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Theorem nninfself 13682
Description: Domain and range of the selection function for ℕ. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
nninfsel.e  |-  E  =  ( q  e.  ( 2o  ^m )  |->  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
Assertion
Ref Expression
nninfself  |-  E :
( 2o  ^m ) -->
Distinct variable groups:    i, k, n   
k, q, n
Allowed substitution hints:    E( i, k, n, q)

Proof of Theorem nninfself
Dummy variables  f  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninfsel.e . 2  |-  E  =  ( q  e.  ( 2o  ^m )  |->  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
2 nninfsellemcl 13680 . . . . 5  |-  ( ( q  e.  ( 2o 
^m )  /\  n  e.  om )  ->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
3 eqid 2157 . . . . 5  |-  ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  =  ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
42, 3fmptd 5624 . . . 4  |-  ( q  e.  ( 2o  ^m )  -> 
( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) : om --> 2o )
5 2onn 6471 . . . . . 6  |-  2o  e.  om
65a1i 9 . . . . 5  |-  ( q  e.  ( 2o  ^m )  ->  2o  e.  om )
7 omex 4555 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
87a1i 9 . . . . 5  |-  ( q  e.  ( 2o  ^m )  ->  om  e.  _V )
96, 8elmapd 6610 . . . 4  |-  ( q  e.  ( 2o  ^m )  -> 
( ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  e.  ( 2o  ^m  om )  <->  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) : om --> 2o ) )
104, 9mpbird 166 . . 3  |-  ( q  e.  ( 2o  ^m )  -> 
( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  e.  ( 2o  ^m  om ) )
11 nninfsellemsuc 13681 . . . . 5  |-  ( ( q  e.  ( 2o 
^m )  /\  j  e.  om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  j
( q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  if ( A. k  e.  suc  j ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
12 peano2 4557 . . . . . 6  |-  ( j  e.  om  ->  suc  j  e.  om )
13 nninfsellemcl 13680 . . . . . . 7  |-  ( ( q  e.  ( 2o 
^m )  /\  suc  j  e. 
om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  j ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
1412, 13sylan2 284 . . . . . 6  |-  ( ( q  e.  ( 2o 
^m )  /\  j  e.  om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  j
( q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
15 suceq 4365 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  suc  j  ->  suc  n  =  suc  suc  j )
1615raleqdv 2658 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  suc  j  -> 
( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. k  e.  suc  suc  j (
q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
1716ifbid 3527 . . . . . . 7  |-  ( n  =  suc  j  ->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  if ( A. k  e. 
suc  suc  j ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
1817, 3fvmptg 5547 . . . . . 6  |-  ( ( suc  j  e.  om  /\  if ( A. k  e.  suc  suc  j (
q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  e.  2o )  ->  ( ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  suc  j )  =  if ( A. k  e. 
suc  suc  j ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
1912, 14, 18syl2an2 584 . . . . 5  |-  ( ( q  e.  ( 2o 
^m )  /\  j  e.  om )  ->  ( ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  suc  j )  =  if ( A. k  e. 
suc  suc  j ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
20 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( q  e.  ( 2o 
^m )  /\  j  e.  om )  ->  j  e.  om )
21 nninfsellemcl 13680 . . . . . 6  |-  ( ( q  e.  ( 2o 
^m )  /\  j  e.  om )  ->  if ( A. k  e.  suc  j ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
22 suceq 4365 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  j  ->  suc  n  =  suc  j )
2322raleqdv 2658 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  j  ->  ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. k  e.  suc  j ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
2423ifbid 3527 . . . . . . 7  |-  ( n  =  j  ->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  if ( A. k  e.  suc  j ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
2524, 3fvmptg 5547 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  om  /\  if ( A. k  e. 
suc  j ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  e.  2o )  ->  ( ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  j
)  =  if ( A. k  e.  suc  j ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
2620, 21, 25syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ( q  e.  ( 2o 
^m )  /\  j  e.  om )  ->  ( ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  j
)  =  if ( A. k  e.  suc  j ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
2711, 19, 263sstr4d 3173 . . . 4  |-  ( ( q  e.  ( 2o 
^m )  /\  j  e.  om )  ->  ( ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  suc  j )  C_  (
( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  j ) )
2827ralrimiva 2530 . . 3  |-  ( q  e.  ( 2o  ^m )  ->  A. j  e.  om  ( ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `
 suc  j )  C_  ( ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `
 j ) )
29 fveq1 5470 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  ->  ( f `  suc  j )  =  ( ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  suc  j ) )
30 fveq1 5470 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  ->  ( f `  j )  =  ( ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  j ) )
3129, 30sseq12d 3159 . . . . 5  |-  ( f  =  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  ->  ( ( f `
 suc  j )  C_  ( f `  j
)  <->  ( ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  suc  j )  C_  (
( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  j ) ) )
3231ralbidv 2457 . . . 4  |-  ( f  =  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  ->  ( A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  A. j  e.  om  (
( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  suc  j )  C_  (
( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  j ) ) )
33 df-nninf 7067 . . . 4  |-  =  { f  e.  ( 2o  ^m  om )  |  A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j ) }
3432, 33elrab2 2871 . . 3  |-  ( ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  e.  <->  ( (
n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  e.  ( 2o  ^m  om )  /\  A. j  e. 
om  ( ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  suc  j )  C_  (
( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  j ) ) )
3510, 28, 34sylanbrc 414 . 2  |-  ( q  e.  ( 2o  ^m )  -> 
( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  e. )
361, 35fmpti 5622 1  |-  E :
( 2o  ^m ) -->
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1335    e. wcel 2128   A.wral 2435   _Vcvv 2712    C_ wss 3102   (/)c0 3395   ifcif 3506    |-> cmpt 4028   suc csuc 4328   omcom 4552   -->wf 5169   ` cfv 5173  (class class class)co 5827   1oc1o 6359   2oc2o 6360    ^m cmap 6596  ℕxnninf 7066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-nul 4093  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-iinf 4550
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-if 3507  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-tr 4066  df-id 4256  df-iord 4329  df-on 4331  df-suc 4334  df-iom 4553  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-fv 5181  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-1o 6366  df-2o 6367  df-map 6598  df-nninf 7067
This theorem is referenced by:  nninfsellemeq  13683  nninfsellemeqinf  13685  nninfomnilem  13687
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