ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cjf Unicode version

Theorem cjf 10626
Description: Domain and codomain of the conjugate function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
cjf  |-  * : CC --> CC

Proof of Theorem cjf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cj 10621 . 2  |-  *  =  ( x  e.  CC  |->  ( iota_ y  e.  CC  ( ( x  +  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
x  -  y ) )  e.  RR ) ) )
2 cju 8726 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  E! y  e.  CC  (
( x  +  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
x  -  y ) )  e.  RR ) )
3 riotacl 5744 . . 3  |-  ( E! y  e.  CC  (
( x  +  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
x  -  y ) )  e.  RR )  ->  ( iota_ y  e.  CC  ( ( x  +  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( x  -  y ) )  e.  RR ) )  e.  CC )
42, 3syl 14 . 2  |-  ( x  e.  CC  ->  ( iota_ y  e.  CC  (
( x  +  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
x  -  y ) )  e.  RR ) )  e.  CC )
51, 4fmpti 5572 1  |-  * : CC --> CC
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    e. wcel 1480   E!wreu 2418   -->wf 5119   iota_crio 5729  (class class class)co 5774   CCcc 7625   RRcr 7626   _ici 7629    + caddc 7630    x. cmul 7632    - cmin 7940   *ccj 10618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-ltxr 7812  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-cj 10621
This theorem is referenced by:  cjcl  10627  cjcn2  11092  climcj  11097  fsumcj  11250  cjcncf  12754  dvcjbr  12851  dvcj  12852  dvfre  12853
  Copyright terms: Public domain W3C validator