Theorem nninfself 13209

Description: Domain and range of the selection function for ℕ_∞. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
nninfsel.e	|- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nninfself	|- E : ( 2o ^m ℕ∞ ) -->ℕ∞

Distinct variable groups:   i, k, n   k, q, n

Allowed substitution hints:   E( i, k, n, q)

Proof of Theorem nninfself

Dummy variables f j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfsel.e	. 2 |- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
2		nninfsellemcl 13207	. . . . 5 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ n e. om ) -> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o )
3		eqid 2139	. . . . 5 |- ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
4	2, 3	fmptd 5574	. . . 4 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) : om --> 2o )
5		2onn 6417	. . . . . 6 |- 2o e. om
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> 2o e. om )
7		omex 4507	. . . . . 6 |- om e. _V
8	7	a1i 9	. . . . 5 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> om e. _V )
9	6, 8	elmapd 6556	. . . 4 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) : om --> 2o ) )
10	4, 9	mpbird 166	. . 3 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m om ) )
11		nninfsellemsuc 13208	. . . . 5 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ if ( A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
12		peano2 4509	. . . . . 6 |- ( j e. om -> suc j e. om )
13		nninfsellemcl 13207	. . . . . . 7 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ suc j e. om ) -> if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o )
14	12, 13	sylan2 284	. . . . . 6 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o )
15		suceq 4324	. . . . . . . . 9 |- ( n = suc j -> suc n = suc suc j )
16	15	raleqdv 2632	. . . . . . . 8 |- ( n = suc j -> ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
17	16	ifbid 3493	. . . . . . 7 |- ( n = suc j -> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
18	17, 3	fvmptg 5497	. . . . . 6 |- ( ( suc j e. om /\ if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o ) -> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) = if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
19	12, 14, 18	syl2an2 583	. . . . 5 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) = if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
20		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> j e. om )
21		nninfsellemcl 13207	. . . . . 6 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> if ( A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o )
22		suceq 4324	. . . . . . . . 9 |- ( n = j -> suc n = suc j )
23	22	raleqdv 2632	. . . . . . . 8 |- ( n = j -> ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
24	23	ifbid 3493	. . . . . . 7 |- ( n = j -> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
25	24, 3	fvmptg 5497	. . . . . 6 |- ( ( j e. om /\ if ( A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o ) -> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) = if ( A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
26	20, 21, 25	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) = if ( A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
27	11, 19, 26	3sstr4d 3142	. . . 4 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) )
28	27	ralrimiva 2505	. . 3 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> A. j e. om ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) )
29		fveq1 5420	. . . . . 6 |- ( f = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) -> ( f ` suc j ) = ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) )
30		fveq1 5420	. . . . . 6 |- ( f = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) -> ( f ` j ) = ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) )
31	29, 30	sseq12d 3128	. . . . 5 |- ( f = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) -> ( ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
32	31	ralbidv 2437	. . . 4 |- ( f = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) -> ( A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> A. j e. om ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
33		df-nninf 7007	. . . 4 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) }
34	32, 33	elrab2 2843	. . 3 |- ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ <-> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
35	10, 28, 34	sylanbrc 413	. 2 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
36	1, 35	fmpti 5572	1 |- E : ( 2o ^m ℕ∞ ) -->ℕ∞

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   _Vcvv 2686   C_ wss 3071   (/)c0 3363   ifcif 3474   |-> cmpt 3989   suc csuc 4287   omcom 4504   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   1oc1o 6306   2oc2o 6307   ^m cmap 6542  ℕ_∞xnninf 7005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1o 6313  df-2o 6314  df-map 6544  df-nninf 7007

This theorem is referenced by:  nninfsellemeq  13210  nninfsellemeqinf  13212  nninfomnilem  13214