ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divcnap Unicode version

Theorem divcnap 14025
Description: Complex number division is a continuous function, when the second argument is apart from zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
addcncntop.j  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
divcnap.k  |-  K  =  ( Jt  { x  e.  CC  |  x #  0 }
)
Assertion
Ref Expression
divcnap  |-  ( y  e.  CC ,  z  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( y  / 
z ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
)
Distinct variable groups:    x, y, z, J    x, K, y, z

Proof of Theorem divcnap
Dummy variables  a  b  u  w  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4006 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
x #  0  <->  z #  0
) )
21elrab 2893 . . . 4  |-  ( z  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  <->  ( z  e.  CC  /\  z #  0 ) )
3 divrecap 8644 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z #  0 )  ->  (
y  /  z )  =  ( y  x.  ( 1  /  z
) ) )
433expb 1204 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( z  e.  CC  /\  z #  0 ) )  ->  ( y  / 
z )  =  ( y  x.  ( 1  /  z ) ) )
52, 4sylan2b 287 . . 3  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 } )  ->  (
y  /  z )  =  ( y  x.  ( 1  /  z
) ) )
65mpoeq3ia 5939 . 2  |-  ( y  e.  CC ,  z  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( y  / 
z ) )  =  ( y  e.  CC ,  z  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( y  x.  ( 1  /  z
) ) )
7 addcncntop.j . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
87cntoptopon 14002 . . . . 5  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
98a1i 9 . . . 4  |-  ( T. 
->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
10 divcnap.k . . . . 5  |-  K  =  ( Jt  { x  e.  CC  |  x #  0 }
)
11 ssrab2 3240 . . . . . 6  |-  { x  e.  CC  |  x #  0 }  C_  CC
12 resttopon 13641 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  { x  e.  CC  |  x #  0 }  C_  CC )  ->  ( Jt  { x  e.  CC  |  x #  0 }
)  e.  (TopOn `  { x  e.  CC  |  x #  0 }
) )
139, 11, 12sylancl 413 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( Jt  { x  e.  CC  |  x #  0 }
)  e.  (TopOn `  { x  e.  CC  |  x #  0 }
) )
1410, 13eqeltrid 2264 . . . 4  |-  ( T. 
->  K  e.  (TopOn `  { x  e.  CC  |  x #  0 }
) )
159, 14cnmpt1st 13758 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( y  e.  CC ,  z  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  y )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
) )
169, 14cnmpt2nd 13759 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( y  e.  CC ,  z  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  z )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  K
) )
17 eqid 2177 . . . . . . . 8  |-  ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) )  =  ( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) )
18 breq1 4006 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  q  ->  (
x #  0  <->  q #  0
) )
1918elrab 2893 . . . . . . . . 9  |-  ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  <->  ( q  e.  CC  /\  q #  0 ) )
20 recclap 8635 . . . . . . . . 9  |-  ( ( q  e.  CC  /\  q #  0 )  ->  (
1  /  q )  e.  CC )
2119, 20sylbi 121 . . . . . . . 8  |-  ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  ( 1  /  q )  e.  CC )
2217, 21fmpti 5668 . . . . . . 7  |-  ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) : { x  e.  CC  |  x #  0 } --> CC
23 breq1 4006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  a  ->  (
x #  0  <->  a #  0
) )
2423elrab 2893 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  <->  ( a  e.  CC  /\  a #  0 ) )
25 eqid 2177 . . . . . . . . . . . 12  |-  (inf ( { 1 ,  ( ( abs `  a
)  x.  b ) } ,  RR ,  <  )  x.  ( ( abs `  a )  /  2 ) )  =  (inf ( { 1 ,  ( ( abs `  a )  x.  b ) } ,  RR ,  <  )  x.  ( ( abs `  a )  /  2
) )
2625reccn2ap 11320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  CC  /\  a #  0  /\  b  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  RR+  A. w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( abs `  (
w  -  a ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  a ) ) )  <  b ) )
27263expa 1203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  CC  /\  a #  0 )  /\  b  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  RR+  A. w  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( abs `  (
w  -  a ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  a ) ) )  <  b ) )
2824, 27sylanb 284 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  b  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  RR+  A. w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( abs `  (
w  -  a ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  a ) ) )  <  b ) )
29 ovres 6013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }
)  ->  ( a
( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  {
x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) w )  =  ( a ( abs  o.  -  ) w ) )
30 elrabi 2890 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  a  e.  CC )
31 elrabi 2890 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  w  e.  CC )
32 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3332cnmetdval 13999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( a ( abs 
o.  -  ) w
)  =  ( abs `  ( a  -  w
) ) )
34 abssub 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( abs `  (
a  -  w ) )  =  ( abs `  ( w  -  a
) ) )
3533, 34eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( a ( abs 
o.  -  ) w
)  =  ( abs `  ( w  -  a
) ) )
3630, 31, 35syl2an 289 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }
)  ->  ( a
( abs  o.  -  )
w )  =  ( abs `  ( w  -  a ) ) )
3729, 36eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }
)  ->  ( a
( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  {
x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) w )  =  ( abs `  ( w  -  a ) ) )
3837breq1d 4013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }
)  ->  ( (
a ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 }
) ) w )  <  u  <->  ( abs `  ( w  -  a
) )  <  u
) )
3924simprbi 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  a #  0
)
4030, 39recclapd 8737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  ( 1  /  a )  e.  CC )
41 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q  =  a  ->  (
1  /  q )  =  ( 1  / 
a ) )
4241, 17fvmptg 5592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  ( 1  /  a )  e.  CC )  ->  (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 a )  =  ( 1  /  a
) )
4340, 42mpdan 421 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  ( (
q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) `  a )  =  ( 1  /  a ) )
44 breq1 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  w  ->  (
x #  0  <->  w #  0
) )
4544elrab 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  <->  ( w  e.  CC  /\  w #  0 ) )
4645simprbi 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  w #  0
)
4731, 46recclapd 8737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  ( 1  /  w )  e.  CC )
48 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q  =  w  ->  (
1  /  q )  =  ( 1  /  w ) )
4948, 17fvmptg 5592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  ( 1  /  w )  e.  CC )  ->  (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 w )  =  ( 1  /  w
) )
5047, 49mpdan 421 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  ( (
q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) `  w )  =  ( 1  /  w ) )
5143, 50oveqan12d 5893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }
)  ->  ( (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 a ) ( abs  o.  -  )
( ( q  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q
) ) `  w
) )  =  ( ( 1  /  a
) ( abs  o.  -  ) ( 1  /  w ) ) )
5232cnmetdval 13999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1  /  a
)  e.  CC  /\  ( 1  /  w
)  e.  CC )  ->  ( ( 1  /  a ) ( abs  o.  -  )
( 1  /  w
) )  =  ( abs `  ( ( 1  /  a )  -  ( 1  /  w ) ) ) )
53 abssub 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1  /  a
)  e.  CC  /\  ( 1  /  w
)  e.  CC )  ->  ( abs `  (
( 1  /  a
)  -  ( 1  /  w ) ) )  =  ( abs `  ( ( 1  /  w )  -  (
1  /  a ) ) ) )
5452, 53eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1  /  a
)  e.  CC  /\  ( 1  /  w
)  e.  CC )  ->  ( ( 1  /  a ) ( abs  o.  -  )
( 1  /  w
) )  =  ( abs `  ( ( 1  /  w )  -  ( 1  / 
a ) ) ) )
5540, 47, 54syl2an 289 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }
)  ->  ( (
1  /  a ) ( abs  o.  -  ) ( 1  /  w ) )  =  ( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  a ) ) ) )
5651, 55eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }
)  ->  ( (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 a ) ( abs  o.  -  )
( ( q  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q
) ) `  w
) )  =  ( abs `  ( ( 1  /  w )  -  ( 1  / 
a ) ) ) )
5756breq1d 4013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }
)  ->  ( (
( ( q  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q
) ) `  a
) ( abs  o.  -  ) ( ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) `  w ) )  < 
b  <->  ( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  a ) ) )  <  b ) )
5838, 57imbi12d 234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }
)  ->  ( (
( a ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) w )  <  u  -> 
( ( ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) `  a ) ( abs 
o.  -  ) (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 w ) )  <  b )  <->  ( ( abs `  ( w  -  a ) )  < 
u  ->  ( abs `  ( ( 1  /  w )  -  (
1  /  a ) ) )  <  b
) ) )
5958ralbidva 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  ( A. w  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ( ( a ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  {
x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) w )  <  u  ->  ( ( ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) `  a ) ( abs 
o.  -  ) (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 w ) )  <  b )  <->  A. w  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( abs `  (
w  -  a ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  a ) ) )  <  b ) ) )
6059rexbidv 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  ( E. u  e.  RR+  A. w  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( a ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) w )  <  u  -> 
( ( ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) `  a ) ( abs 
o.  -  ) (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 w ) )  <  b )  <->  E. u  e.  RR+  A. w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( abs `  (
w  -  a ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  a ) ) )  <  b ) ) )
6160adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  b  e.  RR+ )  ->  ( E. u  e.  RR+  A. w  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( a ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) w )  <  u  -> 
( ( ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) `  a ) ( abs 
o.  -  ) (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 w ) )  <  b )  <->  E. u  e.  RR+  A. w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( abs `  (
w  -  a ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  a ) ) )  <  b ) ) )
6228, 61mpbird 167 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  b  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  RR+  A. w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( a ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) w )  <  u  -> 
( ( ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) `  a ) ( abs 
o.  -  ) (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 w ) )  <  b ) )
6362rgen2 2563 . . . . . . 7  |-  A. a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 } A. b  e.  RR+  E. u  e.  RR+  A. w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( a ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) w )  <  u  -> 
( ( ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) `  a ) ( abs 
o.  -  ) (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 w ) )  <  b )
64 cnxmet 14001 . . . . . . . . 9  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
65 xmetres2 13849 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  { x  e.  CC  |  x #  0 }  C_  CC )  ->  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 }
) )  e.  ( *Met `  {
x  e.  CC  |  x #  0 } ) )
6664, 11, 65mp2an 426 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 } ) )  e.  ( *Met `  { x  e.  CC  |  x #  0 }
)
67 eqid 2177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 } ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  {
x  e.  CC  |  x #  0 } ) )
68 eqid 2177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  {
x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  {
x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) )
6967, 7, 68metrest 13976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  { x  e.  CC  |  x #  0 }  C_  CC )  ->  ( Jt  { x  e.  CC  |  x #  0 } )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 }
) ) ) )
7064, 11, 69mp2an 426 . . . . . . . . . 10  |-  ( Jt  { x  e.  CC  |  x #  0 } )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 }
) ) )
7110, 70eqtri 2198 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 }
) ) )
7271, 7metcn 13984 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  {
x  e.  CC  |  x #  0 } ) )  e.  ( *Met `  { x  e.  CC  |  x #  0 }
)  /\  ( abs  o. 
-  )  e.  ( *Met `  CC ) )  ->  (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) )  e.  ( K  Cn  J )  <->  ( (
q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) : { x  e.  CC  |  x #  0 } --> CC  /\  A. a  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 } A. b  e.  RR+  E. u  e.  RR+  A. w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( a ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) w )  <  u  -> 
( ( ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) `  a ) ( abs 
o.  -  ) (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 w ) )  <  b ) ) ) )
7366, 64, 72mp2an 426 . . . . . . 7  |-  ( ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) )  e.  ( K  Cn  J
)  <->  ( ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) : { x  e.  CC  |  x #  0 } --> CC  /\  A. a  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 } A. b  e.  RR+  E. u  e.  RR+  A. w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( a ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) w )  <  u  -> 
( ( ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) `  a ) ( abs 
o.  -  ) (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 w ) )  <  b ) ) )
7422, 63, 73mpbir2an 942 . . . . . 6  |-  ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) )  e.  ( K  Cn  J
)
7574a1i 9 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) )  e.  ( K  Cn  J ) )
76 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( q  =  z  ->  (
1  /  q )  =  ( 1  / 
z ) )
779, 14, 16, 14, 75, 76cnmpt21 13761 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( y  e.  CC ,  z  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
z ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
) )
787mulcncntop 14024 . . . . 5  |-  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
7978a1i 9 . . . 4  |-  ( T. 
->  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
809, 14, 15, 77, 79cnmpt22f 13765 . . 3  |-  ( T. 
->  ( y  e.  CC ,  z  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( y  x.  ( 1  /  z
) ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
) )
8180mptru 1362 . 2  |-  ( y  e.  CC ,  z  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( y  x.  ( 1  /  z
) ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
)
826, 81eqeltri 2250 1  |-  ( y  e.  CC ,  z  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( y  / 
z ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353   T. wtru 1354    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459    C_ wss 3129   {cpr 3593   class class class wbr 4003    |-> cmpt 4064    X. cxp 4624    |` cres 4628    o. ccom 4630   -->wf 5212   ` cfv 5216  (class class class)co 5874    e. cmpo 5876  infcinf 6981   CCcc 7808   RRcr 7809   0cc0 7810   1c1 7811    x. cmul 7815    < clt 7991    - cmin 8127   # cap 8537    / cdiv 8628   2c2 8969   RR+crp 9652   abscabs 11005   ↾t crest 12687   *Metcxmet 13410   MetOpencmopn 13415  TopOnctopon 13480    Cn ccn 13655    tX ctx 13722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930  ax-mulf 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-map 6649  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-xneg 9771  df-xadd 9772  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-rest 12689  df-topgen 12708  df-psmet 13417  df-xmet 13418  df-met 13419  df-bl 13420  df-mopn 13421  df-top 13468  df-topon 13481  df-bases 13513  df-cn 13658  df-cnp 13659  df-tx 13723
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator