Theorem fmpti 5829

Description: Functionality of the mapping operation. (Contributed by NM, 19-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
fmpti.2	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fmpti	⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmpti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpti.2	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)
2	1	rgen 2595	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵
3		fmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
4	3	fmpt 5827	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵)
5	2, 4	mpbi 145	1 ⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520   ↦ cmpt 4171  ⟶wf 5348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360

This theorem is referenced by:  omp1eomlem  7385  fnn0nninf  10800  cjf  11532  ref  11540  imf  11541  absf  11795  eff  12349  sinf  12390  cosf  12391  bitsf  12632  fnum  12887  fden  12888  divcnap  15430  dveflem  15591  2lgslem1b  15962  nnsf  16783  nninfself  16791