Theorem divcnap 15254

Description: Complex number division is a continuous function, when the second argument is apart from zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcncntop.j	|- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
divcnap.k	|- K = ( J ↾t { x e. CC | x # 0 } )

Assertion

Ref	Expression
divcnap	|- ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( y / z ) ) e. ( ( J tX K ) Cn J )

Distinct variable groups:   x, y, z, J   x, K, y, z

Proof of Theorem divcnap

Dummy variables a b u w q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4086	. . . . 5 |- ( x = z -> ( x # 0 <-> z # 0 ) )
2	1	elrab 2959	. . . 4 |- ( z e. { x e. CC | x # 0 } <-> ( z e. CC /\ z # 0 ) )
3		divrecap 8846	. . . . 5 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC /\ z # 0 ) -> ( y / z ) = ( y x. ( 1 / z ) ) )
4	3	3expb 1228	. . . 4 |- ( ( y e. CC /\ ( z e. CC /\ z # 0 ) ) -> ( y / z ) = ( y x. ( 1 / z ) ) )
5	2, 4	sylan2b 287	. . 3 |- ( ( y e. CC /\ z e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( y / z ) = ( y x. ( 1 / z ) ) )
6	5	mpoeq3ia 6075	. 2 |- ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( y / z ) ) = ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( y x. ( 1 / z ) ) )
7		addcncntop.j	. . . . . 6 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
8	7	cntoptopon 15221	. . . . 5 |- J e. (TopOn ` CC )
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> J e. (TopOn ` CC ) )
10		divcnap.k	. . . . 5 |- K = ( J ↾t { x e. CC | x # 0 } )
11		ssrab2 3309	. . . . . 6 |- { x e. CC | x # 0 } C_ CC
12		resttopon 14860	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ { x e. CC | x # 0 } C_ CC ) -> ( J ↾t { x e. CC | x # 0 } ) e. (TopOn ` { x e. CC | x # 0 } ) )
13	9, 11, 12	sylancl 413	. . . . 5 |- ( T. -> ( J ↾t { x e. CC | x # 0 } ) e. (TopOn ` { x e. CC | x # 0 } ) )
14	10, 13	eqeltrid 2316	. . . 4 |- ( T. -> K e. (TopOn ` { x e. CC | x # 0 } ) )
15	9, 14	cnmpt1st 14977	. . . 4 |- ( T. -> ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> y ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
16	9, 14	cnmpt2nd 14978	. . . . 5 |- ( T. -> ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> z ) e. ( ( J tX K ) Cn K ) )
17		eqid 2229	. . . . . . . 8 |- ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) = ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) )
18		breq1 4086	. . . . . . . . . 10 |- ( x = q -> ( x # 0 <-> q # 0 ) )
19	18	elrab 2959	. . . . . . . . 9 |- ( q e. { x e. CC | x # 0 } <-> ( q e. CC /\ q # 0 ) )
20		recclap 8837	. . . . . . . . 9 |- ( ( q e. CC /\ q # 0 ) -> ( 1 / q ) e. CC )
21	19, 20	sylbi 121	. . . . . . . 8 |- ( q e. { x e. CC | x # 0 } -> ( 1 / q ) e. CC )
22	17, 21	fmpti 5789	. . . . . . 7 |- ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) : { x e. CC | x # 0 } --> CC
23		breq1 4086	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = a -> ( x # 0 <-> a # 0 ) )
24	23	elrab 2959	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } <-> ( a e. CC /\ a # 0 ) )
25		eqid 2229	. . . . . . . . . . . 12 |- (inf ( { 1 , ( ( abs ` a ) x. b ) } , RR , < ) x. ( ( abs ` a ) / 2 ) ) = (inf ( { 1 , ( ( abs ` a ) x. b ) } , RR , < ) x. ( ( abs ` a ) / 2 ) )
26	25	reccn2ap 11839	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. CC /\ a # 0 /\ b e. RR+ ) -> E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) )
27	26	3expa 1227	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. CC /\ a # 0 ) /\ b e. RR+ ) -> E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) )
28	24, 27	sylanb 284	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ b e. RR+ ) -> E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) )
29		ovres 6151	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) = ( a ( abs o. - ) w ) )
30		elrabi 2956	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } -> a e. CC )
31		elrabi 2956	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. { x e. CC | x # 0 } -> w e. CC )
32		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
33	32	cnmetdval 15218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. CC /\ w e. CC ) -> ( a ( abs o. - ) w ) = ( abs ` ( a - w ) ) )
34		abssub 11627	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. CC /\ w e. CC ) -> ( abs ` ( a - w ) ) = ( abs ` ( w - a ) ) )
35	33, 34	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. CC /\ w e. CC ) -> ( a ( abs o. - ) w ) = ( abs ` ( w - a ) ) )
36	30, 31, 35	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( a ( abs o. - ) w ) = ( abs ` ( w - a ) ) )
37	29, 36	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) = ( abs ` ( w - a ) ) )
38	37	breq1d 4093	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u <-> ( abs ` ( w - a ) ) < u ) )
39	24	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } -> a # 0 )
40	30, 39	recclapd 8939	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } -> ( 1 / a ) e. CC )
41		oveq2 6015	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q = a -> ( 1 / q ) = ( 1 / a ) )
42	41, 17	fvmptg 5712	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ ( 1 / a ) e. CC ) -> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) = ( 1 / a ) )
43	40, 42	mpdan 421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } -> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) = ( 1 / a ) )
44		breq1 4086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = w -> ( x # 0 <-> w # 0 ) )
45	44	elrab 2959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. { x e. CC | x # 0 } <-> ( w e. CC /\ w # 0 ) )
46	45	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. { x e. CC | x # 0 } -> w # 0 )
47	31, 46	recclapd 8939	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. { x e. CC | x # 0 } -> ( 1 / w ) e. CC )
48		oveq2 6015	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q = w -> ( 1 / q ) = ( 1 / w ) )
49	48, 17	fvmptg 5712	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( w e. { x e. CC | x # 0 } /\ ( 1 / w ) e. CC ) -> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) = ( 1 / w ) )
50	47, 49	mpdan 421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. { x e. CC | x # 0 } -> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) = ( 1 / w ) )
51	43, 50	oveqan12d 6026	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) = ( ( 1 / a ) ( abs o. - ) ( 1 / w ) ) )
52	32	cnmetdval 15218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1 / a ) e. CC /\ ( 1 / w ) e. CC ) -> ( ( 1 / a ) ( abs o. - ) ( 1 / w ) ) = ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / w ) ) ) )
53		abssub 11627	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1 / a ) e. CC /\ ( 1 / w ) e. CC ) -> ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / w ) ) ) = ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) )
54	52, 53	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 1 / a ) e. CC /\ ( 1 / w ) e. CC ) -> ( ( 1 / a ) ( abs o. - ) ( 1 / w ) ) = ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) )
55	40, 47, 54	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( ( 1 / a ) ( abs o. - ) ( 1 / w ) ) = ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) )
56	51, 55	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) = ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) )
57	56	breq1d 4093	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b <-> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) )
58	38, 57	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) <-> ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) ) )
59	58	ralbidva 2526	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } -> ( A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) <-> A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) ) )
60	59	rexbidv 2531	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } -> ( E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) <-> E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) ) )
61	60	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ b e. RR+ ) -> ( E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) <-> E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) ) )
62	28, 61	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ b e. RR+ ) -> E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) )
63	62	rgen2 2616	. . . . . . 7 |- A. a e. { x e. CC | x # 0 } A. b e. RR+ E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b )
64		cnxmet 15220	. . . . . . . . 9 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
65		xmetres2 15068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ { x e. CC | x # 0 } C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) e. ( *Met ` { x e. CC | x # 0 } ) )
66	64, 11, 65	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) e. ( *Met ` { x e. CC | x # 0 } )
67		eqid 2229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) )
68		eqid 2229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) )
69	67, 7, 68	metrest 15195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ { x e. CC | x # 0 } C_ CC ) -> ( J ↾t { x e. CC | x # 0 } ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) ) )
70	64, 11, 69	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 |- ( J ↾t { x e. CC | x # 0 } ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) )
71	10, 70	eqtri 2250	. . . . . . . . 9 |- K = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) )
72	71, 7	metcn 15203	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) e. ( *Met ` { x e. CC | x # 0 } ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) ) -> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) e. ( K Cn J ) <-> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) : { x e. CC | x # 0 } --> CC /\ A. a e. { x e. CC | x # 0 } A. b e. RR+ E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) ) ) )
73	66, 64, 72	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) e. ( K Cn J ) <-> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) : { x e. CC | x # 0 } --> CC /\ A. a e. { x e. CC | x # 0 } A. b e. RR+ E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) ) )
74	22, 63, 73	mpbir2an 948	. . . . . 6 |- ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) e. ( K Cn J )
75	74	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) e. ( K Cn J ) )
76		oveq2 6015	. . . . 5 |- ( q = z -> ( 1 / q ) = ( 1 / z ) )
77	9, 14, 16, 14, 75, 76	cnmpt21 14980	. . . 4 |- ( T. -> ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / z ) ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
78	7	mulcncntop 15253	. . . . 5 |- x. e. ( ( J tX J ) Cn J )
79	78	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> x. e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
80	9, 14, 15, 77, 79	cnmpt22f 14984	. . 3 |- ( T. -> ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( y x. ( 1 / z ) ) ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
81	80	mptru 1404	. 2 |- ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( y x. ( 1 / z ) ) ) e. ( ( J tX K ) Cn J )
82	6, 81	eqeltri 2302	1 |- ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( y / z ) ) e. ( ( J tX K ) Cn J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   T. wtru 1396   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   {crab 2512   C_ wss 3197   {cpr 3667   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   X. cxp 4717   |` cres 4721   o. ccom 4723   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   e. cmpo 6009  infcinf 7161   CCcc 8008   RRcr 8009   0cc0 8010   1c1 8011   x. cmul 8015   < clt 8192   - cmin 8328   # cap 8739   / cdiv 8830   2c2 9172   RR+crp 9861   abscabs 11523   ↾_t crest 13287   *Metcxmet 14515   MetOpencmopn 14520  TopOnctopon 14699   Cn ccn 14874   tX ctx 14941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130  ax-mulf 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-map 6805  df-sup 7162  df-inf 7163  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-xneg 9980  df-xadd 9981  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-cj 11368  df-re 11369  df-im 11370  df-rsqrt 11524  df-abs 11525  df-rest 13289  df-topgen 13308  df-psmet 14522  df-xmet 14523  df-met 14524  df-bl 14525  df-mopn 14526  df-top 14687  df-topon 14700  df-bases 14732  df-cn 14877  df-cnp 14878  df-tx 14942

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