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Theorem divcnap 13349
Description: Complex number division is a continuous function, when the second argument is apart from zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
addcncntop.j  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
divcnap.k  |-  K  =  ( Jt  { x  e.  CC  |  x #  0 }
)
Assertion
Ref Expression
divcnap  |-  ( y  e.  CC ,  z  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( y  / 
z ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
)
Distinct variable groups:    x, y, z, J    x, K, y, z

Proof of Theorem divcnap
Dummy variables  a  b  u  w  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 3992 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
x #  0  <->  z #  0
) )
21elrab 2886 . . . 4  |-  ( z  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  <->  ( z  e.  CC  /\  z #  0 ) )
3 divrecap 8605 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z #  0 )  ->  (
y  /  z )  =  ( y  x.  ( 1  /  z
) ) )
433expb 1199 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( z  e.  CC  /\  z #  0 ) )  ->  ( y  / 
z )  =  ( y  x.  ( 1  /  z ) ) )
52, 4sylan2b 285 . . 3  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 } )  ->  (
y  /  z )  =  ( y  x.  ( 1  /  z
) ) )
65mpoeq3ia 5918 . 2  |-  ( y  e.  CC ,  z  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( y  / 
z ) )  =  ( y  e.  CC ,  z  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( y  x.  ( 1  /  z
) ) )
7 addcncntop.j . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
87cntoptopon 13326 . . . . 5  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
98a1i 9 . . . 4  |-  ( T. 
->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
10 divcnap.k . . . . 5  |-  K  =  ( Jt  { x  e.  CC  |  x #  0 }
)
11 ssrab2 3232 . . . . . 6  |-  { x  e.  CC  |  x #  0 }  C_  CC
12 resttopon 12965 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  { x  e.  CC  |  x #  0 }  C_  CC )  ->  ( Jt  { x  e.  CC  |  x #  0 }
)  e.  (TopOn `  { x  e.  CC  |  x #  0 }
) )
139, 11, 12sylancl 411 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( Jt  { x  e.  CC  |  x #  0 }
)  e.  (TopOn `  { x  e.  CC  |  x #  0 }
) )
1410, 13eqeltrid 2257 . . . 4  |-  ( T. 
->  K  e.  (TopOn `  { x  e.  CC  |  x #  0 }
) )
159, 14cnmpt1st 13082 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( y  e.  CC ,  z  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  y )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
) )
169, 14cnmpt2nd 13083 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( y  e.  CC ,  z  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  z )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  K
) )
17 eqid 2170 . . . . . . . 8  |-  ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) )  =  ( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) )
18 breq1 3992 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  q  ->  (
x #  0  <->  q #  0
) )
1918elrab 2886 . . . . . . . . 9  |-  ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  <->  ( q  e.  CC  /\  q #  0 ) )
20 recclap 8596 . . . . . . . . 9  |-  ( ( q  e.  CC  /\  q #  0 )  ->  (
1  /  q )  e.  CC )
2119, 20sylbi 120 . . . . . . . 8  |-  ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  ( 1  /  q )  e.  CC )
2217, 21fmpti 5648 . . . . . . 7  |-  ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) : { x  e.  CC  |  x #  0 } --> CC
23 breq1 3992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  a  ->  (
x #  0  <->  a #  0
) )
2423elrab 2886 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  <->  ( a  e.  CC  /\  a #  0 ) )
25 eqid 2170 . . . . . . . . . . . 12  |-  (inf ( { 1 ,  ( ( abs `  a
)  x.  b ) } ,  RR ,  <  )  x.  ( ( abs `  a )  /  2 ) )  =  (inf ( { 1 ,  ( ( abs `  a )  x.  b ) } ,  RR ,  <  )  x.  ( ( abs `  a )  /  2
) )
2625reccn2ap 11276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  CC  /\  a #  0  /\  b  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  RR+  A. w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( abs `  (
w  -  a ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  a ) ) )  <  b ) )
27263expa 1198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  CC  /\  a #  0 )  /\  b  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  RR+  A. w  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( abs `  (
w  -  a ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  a ) ) )  <  b ) )
2824, 27sylanb 282 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  b  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  RR+  A. w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( abs `  (
w  -  a ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  a ) ) )  <  b ) )
29 ovres 5992 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }
)  ->  ( a
( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  {
x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) w )  =  ( a ( abs  o.  -  ) w ) )
30 elrabi 2883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  a  e.  CC )
31 elrabi 2883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  w  e.  CC )
32 eqid 2170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3332cnmetdval 13323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( a ( abs 
o.  -  ) w
)  =  ( abs `  ( a  -  w
) ) )
34 abssub 11065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( abs `  (
a  -  w ) )  =  ( abs `  ( w  -  a
) ) )
3533, 34eqtrd 2203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( a ( abs 
o.  -  ) w
)  =  ( abs `  ( w  -  a
) ) )
3630, 31, 35syl2an 287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }
)  ->  ( a
( abs  o.  -  )
w )  =  ( abs `  ( w  -  a ) ) )
3729, 36eqtrd 2203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }
)  ->  ( a
( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  {
x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) w )  =  ( abs `  ( w  -  a ) ) )
3837breq1d 3999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }
)  ->  ( (
a ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 }
) ) w )  <  u  <->  ( abs `  ( w  -  a
) )  <  u
) )
3924simprbi 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  a #  0
)
4030, 39recclapd 8698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  ( 1  /  a )  e.  CC )
41 oveq2 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q  =  a  ->  (
1  /  q )  =  ( 1  / 
a ) )
4241, 17fvmptg 5572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  ( 1  /  a )  e.  CC )  ->  (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 a )  =  ( 1  /  a
) )
4340, 42mpdan 419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  ( (
q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) `  a )  =  ( 1  /  a ) )
44 breq1 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  w  ->  (
x #  0  <->  w #  0
) )
4544elrab 2886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  <->  ( w  e.  CC  /\  w #  0 ) )
4645simprbi 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  w #  0
)
4731, 46recclapd 8698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  ( 1  /  w )  e.  CC )
48 oveq2 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q  =  w  ->  (
1  /  q )  =  ( 1  /  w ) )
4948, 17fvmptg 5572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  ( 1  /  w )  e.  CC )  ->  (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 w )  =  ( 1  /  w
) )
5047, 49mpdan 419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  ( (
q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) `  w )  =  ( 1  /  w ) )
5143, 50oveqan12d 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }
)  ->  ( (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 a ) ( abs  o.  -  )
( ( q  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q
) ) `  w
) )  =  ( ( 1  /  a
) ( abs  o.  -  ) ( 1  /  w ) ) )
5232cnmetdval 13323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1  /  a
)  e.  CC  /\  ( 1  /  w
)  e.  CC )  ->  ( ( 1  /  a ) ( abs  o.  -  )
( 1  /  w
) )  =  ( abs `  ( ( 1  /  a )  -  ( 1  /  w ) ) ) )
53 abssub 11065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1  /  a
)  e.  CC  /\  ( 1  /  w
)  e.  CC )  ->  ( abs `  (
( 1  /  a
)  -  ( 1  /  w ) ) )  =  ( abs `  ( ( 1  /  w )  -  (
1  /  a ) ) ) )
5452, 53eqtrd 2203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1  /  a
)  e.  CC  /\  ( 1  /  w
)  e.  CC )  ->  ( ( 1  /  a ) ( abs  o.  -  )
( 1  /  w
) )  =  ( abs `  ( ( 1  /  w )  -  ( 1  / 
a ) ) ) )
5540, 47, 54syl2an 287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }
)  ->  ( (
1  /  a ) ( abs  o.  -  ) ( 1  /  w ) )  =  ( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  a ) ) ) )
5651, 55eqtrd 2203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }
)  ->  ( (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 a ) ( abs  o.  -  )
( ( q  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q
) ) `  w
) )  =  ( abs `  ( ( 1  /  w )  -  ( 1  / 
a ) ) ) )
5756breq1d 3999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }
)  ->  ( (
( ( q  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q
) ) `  a
) ( abs  o.  -  ) ( ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) `  w ) )  < 
b  <->  ( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  a ) ) )  <  b ) )
5838, 57imbi12d 233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }
)  ->  ( (
( a ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) w )  <  u  -> 
( ( ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) `  a ) ( abs 
o.  -  ) (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 w ) )  <  b )  <->  ( ( abs `  ( w  -  a ) )  < 
u  ->  ( abs `  ( ( 1  /  w )  -  (
1  /  a ) ) )  <  b
) ) )
5958ralbidva 2466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  ( A. w  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ( ( a ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  {
x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) w )  <  u  ->  ( ( ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) `  a ) ( abs 
o.  -  ) (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 w ) )  <  b )  <->  A. w  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( abs `  (
w  -  a ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  a ) ) )  <  b ) ) )
6059rexbidv 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  ( E. u  e.  RR+  A. w  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( a ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) w )  <  u  -> 
( ( ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) `  a ) ( abs 
o.  -  ) (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 w ) )  <  b )  <->  E. u  e.  RR+  A. w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( abs `  (
w  -  a ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  a ) ) )  <  b ) ) )
6160adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  b  e.  RR+ )  ->  ( E. u  e.  RR+  A. w  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( a ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) w )  <  u  -> 
( ( ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) `  a ) ( abs 
o.  -  ) (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 w ) )  <  b )  <->  E. u  e.  RR+  A. w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( abs `  (
w  -  a ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  a ) ) )  <  b ) ) )
6228, 61mpbird 166 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  b  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  RR+  A. w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( a ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) w )  <  u  -> 
( ( ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) `  a ) ( abs 
o.  -  ) (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 w ) )  <  b ) )
6362rgen2 2556 . . . . . . 7  |-  A. a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 } A. b  e.  RR+  E. u  e.  RR+  A. w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( a ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) w )  <  u  -> 
( ( ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) `  a ) ( abs 
o.  -  ) (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 w ) )  <  b )
64 cnxmet 13325 . . . . . . . . 9  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
65 xmetres2 13173 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  { x  e.  CC  |  x #  0 }  C_  CC )  ->  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 }
) )  e.  ( *Met `  {
x  e.  CC  |  x #  0 } ) )
6664, 11, 65mp2an 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 } ) )  e.  ( *Met `  { x  e.  CC  |  x #  0 }
)
67 eqid 2170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 } ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  {
x  e.  CC  |  x #  0 } ) )
68 eqid 2170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  {
x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  {
x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) )
6967, 7, 68metrest 13300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  { x  e.  CC  |  x #  0 }  C_  CC )  ->  ( Jt  { x  e.  CC  |  x #  0 } )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 }
) ) ) )
7064, 11, 69mp2an 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( Jt  { x  e.  CC  |  x #  0 } )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 }
) ) )
7110, 70eqtri 2191 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 }
) ) )
7271, 7metcn 13308 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  {
x  e.  CC  |  x #  0 } ) )  e.  ( *Met `  { x  e.  CC  |  x #  0 }
)  /\  ( abs  o. 
-  )  e.  ( *Met `  CC ) )  ->  (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) )  e.  ( K  Cn  J )  <->  ( (
q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) : { x  e.  CC  |  x #  0 } --> CC  /\  A. a  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 } A. b  e.  RR+  E. u  e.  RR+  A. w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( a ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) w )  <  u  -> 
( ( ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) `  a ) ( abs 
o.  -  ) (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 w ) )  <  b ) ) ) )
7366, 64, 72mp2an 424 . . . . . . 7  |-  ( ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) )  e.  ( K  Cn  J
)  <->  ( ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) : { x  e.  CC  |  x #  0 } --> CC  /\  A. a  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 } A. b  e.  RR+  E. u  e.  RR+  A. w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( a ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) w )  <  u  -> 
( ( ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) `  a ) ( abs 
o.  -  ) (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 w ) )  <  b ) ) )
7422, 63, 73mpbir2an 937 . . . . . 6  |-  ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) )  e.  ( K  Cn  J
)
7574a1i 9 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) )  e.  ( K  Cn  J ) )
76 oveq2 5861 . . . . 5  |-  ( q  =  z  ->  (
1  /  q )  =  ( 1  / 
z ) )
779, 14, 16, 14, 75, 76cnmpt21 13085 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( y  e.  CC ,  z  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
z ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
) )
787mulcncntop 13348 . . . . 5  |-  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
7978a1i 9 . . . 4  |-  ( T. 
->  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
809, 14, 15, 77, 79cnmpt22f 13089 . . 3  |-  ( T. 
->  ( y  e.  CC ,  z  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( y  x.  ( 1  /  z
) ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
) )
8180mptru 1357 . 2  |-  ( y  e.  CC ,  z  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( y  x.  ( 1  /  z
) ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
)
826, 81eqeltri 2243 1  |-  ( y  e.  CC ,  z  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( y  / 
z ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1348   T. wtru 1349    e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   {crab 2452    C_ wss 3121   {cpr 3584   class class class wbr 3989    |-> cmpt 4050    X. cxp 4609    |` cres 4613    o. ccom 4615   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853    e. cmpo 5855  infcinf 6960   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775    x. cmul 7779    < clt 7954    - cmin 8090   # cap 8500    / cdiv 8589   2c2 8929   RR+crp 9610   abscabs 10961   ↾t crest 12579   *Metcxmet 12774   MetOpencmopn 12779  TopOnctopon 12802    Cn ccn 12979    tX ctx 13046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894  ax-mulf 7897
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-map 6628  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-xadd 9730  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-rest 12581  df-topgen 12600  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-met 12783  df-bl 12784  df-mopn 12785  df-top 12790  df-topon 12803  df-bases 12835  df-cn 12982  df-cnp 12983  df-tx 13047
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