Theorem fovcl 5958

Description: Closure law for an operation. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
fovcl.1	|- F : ( R X. S ) --> C

Assertion

Ref	Expression
fovcl	|- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> ( A F B ) e. C )

Proof of Theorem fovcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcl.1	. . 3 |- F : ( R X. S ) --> C
2		ffnov 5957	. . . 4 |- ( F : ( R X. S ) --> C <-> ( F Fn ( R X. S ) /\ A. x e. R A. y e. S ( x F y ) e. C ) )
3	2	simprbi 273	. . 3 |- ( F : ( R X. S ) --> C -> A. x e. R A. y e. S ( x F y ) e. C )
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 |- A. x e. R A. y e. S ( x F y ) e. C
5		oveq1 5860	. . . 4 |- ( x = A -> ( x F y ) = ( A F y ) )
6	5	eleq1d 2239	. . 3 |- ( x = A -> ( ( x F y ) e. C <-> ( A F y ) e. C ) )
7		oveq2 5861	. . . 4 |- ( y = B -> ( A F y ) = ( A F B ) )
8	7	eleq1d 2239	. . 3 |- ( y = B -> ( ( A F y ) e. C <-> ( A F B ) e. C ) )
9	6, 8	rspc2v 2847	. 2 |- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> ( A. x e. R A. y e. S ( x F y ) e. C -> ( A F B ) e. C ) )
10	4, 9	mpi 15	1 |- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> ( A F B ) e. C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   X. cxp 4609   Fn wfn 5193   -->wf 5194  (class class class)co 5853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856

This theorem is referenced by:  xaddcl  9817  ixxssxr  9857  fzof  10100  elfzoelz  10103  fzoval  10104  addcncntoplem  13345