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Theorem addcncntoplem 14322
Description: Lemma for addcncntop 14323, subcncntop 14324, and mulcncntop 14325. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
addcncntop.j |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
addcn.2 |- .+ : ( CC X. CC ) --> CC
addcn.3 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) )
Assertion
Ref Expression
addcncntoplem |- .+ e. ( ( J tX J ) Cn J )
Distinct variable groups:   a, b, c, u, v, y, z, J   .+ , a, b, c, u, v, y, z
Proof of Theorem addcncntoplem
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcn.2 . 2 |- .+ : ( CC X. CC ) --> CC
2 addcn.3 . . . . 5 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) )
323coml 1211 . . . 4 |- ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) )
4 rpmincl 11259 . . . . . . 7 |- ( ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) -> inf ( { y , z } , RR , < ) e. RR+ )
54adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> inf ( { y , z } , RR , < ) e. RR+ )
6 simpll1 1037 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> b e. CC )
7 simprl 529 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> u e. CC )
8 eqid 2187 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
98cnmetdval 14300 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. CC /\ u e. CC ) -> ( b ( abs o. - ) u ) = ( abs ` ( b - u ) ) )
10 abssub 11123 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. CC /\ u e. CC ) -> ( abs ` ( b - u ) ) = ( abs ` ( u - b ) ) )
119, 10eqtrd 2220 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. CC /\ u e. CC ) -> ( b ( abs o. - ) u ) = ( abs ` ( u - b ) ) )
126, 7, 11syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( b ( abs o. - ) u ) = ( abs ` ( u - b ) ) )
1312breq1d 4025 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( abs ` ( u - b ) ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) )
147, 6subcld 8281 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u - b ) e. CC )
1514abscld 11203 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( u - b ) ) e. RR )
16 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> y e. RR+ )
1716rpred 9709 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> y e. RR )
18 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> z e. RR+ )
1918rpred 9709 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> z e. RR )
20 ltmininf 11256 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` ( u - b ) ) e. RR /\ y e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( abs ` ( u - b ) ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( u - b ) ) < z ) ) )
2115, 17, 19, 20syl3anc 1248 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( u - b ) ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( u - b ) ) < z ) ) )
2213, 21bitrd 188 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( u - b ) ) < z ) ) )
23 simpl 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( u - b ) ) < z ) -> ( abs ` ( u - b ) ) < y )
2422, 23biimtrdi 163 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( abs ` ( u - b ) ) < y ) )
25 simpll2 1038 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> c e. CC )
26 simprr 531 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> v e. CC )
278cnmetdval 14300 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c e. CC /\ v e. CC ) -> ( c ( abs o. - ) v ) = ( abs ` ( c - v ) ) )
28 abssub 11123 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c e. CC /\ v e. CC ) -> ( abs ` ( c - v ) ) = ( abs ` ( v - c ) ) )
2927, 28eqtrd 2220 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c e. CC /\ v e. CC ) -> ( c ( abs o. - ) v ) = ( abs ` ( v - c ) ) )
3025, 26, 29syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( c ( abs o. - ) v ) = ( abs ` ( v - c ) ) )
3130breq1d 4025 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( abs ` ( v - c ) ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) )
3226, 25subcld 8281 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( v - c ) e. CC )
3332abscld 11203 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( v - c ) ) e. RR )
34 ltmininf 11256 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` ( v - c ) ) e. RR /\ y e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( abs ` ( v - c ) ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( v - c ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) ) )
3533, 17, 19, 34syl3anc 1248 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( v - c ) ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( v - c ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) ) )
3631, 35bitrd 188 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( v - c ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) ) )
37 simpr 110 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` ( v - c ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( v - c ) ) < z )
3836, 37biimtrdi 163 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( abs ` ( v - c ) ) < z ) )
3924, 38anim12d 335 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) -> ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) ) )
401fovcl 5993 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. CC /\ c e. CC ) -> ( b .+ c ) e. CC )
416, 25, 40syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( b .+ c ) e. CC )
421fovcl 5993 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u .+ v ) e. CC )
4342adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u .+ v ) e. CC )
448cnmetdval 14300 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b .+ c ) e. CC /\ ( u .+ v ) e. CC ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) = ( abs ` ( ( b .+ c ) - ( u .+ v ) ) ) )
45 abssub 11123 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b .+ c ) e. CC /\ ( u .+ v ) e. CC ) -> ( abs ` ( ( b .+ c ) - ( u .+ v ) ) ) = ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) )
4644, 45eqtrd 2220 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( b .+ c ) e. CC /\ ( u .+ v ) e. CC ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) = ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) )
4741, 43, 46syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) = ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) )
4847breq1d 4025 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a <-> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) )
4948biimprd 158 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) )
5039, 49imim12d 74 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) -> ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
5150ralimdvva 2556 . . . . . 6 |- ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) -> A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
52 breq2 4019 . . . . . . . . . 10 |- ( x = inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( ( b ( abs o. - ) u ) < x <-> ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) )
53 breq2 4019 . . . . . . . . . 10 |- ( x = inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( ( c ( abs o. - ) v ) < x <-> ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) )
5452, 53anbi12d 473 . . . . . . . . 9 |- ( x = inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) <-> ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) ) )
5554imbi1d 231 . . . . . . . 8 |- ( x = inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) <-> ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
56552ralbidv 2511 . . . . . . 7 |- ( x = inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) <-> A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
5756rspcev 2853 . . . . . 6 |- ( (inf ( { y , z } , RR , < ) e. RR+ /\ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) -> E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) )
585, 51, 57syl6an 1444 . . . . 5 |- ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) -> E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
5958rexlimdvva 2612 . . . 4 |- ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) -> ( E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) -> E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
603, 59mpd 13 . . 3 |- ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) -> E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) )
6160rgen3 2574 . 2 |- A. b e. CC A. c e. CC A. a e. RR+ E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a )
62 cnxmet 14302 . . 3 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
63 addcncntop.j . . . 4 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
6463, 63, 63txmetcn 14290 . . 3 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) ) -> ( .+ e. ( ( J tX J ) Cn J ) <-> ( .+ : ( CC X. CC ) --> CC /\ A. b e. CC A. c e. CC A. a e. RR+ E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) ) )
6562, 62, 62, 64mp3an 1347 . 2 |- ( .+ e. ( ( J tX J ) Cn J ) <-> ( .+ : ( CC X. CC ) --> CC /\ A. b e. CC A. c e. CC A. a e. RR+ E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
661, 61, 65mpbir2an 943 1 |- .+ e. ( ( J tX J ) Cn J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 979   = wceq 1363   e. wcel 2158   A.wral 2465   E.wrex 2466   {cpr 3605   class class class wbr 4015   X. cxp 4636   o. ccom 4642   -->wf 5224   ` cfv 5228  (class class class)co 5888  infcinf 6995   CCcc 7822   RRcr 7823   < clt 8005   - cmin 8141   RR+crp 9666   abscabs 11019   *Metcxmet 13697   MetOpencmopn 13702   Cn ccn 13956   tX ctx 14023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-map 6663  df-sup 6996  df-inf 6997  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-xneg 9785  df-xadd 9786  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-topgen 12726  df-psmet 13704  df-xmet 13705  df-met 13706  df-bl 13707  df-mopn 13708  df-top 13769  df-topon 13782  df-bases 13814  df-cn 13959  df-cnp 13960  df-tx 14024
This theorem is referenced by:  addcncntop  14323  subcncntop  14324  mulcncntop  14325
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