Theorem cjf 10888

Description: Domain and codomain of the conjugate function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cjf	|- * : CC --> CC

Proof of Theorem cjf

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cj 10883	. 2 |- * = ( x e. CC |-> ( iota_ y e. CC ( ( x + y ) e. RR /\ ( _i x. ( x - y ) ) e. RR ) ) )
2		cju 8948	. . 3 |- ( x e. CC -> E! y e. CC ( ( x + y ) e. RR /\ ( _i x. ( x - y ) ) e. RR ) )
3		riotacl 5866	. . 3 |- ( E! y e. CC ( ( x + y ) e. RR /\ ( _i x. ( x - y ) ) e. RR ) -> ( iota_ y e. CC ( ( x + y ) e. RR /\ ( _i x. ( x - y ) ) e. RR ) ) e. CC )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( x e. CC -> ( iota_ y e. CC ( ( x + y ) e. RR /\ ( _i x. ( x - y ) ) e. RR ) ) e. CC )
5	1, 4	fmpti 5689	1 |- * : CC --> CC

Syntax hints:   /\ wa 104   e. wcel 2160   E!wreu 2470   -->wf 5231   iota_crio 5851  (class class class)co 5896   CCcc 7839   RRcr 7840   _ici 7843   + caddc 7844   x. cmul 7846   - cmin 8158   *ccj 10880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-ltxr 8027  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-cj 10883

This theorem is referenced by:  cjcl  10889  cjcn2  11356  climcj  11361  fsumcj  11514  cnfldstr  13866  cnfldcj  13871  cjcncf  14535  dvcjbr  14632  dvcj  14633  dvfre  14634  dvmptcjx  14646