Theorem nninfself 14046

Description: Domain and range of the selection function for ℕ_∞. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
nninfsel.e	|- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nninfself	|- E : ( 2o ^m ℕ∞ ) -->ℕ∞

Distinct variable groups:   i, k, n   k, q, n

Allowed substitution hints:   E( i, k, n, q)

Proof of Theorem nninfself

Dummy variables f j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfsel.e	. 2 |- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
2		nninfsellemcl 14044	. . . . 5 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ n e. om ) -> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o )
3		eqid 2170	. . . . 5 |- ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
4	2, 3	fmptd 5650	. . . 4 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) : om --> 2o )
5		2onn 6500	. . . . . 6 |- 2o e. om
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> 2o e. om )
7		omex 4577	. . . . . 6 |- om e. _V
8	7	a1i 9	. . . . 5 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> om e. _V )
9	6, 8	elmapd 6640	. . . 4 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) : om --> 2o ) )
10	4, 9	mpbird 166	. . 3 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m om ) )
11		nninfsellemsuc 14045	. . . . 5 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ if ( A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
12		peano2 4579	. . . . . 6 |- ( j e. om -> suc j e. om )
13		nninfsellemcl 14044	. . . . . . 7 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ suc j e. om ) -> if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o )
14	12, 13	sylan2 284	. . . . . 6 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o )
15		suceq 4387	. . . . . . . . 9 |- ( n = suc j -> suc n = suc suc j )
16	15	raleqdv 2671	. . . . . . . 8 |- ( n = suc j -> ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
17	16	ifbid 3547	. . . . . . 7 |- ( n = suc j -> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
18	17, 3	fvmptg 5572	. . . . . 6 |- ( ( suc j e. om /\ if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o ) -> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) = if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
19	12, 14, 18	syl2an2 589	. . . . 5 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) = if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
20		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> j e. om )
21		nninfsellemcl 14044	. . . . . 6 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> if ( A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o )
22		suceq 4387	. . . . . . . . 9 |- ( n = j -> suc n = suc j )
23	22	raleqdv 2671	. . . . . . . 8 |- ( n = j -> ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
24	23	ifbid 3547	. . . . . . 7 |- ( n = j -> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
25	24, 3	fvmptg 5572	. . . . . 6 |- ( ( j e. om /\ if ( A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o ) -> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) = if ( A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
26	20, 21, 25	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) = if ( A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
27	11, 19, 26	3sstr4d 3192	. . . 4 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) )
28	27	ralrimiva 2543	. . 3 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> A. j e. om ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) )
29		fveq1 5495	. . . . . 6 |- ( f = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) -> ( f ` suc j ) = ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) )
30		fveq1 5495	. . . . . 6 |- ( f = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) -> ( f ` j ) = ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) )
31	29, 30	sseq12d 3178	. . . . 5 |- ( f = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) -> ( ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
32	31	ralbidv 2470	. . . 4 |- ( f = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) -> ( A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> A. j e. om ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
33		df-nninf 7097	. . . 4 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) }
34	32, 33	elrab2 2889	. . 3 |- ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ <-> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
35	10, 28, 34	sylanbrc 415	. 2 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
36	1, 35	fmpti 5648	1 |- E : ( 2o ^m ℕ∞ ) -->ℕ∞

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   (/)c0 3414   ifcif 3526   |-> cmpt 4050   suc csuc 4350   omcom 4574   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   1oc1o 6388   2oc2o 6389   ^m cmap 6626  ℕ_∞xnninf 7096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1o 6395  df-2o 6396  df-map 6628  df-nninf 7097

This theorem is referenced by:  nninfsellemeq  14047  nninfsellemeqinf  14049  nninfomnilem  14051