Theorem cjf 10800

Description: Domain and codomain of the conjugate function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cjf	|- * : CC --> CC

Proof of Theorem cjf

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cj 10795	. 2 |- * = ( x e. CC |-> ( iota_ y e. CC ( ( x + y ) e. RR /\ ( _i x. ( x - y ) ) e. RR ) ) )
2		cju 8866	. . 3 |- ( x e. CC -> E! y e. CC ( ( x + y ) e. RR /\ ( _i x. ( x - y ) ) e. RR ) )
3		riotacl 5821	. . 3 |- ( E! y e. CC ( ( x + y ) e. RR /\ ( _i x. ( x - y ) ) e. RR ) -> ( iota_ y e. CC ( ( x + y ) e. RR /\ ( _i x. ( x - y ) ) e. RR ) ) e. CC )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( x e. CC -> ( iota_ y e. CC ( ( x + y ) e. RR /\ ( _i x. ( x - y ) ) e. RR ) ) e. CC )
5	1, 4	fmpti 5646	1 |- * : CC --> CC

Syntax hints:   /\ wa 103   e. wcel 2141   E!wreu 2450   -->wf 5192   iota_crio 5806  (class class class)co 5851   CCcc 7761   RRcr 7762   _ici 7765   + caddc 7766   x. cmul 7768   - cmin 8079   *ccj 10792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-mulrcl 7862  ax-addcom 7863  ax-mulcom 7864  ax-addass 7865  ax-mulass 7866  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-1rid 7870  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-precex 7873  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-apti 7878  ax-pre-ltadd 7879  ax-pre-mulgt0 7880

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-ltxr 7948  df-sub 8081  df-neg 8082  df-reap 8483  df-cj 10795

This theorem is referenced by:  cjcl  10801  cjcn2  11268  climcj  11273  fsumcj  11426  cjcncf  13330  dvcjbr  13427  dvcj  13428  dvfre  13429  dvmptcjx  13441