Theorem nninfself 15950

Description: Domain and range of the selection function for ℕ_∞. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
nninfsel.e	|- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nninfself	|- E : ( 2o ^m ℕ∞ ) -->ℕ∞

Distinct variable groups:   i, k, n   k, q, n

Allowed substitution hints:   E( i, k, n, q)

Proof of Theorem nninfself

Dummy variables f j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfsel.e	. 2 |- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
2		nninfsellemcl 15948	. . . . 5 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ n e. om ) -> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o )
3		eqid 2205	. . . . 5 |- ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
4	2, 3	fmptd 5734	. . . 4 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) : om --> 2o )
5		2onn 6607	. . . . . 6 |- 2o e. om
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> 2o e. om )
7		omex 4641	. . . . . 6 |- om e. _V
8	7	a1i 9	. . . . 5 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> om e. _V )
9	6, 8	elmapd 6749	. . . 4 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) : om --> 2o ) )
10	4, 9	mpbird 167	. . 3 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m om ) )
11		nninfsellemsuc 15949	. . . . 5 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ if ( A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
12		peano2 4643	. . . . . 6 |- ( j e. om -> suc j e. om )
13		nninfsellemcl 15948	. . . . . . 7 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ suc j e. om ) -> if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o )
14	12, 13	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o )
15		suceq 4449	. . . . . . . . 9 |- ( n = suc j -> suc n = suc suc j )
16	15	raleqdv 2708	. . . . . . . 8 |- ( n = suc j -> ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
17	16	ifbid 3592	. . . . . . 7 |- ( n = suc j -> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
18	17, 3	fvmptg 5655	. . . . . 6 |- ( ( suc j e. om /\ if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o ) -> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) = if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
19	12, 14, 18	syl2an2 594	. . . . 5 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) = if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
20		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> j e. om )
21		nninfsellemcl 15948	. . . . . 6 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> if ( A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o )
22		suceq 4449	. . . . . . . . 9 |- ( n = j -> suc n = suc j )
23	22	raleqdv 2708	. . . . . . . 8 |- ( n = j -> ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
24	23	ifbid 3592	. . . . . . 7 |- ( n = j -> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
25	24, 3	fvmptg 5655	. . . . . 6 |- ( ( j e. om /\ if ( A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o ) -> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) = if ( A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
26	20, 21, 25	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) = if ( A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
27	11, 19, 26	3sstr4d 3238	. . . 4 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) )
28	27	ralrimiva 2579	. . 3 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> A. j e. om ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) )
29		fveq1 5575	. . . . . 6 |- ( f = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) -> ( f ` suc j ) = ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) )
30		fveq1 5575	. . . . . 6 |- ( f = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) -> ( f ` j ) = ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) )
31	29, 30	sseq12d 3224	. . . . 5 |- ( f = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) -> ( ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
32	31	ralbidv 2506	. . . 4 |- ( f = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) -> ( A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> A. j e. om ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
33		df-nninf 7222	. . . 4 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) }
34	32, 33	elrab2 2932	. . 3 |- ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ <-> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
35	10, 28, 34	sylanbrc 417	. 2 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
36	1, 35	fmpti 5732	1 |- E : ( 2o ^m ℕ∞ ) -->ℕ∞

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   _Vcvv 2772   C_ wss 3166   (/)c0 3460   ifcif 3571   |-> cmpt 4105   suc csuc 4412   omcom 4638   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   1oc1o 6495   2oc2o 6496   ^m cmap 6735  ℕ_∞xnninf 7221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1o 6502  df-2o 6503  df-map 6737  df-nninf 7222

This theorem is referenced by:  nninfsellemeq  15951  nninfsellemeqinf  15953  nninfomnilem  15955