Theorem nninfself 16961

Description: Domain and range of the selection function for ℕ_∞. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
nninfsel.e	|- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nninfself	|- E : ( 2o ^m ℕ∞ ) -->ℕ∞

Distinct variable groups:   i, k, n   k, q, n

Allowed substitution hints:   E( i, k, n, q)

Proof of Theorem nninfself

Dummy variables f j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfsel.e	. 2 |- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
2		nninfsellemcl 16959	. . . . 5 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ n e. om ) -> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o )
3		eqid 2238	. . . . 5 |- ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
4	2, 3	fmptd 5853	. . . 4 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) : om --> 2o )
5		2onn 6784	. . . . . 6 |- 2o e. om
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> 2o e. om )
7		omex 4735	. . . . . 6 |- om e. _V
8	7	a1i 9	. . . . 5 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> om e. _V )
9	6, 8	elmapd 6926	. . . 4 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) : om --> 2o ) )
10	4, 9	mpbird 167	. . 3 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m om ) )
11		nninfsellemsuc 16960	. . . . 5 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ if ( A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
12		peano2 4737	. . . . . 6 |- ( j e. om -> suc j e. om )
13		nninfsellemcl 16959	. . . . . . 7 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ suc j e. om ) -> if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o )
14	12, 13	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o )
15		suceq 4542	. . . . . . . . 9 |- ( n = suc j -> suc n = suc suc j )
16	15	raleqdv 2755	. . . . . . . 8 |- ( n = suc j -> ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
17	16	ifbid 3659	. . . . . . 7 |- ( n = suc j -> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
18	17, 3	fvmptg 5775	. . . . . 6 |- ( ( suc j e. om /\ if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o ) -> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) = if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
19	12, 14, 18	syl2an2 602	. . . . 5 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) = if ( A. k e. suc suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
20		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> j e. om )
21		nninfsellemcl 16959	. . . . . 6 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> if ( A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o )
22		suceq 4542	. . . . . . . . 9 |- ( n = j -> suc n = suc j )
23	22	raleqdv 2755	. . . . . . . 8 |- ( n = j -> ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
24	23	ifbid 3659	. . . . . . 7 |- ( n = j -> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
25	24, 3	fvmptg 5775	. . . . . 6 |- ( ( j e. om /\ if ( A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o ) -> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) = if ( A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
26	20, 21, 25	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) = if ( A. k e. suc j ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
27	11, 19, 26	3sstr4d 3293	. . . 4 |- ( ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ j e. om ) -> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) )
28	27	ralrimiva 2623	. . 3 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> A. j e. om ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) )
29		fveq1 5689	. . . . . 6 |- ( f = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) -> ( f ` suc j ) = ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) )
30		fveq1 5689	. . . . . 6 |- ( f = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) -> ( f ` j ) = ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) )
31	29, 30	sseq12d 3279	. . . . 5 |- ( f = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) -> ( ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
32	31	ralbidv 2550	. . . 4 |- ( f = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) -> ( A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> A. j e. om ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
33		df-nninf 7450	. . . 4 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) }
34	32, 33	elrab2 2985	. . 3 |- ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ <-> ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` suc j ) C_ ( ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
35	10, 28, 34	sylanbrc 421	. 2 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
36	1, 35	fmpti 5851	1 |- E : ( 2o ^m ℕ∞ ) -->ℕ∞

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ifcif 3635   |-> cmpt 4187   suc csuc 4505   omcom 4732   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   1oc1o 6670   2oc2o 6671   ^m cmap 6912  ℕ_∞xnninf 7449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1o 6677  df-2o 6678  df-map 6914  df-nninf 7450

This theorem is referenced by:  nninfsellemeq  16962  nninfsellemeqinf  16964  nninfomnilem  16966