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> y ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
16	9, 14	cnmpt2nd 14609	. . . . 5 |- ( T. -> ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> z ) e. ( ( J tX K ) Cn K ) )
17		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) = ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) )
18		breq1 4037	. . . . . . . . . 10 |- ( x = q -> ( x # 0 <-> q # 0 ) )
19	18	elrab 2920	. . . . . . . . 9 |- ( q e. { x e. CC | x # 0 } <-> ( q e. CC /\ q # 0 ) )
20		recclap 8723	. . . . . . . . 9 |- ( ( q e. CC /\ q # 0 ) -> ( 1 / q ) e. CC )
21	19, 20	sylbi 121	. . . . . . . 8 |- ( q e. { x e. CC | x # 0 } -> ( 1 / q ) e. CC )
22	17, 21	fmpti 5717	. . . . . . 7 |- ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) : { x e. CC | x # 0 } --> CC
23		breq1 4037	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = a -> ( x # 0 <-> a # 0 ) )
24	23	elrab 2920	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } <-> ( a e. CC /\ a # 0 ) )
25		eqid 2196	. . . . . . . . . . . 12 |- (inf ( { 1 , ( ( abs ` a ) x. b ) } , RR , < ) x. ( ( abs ` a ) / 2 ) ) = (inf ( { 1 , ( ( abs ` a ) x. b ) } , RR , < ) x. ( ( abs ` a ) / 2 ) )
26	25	reccn2ap 11495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. CC /\ a # 0 /\ b e. RR+ ) -> E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) )
27	26	3expa 1205	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. CC /\ a # 0 ) /\ b e. RR+ ) -> E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) )
28	24, 27	sylanb 284	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ b e. RR+ ) -> E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) )
29		ovres 6067	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) = ( a ( abs o. - ) w ) )
30		elrabi 2917	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } -> a e. CC )
31		elrabi 2917	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. { x e. CC | x # 0 } -> w e. CC )
32		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
33	32	cnmetdval 14849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. CC /\ w e. CC ) -> ( a ( abs o. - ) w ) = ( abs ` ( a - w ) ) )
34		abssub 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. CC /\ w e. CC ) -> ( abs ` ( a - w ) ) = ( abs ` ( w - a ) ) )
35	33, 34	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. CC /\ w e. CC ) -> ( a ( abs o. - ) w ) = ( abs ` ( w - a ) ) )
36	30, 31, 35	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( a ( abs o. - ) w ) = ( abs ` ( w - a ) ) )
37	29, 36	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) = ( abs ` ( w - a ) ) )
38	37	breq1d 4044	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u <-> ( abs ` ( w - a ) ) < u ) )
39	24	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } -> a # 0 )
40	30, 39	recclapd 8825	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } -> ( 1 / a ) e. CC )
41		oveq2 5933	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q = a -> ( 1 / q ) = ( 1 / a ) )
42	41, 17	fvmptg 5640	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ ( 1 / a ) e. CC ) -> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) = ( 1 / a ) )
43	40, 42	mpdan 421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } -> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) = ( 1 / a ) )
44		breq1 4037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = w -> ( x # 0 <-> w # 0 ) )
45	44	elrab 2920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. { x e. CC | x # 0 } <-> ( w e. CC /\ w # 0 ) )
46	45	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. { x e. CC | x # 0 } -> w # 0 )
47	31, 46	recclapd 8825	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. { x e. CC | x # 0 } -> ( 1 / w ) e. CC )
48		oveq2 5933	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q = w -> ( 1 / q ) = ( 1 / w ) )
49	48, 17	fvmptg 5640	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( w e. { x e. CC | x # 0 } /\ ( 1 / w ) e. CC ) -> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) = ( 1 / w ) )
50	47, 49	mpdan 421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. { x e. CC | x # 0 } -> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) = ( 1 / w ) )
51	43, 50	oveqan12d 5944	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) = ( ( 1 / a ) ( abs o. - ) ( 1 / w ) ) )
52	32	cnmetdval 14849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1 / a ) e. CC /\ ( 1 / w ) e. CC ) -> ( ( 1 / a ) ( abs o. - ) ( 1 / w ) ) = ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / w ) ) ) )
53		abssub 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1 / a ) e. CC /\ ( 1 / w ) e. CC ) -> ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / w ) ) ) = ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) )
54	52, 53	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 1 / a ) e. CC /\ ( 1 / w ) e. CC ) -> ( ( 1 / a ) ( abs o. - ) ( 1 / w ) ) = ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) )
55	40, 47, 54	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( ( 1 / a ) ( abs o. - ) ( 1 / w ) ) = ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) )
56	51, 55	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) = ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) )
57	56	breq1d 4044	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b <-> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) )
58	38, 57	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) <-> ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) ) )
59	58	ralbidva 2493	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } -> ( A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) <-> A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) ) )
60	59	rexbidv 2498	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } -> ( E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) <-> E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) ) )
61	60	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ b e. RR+ ) -> ( E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) <-> E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) ) )
62	28, 61	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ b e. RR+ ) -> E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) )
63	62	rgen2 2583	. . . . . . 7 |- A. a e. { x e. CC | x # 0 } A. b e. RR+ E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b )
64		cnxmet 14851	. . . . . . . . 9 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
65		xmetres2 14699	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ { x e. CC | x # 0 } C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) e. ( *Met ` { x e. CC | x # 0 } ) )
66	64, 11, 65	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) e. ( *Met ` { x e. CC | x # 0 } )
67		eqid 2196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) )
68		eqid 2196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) )
69	67, 7, 68	metrest 14826	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ { x e. CC | x # 0 } C_ CC ) -> ( J ↾t { x e. CC | x # 0 } ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) ) )
70	64, 11, 69	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 |- ( J ↾t { x e. CC | x # 0 } ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) )
71	10, 70	eqtri 2217	. . . . . . . . 9 |- K = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) )
72	71, 7	metcn 14834	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) e. ( *Met ` { x e. CC | x # 0 } ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) ) -> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) e. ( K Cn J ) <-> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) : { x e. CC | x # 0 } --> CC /\ A. a e. { x e. CC | x # 0 } A. b e. RR+ E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) ) ) )
73	66, 64, 72	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) e. ( K Cn J ) <-> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) : { x e. CC | x # 0 } --> CC /\ A. a e. { x e. CC | x # 0 } A. b e. RR+ E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) ) )
74	22, 63, 73	mpbir2an 944	. . . . . 6 |- ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) e. ( K Cn J )
75	74	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) e. ( K Cn J ) )
76		oveq2 5933	. . . . 5 |- ( q = z -> ( 1 / q ) = ( 1 / z ) )
77	9, 14, 16, 14, 75, 76	cnmpt21 14611	. . . 4 |- ( T. -> ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / z ) ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
78	7	mulcncntop 14884	. . . . 5 |- x. e. ( ( J tX J ) Cn J )
79	78	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> x. e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
80	9, 14, 15, 77, 79	cnmpt22f 14615	. . 3 |- ( T. -> ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( y x. ( 1 / z ) ) ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
81	80	mptru 1373	. 2 |- ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( y x. ( 1 / z ) ) ) e. ( ( J tX K ) Cn J )
82	6, 81	eqeltri 2269	1 |- ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( y / z ) ) e. ( ( J tX K ) Cn J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   T. wtru 1365   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   {crab 2479   C_ wss 3157   {cpr 3624   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   X. cxp 4662   |` cres 4666   o. ccom 4668   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   e. cmpo 5927  infcinf 7058   CCcc 7894   RRcr 7895   0cc0 7896   1c1 7897   x. cmul 7901   < clt 8078   - cmin 8214   # cap 8625   / cdiv 8716   2c2 9058   RR+crp 9745   abscabs 11179   ↾_t crest 12941   *Metcxmet 14168   MetOpencmopn 14173  TopOnctopon 14330   Cn ccn 14505   tX ctx 14572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016  ax-mulf 8019

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-map 6718  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-xneg 9864  df-xadd 9865  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-rest 12943  df-topgen 12962  df-psmet 14175  df-xmet 14176  df-met 14177  df-bl 14178  df-mopn 14179  df-top 14318  df-topon 14331  df-bases 14363  df-cn 14508  df-cnp 14509  df-tx 14573

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