ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divcnap Unicode version

Theorem divcnap 12955
Description: Complex number division is a continuous function, when the second argument is apart from zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
addcncntop.j  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
divcnap.k  |-  K  =  ( Jt  { x  e.  CC  |  x #  0 }
)
Assertion
Ref Expression
divcnap  |-  ( y  e.  CC ,  z  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( y  / 
z ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
)
Distinct variable groups:    x, y, z, J    x, K, y, z

Proof of Theorem divcnap
Dummy variables  a  b  u  w  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 3968 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
x #  0  <->  z #  0
) )
21elrab 2868 . . . 4  |-  ( z  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  <->  ( z  e.  CC  /\  z #  0 ) )
3 divrecap 8561 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z #  0 )  ->  (
y  /  z )  =  ( y  x.  ( 1  /  z
) ) )
433expb 1186 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( z  e.  CC  /\  z #  0 ) )  ->  ( y  / 
z )  =  ( y  x.  ( 1  /  z ) ) )
52, 4sylan2b 285 . . 3  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 } )  ->  (
y  /  z )  =  ( y  x.  ( 1  /  z
) ) )
65mpoeq3ia 5886 . 2  |-  ( y  e.  CC ,  z  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( y  / 
z ) )  =  ( y  e.  CC ,  z  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( y  x.  ( 1  /  z
) ) )
7 addcncntop.j . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
87cntoptopon 12932 . . . . 5  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
98a1i 9 . . . 4  |-  ( T. 
->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
10 divcnap.k . . . . 5  |-  K  =  ( Jt  { x  e.  CC  |  x #  0 }
)
11 ssrab2 3213 . . . . . 6  |-  { x  e.  CC  |  x #  0 }  C_  CC
12 resttopon 12571 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  { x  e.  CC  |  x #  0 }  C_  CC )  ->  ( Jt  { x  e.  CC  |  x #  0 }
)  e.  (TopOn `  { x  e.  CC  |  x #  0 }
) )
139, 11, 12sylancl 410 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( Jt  { x  e.  CC  |  x #  0 }
)  e.  (TopOn `  { x  e.  CC  |  x #  0 }
) )
1410, 13eqeltrid 2244 . . . 4  |-  ( T. 
->  K  e.  (TopOn `  { x  e.  CC  |  x #  0 }
) )
159, 14cnmpt1st 12688 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( y  e.  CC ,  z  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  y )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
) )
169, 14cnmpt2nd 12689 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( y  e.  CC ,  z  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  z )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  K
) )
17 eqid 2157 . . . . . . . 8  |-  ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) )  =  ( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) )
18 breq1 3968 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  q  ->  (
x #  0  <->  q #  0
) )
1918elrab 2868 . . . . . . . . 9  |-  ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  <->  ( q  e.  CC  /\  q #  0 ) )
20 recclap 8552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( q  e.  CC  /\  q #  0 )  ->  (
1  /  q )  e.  CC )
2119, 20sylbi 120 . . . . . . . 8  |-  ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  ( 1  /  q )  e.  CC )
2217, 21fmpti 5619 . . . . . . 7  |-  ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) : { x  e.  CC  |  x #  0 } --> CC
23 breq1 3968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  a  ->  (
x #  0  <->  a #  0
) )
2423elrab 2868 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  <->  ( a  e.  CC  /\  a #  0 ) )
25 eqid 2157 . . . . . . . . . . . 12  |-  (inf ( { 1 ,  ( ( abs `  a
)  x.  b ) } ,  RR ,  <  )  x.  ( ( abs `  a )  /  2 ) )  =  (inf ( { 1 ,  ( ( abs `  a )  x.  b ) } ,  RR ,  <  )  x.  ( ( abs `  a )  /  2
) )
2625reccn2ap 11210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  CC  /\  a #  0  /\  b  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  RR+  A. w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( abs `  (
w  -  a ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  a ) ) )  <  b ) )
27263expa 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  CC  /\  a #  0 )  /\  b  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  RR+  A. w  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( abs `  (
w  -  a ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  a ) ) )  <  b ) )
2824, 27sylanb 282 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  b  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  RR+  A. w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( abs `  (
w  -  a ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  a ) ) )  <  b ) )
29 ovres 5960 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }
)  ->  ( a
( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  {
x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) w )  =  ( a ( abs  o.  -  ) w ) )
30 elrabi 2865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  a  e.  CC )
31 elrabi 2865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  w  e.  CC )
32 eqid 2157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3332cnmetdval 12929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( a ( abs 
o.  -  ) w
)  =  ( abs `  ( a  -  w
) ) )
34 abssub 11001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( abs `  (
a  -  w ) )  =  ( abs `  ( w  -  a
) ) )
3533, 34eqtrd 2190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( a ( abs 
o.  -  ) w
)  =  ( abs `  ( w  -  a
) ) )
3630, 31, 35syl2an 287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }
)  ->  ( a
( abs  o.  -  )
w )  =  ( abs `  ( w  -  a ) ) )
3729, 36eqtrd 2190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }
)  ->  ( a
( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  {
x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) w )  =  ( abs `  ( w  -  a ) ) )
3837breq1d 3975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }
)  ->  ( (
a ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 }
) ) w )  <  u  <->  ( abs `  ( w  -  a
) )  <  u
) )
3924simprbi 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  a #  0
)
4030, 39recclapd 8654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  ( 1  /  a )  e.  CC )
41 oveq2 5832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q  =  a  ->  (
1  /  q )  =  ( 1  / 
a ) )
4241, 17fvmptg 5544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  ( 1  /  a )  e.  CC )  ->  (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 a )  =  ( 1  /  a
) )
4340, 42mpdan 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  ( (
q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) `  a )  =  ( 1  /  a ) )
44 breq1 3968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  w  ->  (
x #  0  <->  w #  0
) )
4544elrab 2868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  <->  ( w  e.  CC  /\  w #  0 ) )
4645simprbi 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  w #  0
)
4731, 46recclapd 8654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  ( 1  /  w )  e.  CC )
48 oveq2 5832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q  =  w  ->  (
1  /  q )  =  ( 1  /  w ) )
4948, 17fvmptg 5544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  ( 1  /  w )  e.  CC )  ->  (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 w )  =  ( 1  /  w
) )
5047, 49mpdan 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  ( (
q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) `  w )  =  ( 1  /  w ) )
5143, 50oveqan12d 5843 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }
)  ->  ( (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 a ) ( abs  o.  -  )
( ( q  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q
) ) `  w
) )  =  ( ( 1  /  a
) ( abs  o.  -  ) ( 1  /  w ) ) )
5232cnmetdval 12929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1  /  a
)  e.  CC  /\  ( 1  /  w
)  e.  CC )  ->  ( ( 1  /  a ) ( abs  o.  -  )
( 1  /  w
) )  =  ( abs `  ( ( 1  /  a )  -  ( 1  /  w ) ) ) )
53 abssub 11001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1  /  a
)  e.  CC  /\  ( 1  /  w
)  e.  CC )  ->  ( abs `  (
( 1  /  a
)  -  ( 1  /  w ) ) )  =  ( abs `  ( ( 1  /  w )  -  (
1  /  a ) ) ) )
5452, 53eqtrd 2190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1  /  a
)  e.  CC  /\  ( 1  /  w
)  e.  CC )  ->  ( ( 1  /  a ) ( abs  o.  -  )
( 1  /  w
) )  =  ( abs `  ( ( 1  /  w )  -  ( 1  / 
a ) ) ) )
5540, 47, 54syl2an 287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }
)  ->  ( (
1  /  a ) ( abs  o.  -  ) ( 1  /  w ) )  =  ( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  a ) ) ) )
5651, 55eqtrd 2190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }
)  ->  ( (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 a ) ( abs  o.  -  )
( ( q  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q
) ) `  w
) )  =  ( abs `  ( ( 1  /  w )  -  ( 1  / 
a ) ) ) )
5756breq1d 3975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }
)  ->  ( (
( ( q  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q
) ) `  a
) ( abs  o.  -  ) ( ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) `  w ) )  < 
b  <->  ( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  a ) ) )  <  b ) )
5838, 57imbi12d 233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }
)  ->  ( (
( a ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) w )  <  u  -> 
( ( ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) `  a ) ( abs 
o.  -  ) (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 w ) )  <  b )  <->  ( ( abs `  ( w  -  a ) )  < 
u  ->  ( abs `  ( ( 1  /  w )  -  (
1  /  a ) ) )  <  b
) ) )
5958ralbidva 2453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  ( A. w  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ( ( a ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  {
x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) w )  <  u  ->  ( ( ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) `  a ) ( abs 
o.  -  ) (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 w ) )  <  b )  <->  A. w  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( abs `  (
w  -  a ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  a ) ) )  <  b ) ) )
6059rexbidv 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  ( E. u  e.  RR+  A. w  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( a ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) w )  <  u  -> 
( ( ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) `  a ) ( abs 
o.  -  ) (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 w ) )  <  b )  <->  E. u  e.  RR+  A. w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( abs `  (
w  -  a ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  a ) ) )  <  b ) ) )
6160adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  b  e.  RR+ )  ->  ( E. u  e.  RR+  A. w  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( a ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) w )  <  u  -> 
( ( ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) `  a ) ( abs 
o.  -  ) (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 w ) )  <  b )  <->  E. u  e.  RR+  A. w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( abs `  (
w  -  a ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  a ) ) )  <  b ) ) )
6228, 61mpbird 166 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  b  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  RR+  A. w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( a ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) w )  <  u  -> 
( ( ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) `  a ) ( abs 
o.  -  ) (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 w ) )  <  b ) )
6362rgen2 2543 . . . . . . 7  |-  A. a  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 } A. b  e.  RR+  E. u  e.  RR+  A. w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( a ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) w )  <  u  -> 
( ( ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) `  a ) ( abs 
o.  -  ) (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 w ) )  <  b )
64 cnxmet 12931 . . . . . . . . 9  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
65 xmetres2 12779 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  { x  e.  CC  |  x #  0 }  C_  CC )  ->  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 }
) )  e.  ( *Met `  {
x  e.  CC  |  x #  0 } ) )
6664, 11, 65mp2an 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 } ) )  e.  ( *Met `  { x  e.  CC  |  x #  0 }
)
67 eqid 2157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 } ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  {
x  e.  CC  |  x #  0 } ) )
68 eqid 2157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  {
x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  {
x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) )
6967, 7, 68metrest 12906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  { x  e.  CC  |  x #  0 }  C_  CC )  ->  ( Jt  { x  e.  CC  |  x #  0 } )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 }
) ) ) )
7064, 11, 69mp2an 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( Jt  { x  e.  CC  |  x #  0 } )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 }
) ) )
7110, 70eqtri 2178 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 }
) ) )
7271, 7metcn 12914 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  {
x  e.  CC  |  x #  0 } ) )  e.  ( *Met `  { x  e.  CC  |  x #  0 }
)  /\  ( abs  o. 
-  )  e.  ( *Met `  CC ) )  ->  (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) )  e.  ( K  Cn  J )  <->  ( (
q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) : { x  e.  CC  |  x #  0 } --> CC  /\  A. a  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 } A. b  e.  RR+  E. u  e.  RR+  A. w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( a ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) w )  <  u  -> 
( ( ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) `  a ) ( abs 
o.  -  ) (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 w ) )  <  b ) ) ) )
7366, 64, 72mp2an 423 . . . . . . 7  |-  ( ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) )  e.  ( K  Cn  J
)  <->  ( ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) : { x  e.  CC  |  x #  0 } --> CC  /\  A. a  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 } A. b  e.  RR+  E. u  e.  RR+  A. w  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 } 
( ( a ( ( abs  o.  -  )  |`  ( { x  e.  CC  |  x #  0 }  X.  { x  e.  CC  |  x #  0 } ) ) w )  <  u  -> 
( ( ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) ) `  a ) ( abs 
o.  -  ) (
( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) ) `
 w ) )  <  b ) ) )
7422, 63, 73mpbir2an 927 . . . . . 6  |-  ( q  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
q ) )  e.  ( K  Cn  J
)
7574a1i 9 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( q  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  /  q ) )  e.  ( K  Cn  J ) )
76 oveq2 5832 . . . . 5  |-  ( q  =  z  ->  (
1  /  q )  =  ( 1  / 
z ) )
779, 14, 16, 14, 75, 76cnmpt21 12691 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( y  e.  CC ,  z  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( 1  / 
z ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
) )
787mulcncntop 12954 . . . . 5  |-  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
7978a1i 9 . . . 4  |-  ( T. 
->  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
809, 14, 15, 77, 79cnmpt22f 12695 . . 3  |-  ( T. 
->  ( y  e.  CC ,  z  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( y  x.  ( 1  /  z
) ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
) )
8180mptru 1344 . 2  |-  ( y  e.  CC ,  z  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( y  x.  ( 1  /  z
) ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
)
826, 81eqeltri 2230 1  |-  ( y  e.  CC ,  z  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  |->  ( y  / 
z ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1335   T. wtru 1336    e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   {crab 2439    C_ wss 3102   {cpr 3561   class class class wbr 3965    |-> cmpt 4025    X. cxp 4584    |` cres 4588    o. ccom 4590   -->wf 5166   ` cfv 5170  (class class class)co 5824    e. cmpo 5826  infcinf 6927   CCcc 7730   RRcr 7731   0cc0 7732   1c1 7733    x. cmul 7737    < clt 7912    - cmin 8046   # cap 8456    / cdiv 8545   2c2 8884   RR+crp 9560   abscabs 10897   ↾t crest 12351   *Metcxmet 12380   MetOpencmopn 12385  TopOnctopon 12408    Cn ccn 12585    tX ctx 12652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852  ax-mulf 7855
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-isom 5179  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-map 6595  df-sup 6928  df-inf 6929  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-q 9529  df-rp 9561  df-xneg 9679  df-xadd 9680  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899  df-rest 12353  df-topgen 12372  df-psmet 12387  df-xmet 12388  df-met 12389  df-bl 12390  df-mopn 12391  df-top 12396  df-topon 12409  df-bases 12441  df-cn 12588  df-cnp 12589  df-tx 12653
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator