Theorem fovcl 5947

Description: Closure law for an operation. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
fovcl.1	|- F : ( R X. S ) --> C

Assertion

Ref	Expression
fovcl	|- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> ( A F B ) e. C )

Proof of Theorem fovcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcl.1	. . 3 |- F : ( R X. S ) --> C
2		ffnov 5946	. . . 4 |- ( F : ( R X. S ) --> C <-> ( F Fn ( R X. S ) /\ A. x e. R A. y e. S ( x F y ) e. C ) )
3	2	simprbi 273	. . 3 |- ( F : ( R X. S ) --> C -> A. x e. R A. y e. S ( x F y ) e. C )
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 |- A. x e. R A. y e. S ( x F y ) e. C
5		oveq1 5849	. . . 4 |- ( x = A -> ( x F y ) = ( A F y ) )
6	5	eleq1d 2235	. . 3 |- ( x = A -> ( ( x F y ) e. C <-> ( A F y ) e. C ) )
7		oveq2 5850	. . . 4 |- ( y = B -> ( A F y ) = ( A F B ) )
8	7	eleq1d 2235	. . 3 |- ( y = B -> ( ( A F y ) e. C <-> ( A F B ) e. C ) )
9	6, 8	rspc2v 2843	. 2 |- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> ( A. x e. R A. y e. S ( x F y ) e. C -> ( A F B ) e. C ) )
10	4, 9	mpi 15	1 |- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> ( A F B ) e. C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   X. cxp 4602   Fn wfn 5183   -->wf 5184  (class class class)co 5842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-ov 5845

This theorem is referenced by:  xaddcl  9796  ixxssxr  9836  fzof  10079  elfzoelz  10082  fzoval  10083  addcncntoplem  13201