Theorem divcnap 13991

Description: Complex number division is a continuous function, when the second argument is apart from zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcncntop.j	|- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
divcnap.k	|- K = ( J ↾t { x e. CC | x # 0 } )

Assertion

Ref	Expression
divcnap	|- ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( y / z ) ) e. ( ( J tX K ) Cn J )

Distinct variable groups:   x, y, z, J   x, K, y, z

Proof of Theorem divcnap

Dummy variables a b u w q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4006	. . . . 5 |- ( x = z -> ( x # 0 <-> z # 0 ) )
2	1	elrab 2893	. . . 4 |- ( z e. { x e. CC | x # 0 } <-> ( z e. CC /\ z # 0 ) )
3		divrecap 8644	. . . . 5 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC /\ z # 0 ) -> ( y / z ) = ( y x. ( 1 / z ) ) )
4	3	3expb 1204	. . . 4 |- ( ( y e. CC /\ ( z e. CC /\ z # 0 ) ) -> ( y / z ) = ( y x. ( 1 / z ) ) )
5	2, 4	sylan2b 287	. . 3 |- ( ( y e. CC /\ z e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( y / z ) = ( y x. ( 1 / z ) ) )
6	5	mpoeq3ia 5939	. 2 |- ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( y / z ) ) = ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( y x. ( 1 / z ) ) )
7		addcncntop.j	. . . . . 6 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
8	7	cntoptopon 13968	. . . . 5 |- J e. (TopOn ` CC )
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> J e. (TopOn ` CC ) )
10		divcnap.k	. . . . 5 |- K = ( J ↾t { x e. CC | x # 0 } )
11		ssrab2 3240	. . . . . 6 |- { x e. CC | x # 0 } C_ CC
12		resttopon 13607	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ { x e. CC | x # 0 } C_ CC ) -> ( J ↾t { x e. CC | x # 0 } ) e. (TopOn ` { x e. CC | x # 0 } ) )
13	9, 11, 12	sylancl 413	. . . . 5 |- ( T. -> ( J ↾t { x e. CC | x # 0 } ) e. (TopOn ` { x e. CC | x # 0 } ) )
14	10, 13	eqeltrid 2264	. . . 4 |- ( T. -> K e. (TopOn ` { x e. CC | x # 0 } ) )
15	9, 14	cnmpt1st 13724	. . . 4 |- ( T. -> ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> y ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
16	9, 14	cnmpt2nd 13725	. . . . 5 |- ( T. -> ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> z ) e. ( ( J tX K ) Cn K ) )
17		eqid 2177	. . . . . . . 8 |- ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) = ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) )
18		breq1 4006	. . . . . . . . . 10 |- ( x = q -> ( x # 0 <-> q # 0 ) )
19	18	elrab 2893	. . . . . . . . 9 |- ( q e. { x e. CC | x # 0 } <-> ( q e. CC /\ q # 0 ) )
20		recclap 8635	. . . . . . . . 9 |- ( ( q e. CC /\ q # 0 ) -> ( 1 / q ) e. CC )
21	19, 20	sylbi 121	. . . . . . . 8 |- ( q e. { x e. CC | x # 0 } -> ( 1 / q ) e. CC )
22	17, 21	fmpti 5668	. . . . . . 7 |- ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) : { x e. CC | x # 0 } --> CC
23		breq1 4006	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = a -> ( x # 0 <-> a # 0 ) )
24	23	elrab 2893	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } <-> ( a e. CC /\ a # 0 ) )
25		eqid 2177	. . . . . . . . . . . 12 |- (inf ( { 1 , ( ( abs ` a ) x. b ) } , RR , < ) x. ( ( abs ` a ) / 2 ) ) = (inf ( { 1 , ( ( abs ` a ) x. b ) } , RR , < ) x. ( ( abs ` a ) / 2 ) )
26	25	reccn2ap 11320	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. CC /\ a # 0 /\ b e. RR+ ) -> E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) )
27	26	3expa 1203	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. CC /\ a # 0 ) /\ b e. RR+ ) -> E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) )
28	24, 27	sylanb 284	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ b e. RR+ ) -> E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) )
29		ovres 6013	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) = ( a ( abs o. - ) w ) )
30		elrabi 2890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } -> a e. CC )
31		elrabi 2890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. { x e. CC | x # 0 } -> w e. CC )
32		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
33	32	cnmetdval 13965	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. CC /\ w e. CC ) -> ( a ( abs o. - ) w ) = ( abs ` ( a - w ) ) )
34		abssub 11109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. CC /\ w e. CC ) -> ( abs ` ( a - w ) ) = ( abs ` ( w - a ) ) )
35	33, 34	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. CC /\ w e. CC ) -> ( a ( abs o. - ) w ) = ( abs ` ( w - a ) ) )
36	30, 31, 35	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( a ( abs o. - ) w ) = ( abs ` ( w - a ) ) )
37	29, 36	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) = ( abs ` ( w - a ) ) )
38	37	breq1d 4013	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u <-> ( abs ` ( w - a ) ) < u ) )
39	24	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } -> a # 0 )
40	30, 39	recclapd 8737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } -> ( 1 / a ) e. CC )
41		oveq2 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q = a -> ( 1 / q ) = ( 1 / a ) )
42	41, 17	fvmptg 5592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ ( 1 / a ) e. CC ) -> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) = ( 1 / a ) )
43	40, 42	mpdan 421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } -> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) = ( 1 / a ) )
44		breq1 4006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = w -> ( x # 0 <-> w # 0 ) )
45	44	elrab 2893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. { x e. CC | x # 0 } <-> ( w e. CC /\ w # 0 ) )
46	45	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. { x e. CC | x # 0 } -> w # 0 )
47	31, 46	recclapd 8737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. { x e. CC | x # 0 } -> ( 1 / w ) e. CC )
48		oveq2 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q = w -> ( 1 / q ) = ( 1 / w ) )
49	48, 17	fvmptg 5592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( w e. { x e. CC | x # 0 } /\ ( 1 / w ) e. CC ) -> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) = ( 1 / w ) )
50	47, 49	mpdan 421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. { x e. CC | x # 0 } -> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) = ( 1 / w ) )
51	43, 50	oveqan12d 5893	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) = ( ( 1 / a ) ( abs o. - ) ( 1 / w ) ) )
52	32	cnmetdval 13965	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1 / a ) e. CC /\ ( 1 / w ) e. CC ) -> ( ( 1 / a ) ( abs o. - ) ( 1 / w ) ) = ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / w ) ) ) )
53		abssub 11109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1 / a ) e. CC /\ ( 1 / w ) e. CC ) -> ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / w ) ) ) = ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) )
54	52, 53	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 1 / a ) e. CC /\ ( 1 / w ) e. CC ) -> ( ( 1 / a ) ( abs o. - ) ( 1 / w ) ) = ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) )
55	40, 47, 54	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( ( 1 / a ) ( abs o. - ) ( 1 / w ) ) = ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) )
56	51, 55	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) = ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) )
57	56	breq1d 4013	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b <-> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) )
58	38, 57	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) <-> ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) ) )
59	58	ralbidva 2473	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } -> ( A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) <-> A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) ) )
60	59	rexbidv 2478	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } -> ( E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) <-> E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) ) )
61	60	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ b e. RR+ ) -> ( E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) <-> E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) ) )
62	28, 61	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ b e. RR+ ) -> E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) )
63	62	rgen2 2563	. . . . . . 7 |- A. a e. { x e. CC | x # 0 } A. b e. RR+ E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b )
64		cnxmet 13967	. . . . . . . . 9 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
65		xmetres2 13815	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ { x e. CC | x # 0 } C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) e. ( *Met ` { x e. CC | x # 0 } ) )
66	64, 11, 65	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) e. ( *Met ` { x e. CC | x # 0 } )
67		eqid 2177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) )
68		eqid 2177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) )
69	67, 7, 68	metrest 13942	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ { x e. CC | x # 0 } C_ CC ) -> ( J ↾t { x e. CC | x # 0 } ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) ) )
70	64, 11, 69	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 |- ( J ↾t { x e. CC | x # 0 } ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) )
71	10, 70	eqtri 2198	. . . . . . . . 9 |- K = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) )
72	71, 7	metcn 13950	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) e. ( *Met ` { x e. CC | x # 0 } ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) ) -> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) e. ( K Cn J ) <-> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) : { x e. CC | x # 0 } --> CC /\ A. a e. { x e. CC | x # 0 } A. b e. RR+ E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) ) ) )
73	66, 64, 72	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) e. ( K Cn J ) <-> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) : { x e. CC | x # 0 } --> CC /\ A. a e. { x e. CC | x # 0 } A. b e. RR+ E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) ) )
74	22, 63, 73	mpbir2an 942	. . . . . 6 |- ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) e. ( K Cn J )
75	74	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) e. ( K Cn J ) )
76		oveq2 5882	. . . . 5 |- ( q = z -> ( 1 / q ) = ( 1 / z ) )
77	9, 14, 16, 14, 75, 76	cnmpt21 13727	. . . 4 |- ( T. -> ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / z ) ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
78	7	mulcncntop 13990	. . . . 5 |- x. e. ( ( J tX J ) Cn J )
79	78	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> x. e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
80	9, 14, 15, 77, 79	cnmpt22f 13731	. . 3 |- ( T. -> ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( y x. ( 1 / z ) ) ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
81	80	mptru 1362	. 2 |- ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( y x. ( 1 / z ) ) ) e. ( ( J tX K ) Cn J )
82	6, 81	eqeltri 2250	1 |- ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( y / z ) ) e. ( ( J tX K ) Cn J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   T. wtru 1354   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459   C_ wss 3129   {cpr 3593   class class class wbr 4003   |-> cmpt 4064   X. cxp 4624   |` cres 4628   o. ccom 4630   -->wf 5212   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   e. cmpo 5876  infcinf 6981   CCcc 7808   RRcr 7809   0cc0 7810   1c1 7811   x. cmul 7815   < clt 7991   - cmin 8127   # cap 8537   / cdiv 8628   2c2 8969   RR+crp 9652   abscabs 11005   ↾_t crest 12687   *Metcxmet 13376   MetOpencmopn 13381  TopOnctopon 13446   Cn ccn 13621   tX ctx 13688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930  ax-mulf 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-map 6649  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-xneg 9771  df-xadd 9772  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-rest 12689  df-topgen 12708  df-psmet 13383  df-xmet 13384  df-met 13385  df-bl 13386  df-mopn 13387  df-top 13434  df-topon 13447  df-bases 13479  df-cn 13624  df-cnp 13625  df-tx 13689

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