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Theorem nninfself 13105
Description: Domain and range of the selection function for ℕ. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
nninfsel.e  |-  E  =  ( q  e.  ( 2o  ^m )  |->  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
Assertion
Ref Expression
nninfself  |-  E :
( 2o  ^m ) -->
Distinct variable groups:    i, k, n   
k, q, n
Allowed substitution hints:    E( i, k, n, q)

Proof of Theorem nninfself
Dummy variables  f  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninfsel.e . 2  |-  E  =  ( q  e.  ( 2o  ^m )  |->  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
2 nninfsellemcl 13103 . . . . 5  |-  ( ( q  e.  ( 2o 
^m )  /\  n  e.  om )  ->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
3 eqid 2117 . . . . 5  |-  ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  =  ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
42, 3fmptd 5542 . . . 4  |-  ( q  e.  ( 2o  ^m )  -> 
( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) : om --> 2o )
5 2onn 6385 . . . . . 6  |-  2o  e.  om
65a1i 9 . . . . 5  |-  ( q  e.  ( 2o  ^m )  ->  2o  e.  om )
7 omex 4477 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
87a1i 9 . . . . 5  |-  ( q  e.  ( 2o  ^m )  ->  om  e.  _V )
96, 8elmapd 6524 . . . 4  |-  ( q  e.  ( 2o  ^m )  -> 
( ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  e.  ( 2o  ^m  om )  <->  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) : om --> 2o ) )
104, 9mpbird 166 . . 3  |-  ( q  e.  ( 2o  ^m )  -> 
( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  e.  ( 2o  ^m  om ) )
11 nninfsellemsuc 13104 . . . . 5  |-  ( ( q  e.  ( 2o 
^m )  /\  j  e.  om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  j
( q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  if ( A. k  e.  suc  j ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
12 peano2 4479 . . . . . 6  |-  ( j  e.  om  ->  suc  j  e.  om )
13 nninfsellemcl 13103 . . . . . . 7  |-  ( ( q  e.  ( 2o 
^m )  /\  suc  j  e. 
om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  j ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
1412, 13sylan2 284 . . . . . 6  |-  ( ( q  e.  ( 2o 
^m )  /\  j  e.  om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  j
( q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
15 suceq 4294 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  suc  j  ->  suc  n  =  suc  suc  j )
1615raleqdv 2609 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  suc  j  -> 
( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. k  e.  suc  suc  j (
q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
1716ifbid 3463 . . . . . . 7  |-  ( n  =  suc  j  ->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  if ( A. k  e. 
suc  suc  j ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
1817, 3fvmptg 5465 . . . . . 6  |-  ( ( suc  j  e.  om  /\  if ( A. k  e.  suc  suc  j (
q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  e.  2o )  ->  ( ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  suc  j )  =  if ( A. k  e. 
suc  suc  j ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
1912, 14, 18syl2an2 568 . . . . 5  |-  ( ( q  e.  ( 2o 
^m )  /\  j  e.  om )  ->  ( ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  suc  j )  =  if ( A. k  e. 
suc  suc  j ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
20 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( q  e.  ( 2o 
^m )  /\  j  e.  om )  ->  j  e.  om )
21 nninfsellemcl 13103 . . . . . 6  |-  ( ( q  e.  ( 2o 
^m )  /\  j  e.  om )  ->  if ( A. k  e.  suc  j ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
22 suceq 4294 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  j  ->  suc  n  =  suc  j )
2322raleqdv 2609 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  j  ->  ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. k  e.  suc  j ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
2423ifbid 3463 . . . . . . 7  |-  ( n  =  j  ->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  if ( A. k  e.  suc  j ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
2524, 3fvmptg 5465 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  om  /\  if ( A. k  e. 
suc  j ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  e.  2o )  ->  ( ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  j
)  =  if ( A. k  e.  suc  j ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
2620, 21, 25syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ( q  e.  ( 2o 
^m )  /\  j  e.  om )  ->  ( ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  j
)  =  if ( A. k  e.  suc  j ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
2711, 19, 263sstr4d 3112 . . . 4  |-  ( ( q  e.  ( 2o 
^m )  /\  j  e.  om )  ->  ( ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  suc  j )  C_  (
( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  j ) )
2827ralrimiva 2482 . . 3  |-  ( q  e.  ( 2o  ^m )  ->  A. j  e.  om  ( ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `
 suc  j )  C_  ( ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `
 j ) )
29 fveq1 5388 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  ->  ( f `  suc  j )  =  ( ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  suc  j ) )
30 fveq1 5388 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  ->  ( f `  j )  =  ( ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  j ) )
3129, 30sseq12d 3098 . . . . 5  |-  ( f  =  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  ->  ( ( f `
 suc  j )  C_  ( f `  j
)  <->  ( ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  suc  j )  C_  (
( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  j ) ) )
3231ralbidv 2414 . . . 4  |-  ( f  =  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  ->  ( A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  A. j  e.  om  (
( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  suc  j )  C_  (
( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  j ) ) )
33 df-nninf 6975 . . . 4  |-  =  { f  e.  ( 2o  ^m  om )  |  A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j ) }
3432, 33elrab2 2816 . . 3  |-  ( ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  e.  <->  ( (
n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  e.  ( 2o  ^m  om )  /\  A. j  e. 
om  ( ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  suc  j )  C_  (
( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  j ) ) )
3510, 28, 34sylanbrc 413 . 2  |-  ( q  e.  ( 2o  ^m )  -> 
( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  e. )
361, 35fmpti 5540 1  |-  E :
( 2o  ^m ) -->
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393   _Vcvv 2660    C_ wss 3041   (/)c0 3333   ifcif 3444    |-> cmpt 3959   suc csuc 4257   omcom 4474   -->wf 5089   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   1oc1o 6274   2oc2o 6275    ^m cmap 6510  ℕxnninf 6973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1o 6281  df-2o 6282  df-map 6512  df-nninf 6975
This theorem is referenced by:  nninfsellemeq  13106  nninfsellemeqinf  13108  nninfomnilem  13110
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