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Theorem addcncntoplem 12759
Description: Lemma for addcncntop 12760, subcncntop 12761, and mulcncntop 12762. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
addcncntop.j |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
addcn.2 |- .+ : ( CC X. CC ) --> CC
addcn.3 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) )
Assertion
Ref Expression
addcncntoplem |- .+ e. ( ( J tX J ) Cn J )
Distinct variable groups:   a, b, c, u, v, y, z, J   .+ , a, b, c, u, v, y, z
Proof of Theorem addcncntoplem
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcn.2 . 2 |- .+ : ( CC X. CC ) --> CC
2 addcn.3 . . . . 5 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) )
323coml 1189 . . . 4 |- ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) )
4 rpmincl 11041 . . . . . . 7 |- ( ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) -> inf ( { y , z } , RR , < ) e. RR+ )
54adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> inf ( { y , z } , RR , < ) e. RR+ )
6 simpll1 1021 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> b e. CC )
7 simprl 521 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> u e. CC )
8 eqid 2140 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
98cnmetdval 12737 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. CC /\ u e. CC ) -> ( b ( abs o. - ) u ) = ( abs ` ( b - u ) ) )
10 abssub 10905 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. CC /\ u e. CC ) -> ( abs ` ( b - u ) ) = ( abs ` ( u - b ) ) )
119, 10eqtrd 2173 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. CC /\ u e. CC ) -> ( b ( abs o. - ) u ) = ( abs ` ( u - b ) ) )
126, 7, 11syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( b ( abs o. - ) u ) = ( abs ` ( u - b ) ) )
1312breq1d 3947 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( abs ` ( u - b ) ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) )
147, 6subcld 8097 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u - b ) e. CC )
1514abscld 10985 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( u - b ) ) e. RR )
16 simplrl 525 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> y e. RR+ )
1716rpred 9513 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> y e. RR )
18 simplrr 526 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> z e. RR+ )
1918rpred 9513 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> z e. RR )
20 ltmininf 11038 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` ( u - b ) ) e. RR /\ y e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( abs ` ( u - b ) ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( u - b ) ) < z ) ) )
2115, 17, 19, 20syl3anc 1217 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( u - b ) ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( u - b ) ) < z ) ) )
2213, 21bitrd 187 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( u - b ) ) < z ) ) )
23 simpl 108 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( u - b ) ) < z ) -> ( abs ` ( u - b ) ) < y )
2422, 23syl6bi 162 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( abs ` ( u - b ) ) < y ) )
25 simpll2 1022 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> c e. CC )
26 simprr 522 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> v e. CC )
278cnmetdval 12737 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c e. CC /\ v e. CC ) -> ( c ( abs o. - ) v ) = ( abs ` ( c - v ) ) )
28 abssub 10905 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c e. CC /\ v e. CC ) -> ( abs ` ( c - v ) ) = ( abs ` ( v - c ) ) )
2927, 28eqtrd 2173 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c e. CC /\ v e. CC ) -> ( c ( abs o. - ) v ) = ( abs ` ( v - c ) ) )
3025, 26, 29syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( c ( abs o. - ) v ) = ( abs ` ( v - c ) ) )
3130breq1d 3947 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( abs ` ( v - c ) ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) )
3226, 25subcld 8097 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( v - c ) e. CC )
3332abscld 10985 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( v - c ) ) e. RR )
34 ltmininf 11038 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` ( v - c ) ) e. RR /\ y e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( abs ` ( v - c ) ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( v - c ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) ) )
3533, 17, 19, 34syl3anc 1217 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( v - c ) ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( v - c ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) ) )
3631, 35bitrd 187 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( v - c ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) ) )
37 simpr 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` ( v - c ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( v - c ) ) < z )
3836, 37syl6bi 162 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( abs ` ( v - c ) ) < z ) )
3924, 38anim12d 333 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) -> ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) ) )
401fovcl 5884 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. CC /\ c e. CC ) -> ( b .+ c ) e. CC )
416, 25, 40syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( b .+ c ) e. CC )
421fovcl 5884 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u .+ v ) e. CC )
4342adantl 275 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u .+ v ) e. CC )
448cnmetdval 12737 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b .+ c ) e. CC /\ ( u .+ v ) e. CC ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) = ( abs ` ( ( b .+ c ) - ( u .+ v ) ) ) )
45 abssub 10905 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b .+ c ) e. CC /\ ( u .+ v ) e. CC ) -> ( abs ` ( ( b .+ c ) - ( u .+ v ) ) ) = ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) )
4644, 45eqtrd 2173 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( b .+ c ) e. CC /\ ( u .+ v ) e. CC ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) = ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) )
4741, 43, 46syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) = ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) )
4847breq1d 3947 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a <-> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) )
4948biimprd 157 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) )
5039, 49imim12d 74 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) -> ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
5150ralimdvva 2504 . . . . . 6 |- ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) -> A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
52 breq2 3941 . . . . . . . . . 10 |- ( x = inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( ( b ( abs o. - ) u ) < x <-> ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) )
53 breq2 3941 . . . . . . . . . 10 |- ( x = inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( ( c ( abs o. - ) v ) < x <-> ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) )
5452, 53anbi12d 465 . . . . . . . . 9 |- ( x = inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) <-> ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) ) )
5554imbi1d 230 . . . . . . . 8 |- ( x = inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) <-> ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
56552ralbidv 2462 . . . . . . 7 |- ( x = inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) <-> A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
5756rspcev 2793 . . . . . 6 |- ( (inf ( { y , z } , RR , < ) e. RR+ /\ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) -> E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) )
585, 51, 57syl6an 1411 . . . . 5 |- ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) -> E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
5958rexlimdvva 2560 . . . 4 |- ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) -> ( E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) -> E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
603, 59mpd 13 . . 3 |- ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) -> E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) )
6160rgen3 2522 . 2 |- A. b e. CC A. c e. CC A. a e. RR+ E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a )
62 cnxmet 12739 . . 3 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
63 addcncntop.j . . . 4 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
6463, 63, 63txmetcn 12727 . . 3 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) ) -> ( .+ e. ( ( J tX J ) Cn J ) <-> ( .+ : ( CC X. CC ) --> CC /\ A. b e. CC A. c e. CC A. a e. RR+ E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) ) )
6562, 62, 62, 64mp3an 1316 . 2 |- ( .+ e. ( ( J tX J ) Cn J ) <-> ( .+ : ( CC X. CC ) --> CC /\ A. b e. CC A. c e. CC A. a e. RR+ E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
661, 61, 65mpbir2an 927 1 |- .+ e. ( ( J tX J ) Cn J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   {cpr 3533   class class class wbr 3937   X. cxp 4545   o. ccom 4551   -->wf 5127   ` cfv 5131  (class class class)co 5782  infcinf 6878   CCcc 7642   RRcr 7643   < clt 7824   - cmin 7957   RR+crp 9470   abscabs 10801   *Metcxmet 12188   MetOpencmopn 12193   Cn ccn 12393   tX ctx 12460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-map 6552  df-sup 6879  df-inf 6880  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-xneg 9589  df-xadd 9590  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-topgen 12180  df-psmet 12195  df-xmet 12196  df-met 12197  df-bl 12198  df-mopn 12199  df-top 12204  df-topon 12217  df-bases 12249  df-cn 12396  df-cnp 12397  df-tx 12461
This theorem is referenced by:  addcncntop  12760  subcncntop  12761  mulcncntop  12762
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