ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cjf Unicode version

Theorem cjf 10888
Description: Domain and codomain of the conjugate function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
cjf  |-  * : CC --> CC

Proof of Theorem cjf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cj 10883 . 2  |-  *  =  ( x  e.  CC  |->  ( iota_ y  e.  CC  ( ( x  +  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
x  -  y ) )  e.  RR ) ) )
2 cju 8948 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  E! y  e.  CC  (
( x  +  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
x  -  y ) )  e.  RR ) )
3 riotacl 5866 . . 3  |-  ( E! y  e.  CC  (
( x  +  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
x  -  y ) )  e.  RR )  ->  ( iota_ y  e.  CC  ( ( x  +  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( x  -  y ) )  e.  RR ) )  e.  CC )
42, 3syl 14 . 2  |-  ( x  e.  CC  ->  ( iota_ y  e.  CC  (
( x  +  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
x  -  y ) )  e.  RR ) )  e.  CC )
51, 4fmpti 5689 1  |-  * : CC --> CC
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    e. wcel 2160   E!wreu 2470   -->wf 5231   iota_crio 5851  (class class class)co 5896   CCcc 7839   RRcr 7840   _ici 7843    + caddc 7844    x. cmul 7846    - cmin 8158   *ccj 10880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-ltxr 8027  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-cj 10883
This theorem is referenced by:  cjcl  10889  cjcn2  11356  climcj  11361  fsumcj  11514  cnfldstr  13866  cnfldcj  13871  cjcncf  14535  dvcjbr  14632  dvcj  14633  dvfre  14634  dvmptcjx  14646
  Copyright terms: Public domain W3C validator