Theorem nninfself 14847

Description: Domain and range of the selection function for ℕ_∞. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
nninfsel.e	|- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nninfself	|- E : ( 2o ^m ℕ∞ ) -->ℕ∞

Distinct variable groups:   i, k, n   k, q, n

Allowed substitution hints:   E( i, k, n, q)

Proof of Theorem nninfself

Dummy variables f j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfsel.e	. 2 |- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
2		nninfsellemcl 14845	. . . . 5 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ n e. om ) -> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o )
3		eqid 2177	. . . . 5 |- ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
4	2, 3	fmptd 5672	. . . 4 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) : om --> 2o )
5		2onn 6524	. . . . . 6 |- 2o e. om
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> 2o e. om )
7		omex 4594	. . . . . 6 |- om e. _V
8	7	a1i 9	. . . . 5 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> om e. _V )
9	6, 8	elmapd 6664	. . . 4 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) : om --> 2o ) )
10	4, 9	mpbird 167	. . 3 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m om ) )
11		nninfsellemsuc 14846	. . . . 5 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ if ( A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
12		peano2 4596	. . . . . 6 |- ( j e. om -> suc j e. om )
13		nninfsellemcl 14845	. . . . . . 7 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ suc j e. om ) -> if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o )
14	12, 13	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o )
15		suceq 4404	. . . . . . . . 9 |- ( n = suc j -> suc n = suc suc j )
16	15	raleqdv 2679	. . . . . . . 8 |- ( n = suc j -> ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
17	16	ifbid 3557	. . . . . . 7 |- ( n = suc j -> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
18	17, 3	fvmptg 5594	. . . . . 6 |- ( ( suc j e. om /\ if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o ) -> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) = if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
19	12, 14, 18	syl2an2 594	. . . . 5 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) = if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
20		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> j e. om )
21		nninfsellemcl 14845	. . . . . 6 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> if ( A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o )
22		suceq 4404	. . . . . . . . 9 |- ( n = j -> suc n = suc j )
23	22	raleqdv 2679	. . . . . . . 8 |- ( n = j -> ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
24	23	ifbid 3557	. . . . . . 7 |- ( n = j -> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
25	24, 3	fvmptg 5594	. . . . . 6 |- ( ( j e. om /\ if ( A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o ) -> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) = if ( A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
26	20, 21, 25	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) = if ( A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
27	11, 19, 26	3sstr4d 3202	. . . 4 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) )
28	27	ralrimiva 2550	. . 3 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> A. j e. om ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) )
29		fveq1 5516	. . . . . 6 |- ( f = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) -> ( f ` suc j ) = ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) )
30		fveq1 5516	. . . . . 6 |- ( f = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) -> ( f ` j ) = ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) )
31	29, 30	sseq12d 3188	. . . . 5 |- ( f = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) -> ( ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
32	31	ralbidv 2477	. . . 4 |- ( f = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) -> ( A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> A. j e. om ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
33		df-nninf 7121	. . . 4 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) }
34	32, 33	elrab2 2898	. . 3 |- ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ <-> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
35	10, 28, 34	sylanbrc 417	. 2 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
36	1, 35	fmpti 5670	1 |- E : ( 2o ^m ℕ∞ ) -->ℕ∞

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2739   C_ wss 3131   (/)c0 3424   ifcif 3536   |-> cmpt 4066   suc csuc 4367   omcom 4591   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   1oc1o 6412   2oc2o 6413   ^m cmap 6650  ℕ_∞xnninf 7120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1o 6419  df-2o 6420  df-map 6652  df-nninf 7121

This theorem is referenced by:  nninfsellemeq  14848  nninfsellemeqinf  14850  nninfomnilem  14852