Theorem xaddcl 9646

Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddcl	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A +e B ) e. RR* )

Proof of Theorem xaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xaddf 9630	. 2 |- +e : ( RR* X. RR* ) --> RR*
2	1	fovcl 5876	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A +e B ) e. RR* )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480  (class class class)co 5774   RR*cxr 7802   +ecxad 9560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1re 7717  ax-addrcl 7720  ax-rnegex 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-xadd 9563

This theorem is referenced by:  xaddass  9655  xaddass2  9656  xleadd1a  9659  xleadd1  9661  xltadd1  9662  xaddge0  9664  xle2add  9665  xlt2add  9666  xsubge0  9667  xlesubadd  9669  xaddcld  9670  ge0xaddcl  9769