Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nninfself Unicode version

Theorem nninfself 14046
Description: Domain and range of the selection function for ℕ. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
nninfsel.e  |-  E  =  ( q  e.  ( 2o  ^m )  |->  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
Assertion
Ref Expression
nninfself  |-  E :
( 2o  ^m ) -->
Distinct variable groups:    i, k, n   
k, q, n
Allowed substitution hints:    E( i, k, n, q)

Proof of Theorem nninfself
Dummy variables  f  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninfsel.e . 2  |-  E  =  ( q  e.  ( 2o  ^m )  |->  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
2 nninfsellemcl 14044 . . . . 5  |-  ( ( q  e.  ( 2o 
^m )  /\  n  e.  om )  ->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
3 eqid 2170 . . . . 5  |-  ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  =  ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
42, 3fmptd 5650 . . . 4  |-  ( q  e.  ( 2o  ^m )  -> 
( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) : om --> 2o )
5 2onn 6500 . . . . . 6  |-  2o  e.  om
65a1i 9 . . . . 5  |-  ( q  e.  ( 2o  ^m )  ->  2o  e.  om )
7 omex 4577 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
87a1i 9 . . . . 5  |-  ( q  e.  ( 2o  ^m )  ->  om  e.  _V )
96, 8elmapd 6640 . . . 4  |-  ( q  e.  ( 2o  ^m )  -> 
( ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  e.  ( 2o  ^m  om )  <->  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) : om --> 2o ) )
104, 9mpbird 166 . . 3  |-  ( q  e.  ( 2o  ^m )  -> 
( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  e.  ( 2o  ^m  om ) )
11 nninfsellemsuc 14045 . . . . 5  |-  ( ( q  e.  ( 2o 
^m )  /\  j  e.  om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  j
( q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  if ( A. k  e.  suc  j ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
12 peano2 4579 . . . . . 6  |-  ( j  e.  om  ->  suc  j  e.  om )
13 nninfsellemcl 14044 . . . . . . 7  |-  ( ( q  e.  ( 2o 
^m )  /\  suc  j  e. 
om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  j ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
1412, 13sylan2 284 . . . . . 6  |-  ( ( q  e.  ( 2o 
^m )  /\  j  e.  om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  j
( q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
15 suceq 4387 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  suc  j  ->  suc  n  =  suc  suc  j )
1615raleqdv 2671 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  suc  j  -> 
( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. k  e.  suc  suc  j (
q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
1716ifbid 3547 . . . . . . 7  |-  ( n  =  suc  j  ->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  if ( A. k  e. 
suc  suc  j ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
1817, 3fvmptg 5572 . . . . . 6  |-  ( ( suc  j  e.  om  /\  if ( A. k  e.  suc  suc  j (
q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  e.  2o )  ->  ( ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  suc  j )  =  if ( A. k  e. 
suc  suc  j ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
1912, 14, 18syl2an2 589 . . . . 5  |-  ( ( q  e.  ( 2o 
^m )  /\  j  e.  om )  ->  ( ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  suc  j )  =  if ( A. k  e. 
suc  suc  j ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
20 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( q  e.  ( 2o 
^m )  /\  j  e.  om )  ->  j  e.  om )
21 nninfsellemcl 14044 . . . . . 6  |-  ( ( q  e.  ( 2o 
^m )  /\  j  e.  om )  ->  if ( A. k  e.  suc  j ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
22 suceq 4387 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  j  ->  suc  n  =  suc  j )
2322raleqdv 2671 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  j  ->  ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. k  e.  suc  j ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
2423ifbid 3547 . . . . . . 7  |-  ( n  =  j  ->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  if ( A. k  e.  suc  j ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
2524, 3fvmptg 5572 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  om  /\  if ( A. k  e. 
suc  j ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  e.  2o )  ->  ( ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  j
)  =  if ( A. k  e.  suc  j ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
2620, 21, 25syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ( q  e.  ( 2o 
^m )  /\  j  e.  om )  ->  ( ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  j
)  =  if ( A. k  e.  suc  j ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
2711, 19, 263sstr4d 3192 . . . 4  |-  ( ( q  e.  ( 2o 
^m )  /\  j  e.  om )  ->  ( ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  suc  j )  C_  (
( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  j ) )
2827ralrimiva 2543 . . 3  |-  ( q  e.  ( 2o  ^m )  ->  A. j  e.  om  ( ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `
 suc  j )  C_  ( ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `
 j ) )
29 fveq1 5495 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  ->  ( f `  suc  j )  =  ( ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  suc  j ) )
30 fveq1 5495 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  ->  ( f `  j )  =  ( ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  j ) )
3129, 30sseq12d 3178 . . . . 5  |-  ( f  =  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  ->  ( ( f `
 suc  j )  C_  ( f `  j
)  <->  ( ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  suc  j )  C_  (
( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  j ) ) )
3231ralbidv 2470 . . . 4  |-  ( f  =  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  ->  ( A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  A. j  e.  om  (
( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  suc  j )  C_  (
( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  j ) ) )
33 df-nninf 7097 . . . 4  |-  =  { f  e.  ( 2o  ^m  om )  |  A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j ) }
3432, 33elrab2 2889 . . 3  |-  ( ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  e.  <->  ( (
n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  e.  ( 2o  ^m  om )  /\  A. j  e. 
om  ( ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  suc  j )  C_  (
( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) `  j ) ) )
3510, 28, 34sylanbrc 415 . 2  |-  ( q  e.  ( 2o  ^m )  -> 
( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  e. )
361, 35fmpti 5648 1  |-  E :
( 2o  ^m ) -->
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   _Vcvv 2730    C_ wss 3121   (/)c0 3414   ifcif 3526    |-> cmpt 4050   suc csuc 4350   omcom 4574   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   1oc1o 6388   2oc2o 6389    ^m cmap 6626  ℕxnninf 7096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1o 6395  df-2o 6396  df-map 6628  df-nninf 7097
This theorem is referenced by:  nninfsellemeq  14047  nninfsellemeqinf  14049  nninfomnilem  14051
  Copyright terms: Public domain W3C validator