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Theorem addcncntoplem 12720
Description: Lemma for addcncntop 12721, subcncntop 12722, and mulcncntop 12723. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
addcncntop.j |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
addcn.2 |- .+ : ( CC X. CC ) --> CC
addcn.3 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) )
Assertion
Ref Expression
addcncntoplem |- .+ e. ( ( J tX J ) Cn J )
Distinct variable groups:   a, b, c, u, v, y, z, J   .+ , a, b, c, u, v, y, z
Proof of Theorem addcncntoplem
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcn.2 . 2 |- .+ : ( CC X. CC ) --> CC
2 addcn.3 . . . . 5 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) )
323coml 1188 . . . 4 |- ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) )
4 rpmincl 11009 . . . . . . 7 |- ( ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) -> inf ( { y , z } , RR , < ) e. RR+ )
54adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> inf ( { y , z } , RR , < ) e. RR+ )
6 simpll1 1020 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> b e. CC )
7 simprl 520 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> u e. CC )
8 eqid 2139 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
98cnmetdval 12698 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. CC /\ u e. CC ) -> ( b ( abs o. - ) u ) = ( abs ` ( b - u ) ) )
10 abssub 10873 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. CC /\ u e. CC ) -> ( abs ` ( b - u ) ) = ( abs ` ( u - b ) ) )
119, 10eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. CC /\ u e. CC ) -> ( b ( abs o. - ) u ) = ( abs ` ( u - b ) ) )
126, 7, 11syl2anc 408 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( b ( abs o. - ) u ) = ( abs ` ( u - b ) ) )
1312breq1d 3939 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( abs ` ( u - b ) ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) )
147, 6subcld 8073 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u - b ) e. CC )
1514abscld 10953 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( u - b ) ) e. RR )
16 simplrl 524 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> y e. RR+ )
1716rpred 9483 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> y e. RR )
18 simplrr 525 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> z e. RR+ )
1918rpred 9483 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> z e. RR )
20 ltmininf 11006 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` ( u - b ) ) e. RR /\ y e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( abs ` ( u - b ) ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( u - b ) ) < z ) ) )
2115, 17, 19, 20syl3anc 1216 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( u - b ) ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( u - b ) ) < z ) ) )
2213, 21bitrd 187 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( u - b ) ) < z ) ) )
23 simpl 108 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( u - b ) ) < z ) -> ( abs ` ( u - b ) ) < y )
2422, 23syl6bi 162 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( abs ` ( u - b ) ) < y ) )
25 simpll2 1021 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> c e. CC )
26 simprr 521 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> v e. CC )
278cnmetdval 12698 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c e. CC /\ v e. CC ) -> ( c ( abs o. - ) v ) = ( abs ` ( c - v ) ) )
28 abssub 10873 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c e. CC /\ v e. CC ) -> ( abs ` ( c - v ) ) = ( abs ` ( v - c ) ) )
2927, 28eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c e. CC /\ v e. CC ) -> ( c ( abs o. - ) v ) = ( abs ` ( v - c ) ) )
3025, 26, 29syl2anc 408 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( c ( abs o. - ) v ) = ( abs ` ( v - c ) ) )
3130breq1d 3939 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( abs ` ( v - c ) ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) )
3226, 25subcld 8073 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( v - c ) e. CC )
3332abscld 10953 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( v - c ) ) e. RR )
34 ltmininf 11006 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` ( v - c ) ) e. RR /\ y e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( abs ` ( v - c ) ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( v - c ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) ) )
3533, 17, 19, 34syl3anc 1216 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( v - c ) ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( v - c ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) ) )
3631, 35bitrd 187 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( v - c ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) ) )
37 simpr 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` ( v - c ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( v - c ) ) < z )
3836, 37syl6bi 162 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( abs ` ( v - c ) ) < z ) )
3924, 38anim12d 333 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) -> ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) ) )
401fovcl 5876 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. CC /\ c e. CC ) -> ( b .+ c ) e. CC )
416, 25, 40syl2anc 408 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( b .+ c ) e. CC )
421fovcl 5876 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u .+ v ) e. CC )
4342adantl 275 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u .+ v ) e. CC )
448cnmetdval 12698 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b .+ c ) e. CC /\ ( u .+ v ) e. CC ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) = ( abs ` ( ( b .+ c ) - ( u .+ v ) ) ) )
45 abssub 10873 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b .+ c ) e. CC /\ ( u .+ v ) e. CC ) -> ( abs ` ( ( b .+ c ) - ( u .+ v ) ) ) = ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) )
4644, 45eqtrd 2172 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( b .+ c ) e. CC /\ ( u .+ v ) e. CC ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) = ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) )
4741, 43, 46syl2anc 408 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) = ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) )
4847breq1d 3939 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a <-> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) )
4948biimprd 157 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) )
5039, 49imim12d 74 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) -> ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
5150ralimdvva 2501 . . . . . 6 |- ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) -> A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
52 breq2 3933 . . . . . . . . . 10 |- ( x = inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( ( b ( abs o. - ) u ) < x <-> ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) )
53 breq2 3933 . . . . . . . . . 10 |- ( x = inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( ( c ( abs o. - ) v ) < x <-> ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) )
5452, 53anbi12d 464 . . . . . . . . 9 |- ( x = inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) <-> ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) ) )
5554imbi1d 230 . . . . . . . 8 |- ( x = inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) <-> ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
56552ralbidv 2459 . . . . . . 7 |- ( x = inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) <-> A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
5756rspcev 2789 . . . . . 6 |- ( (inf ( { y , z } , RR , < ) e. RR+ /\ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) -> E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) )
585, 51, 57syl6an 1410 . . . . 5 |- ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) -> E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
5958rexlimdvva 2557 . . . 4 |- ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) -> ( E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) -> E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
603, 59mpd 13 . . 3 |- ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) -> E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) )
6160rgen3 2519 . 2 |- A. b e. CC A. c e. CC A. a e. RR+ E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a )
62 cnxmet 12700 . . 3 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
63 addcncntop.j . . . 4 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
6463, 63, 63txmetcn 12688 . . 3 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) ) -> ( .+ e. ( ( J tX J ) Cn J ) <-> ( .+ : ( CC X. CC ) --> CC /\ A. b e. CC A. c e. CC A. a e. RR+ E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) ) )
6562, 62, 62, 64mp3an 1315 . 2 |- ( .+ e. ( ( J tX J ) Cn J ) <-> ( .+ : ( CC X. CC ) --> CC /\ A. b e. CC A. c e. CC A. a e. RR+ E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
661, 61, 65mpbir2an 926 1 |- .+ e. ( ( J tX J ) Cn J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   {cpr 3528   class class class wbr 3929   X. cxp 4537   o. ccom 4543   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774  infcinf 6870   CCcc 7618   RRcr 7619   < clt 7800   - cmin 7933   RR+crp 9441   abscabs 10769   *Metcxmet 12149   MetOpencmopn 12154   Cn ccn 12354   tX ctx 12421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-xneg 9559  df-xadd 9560  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-topgen 12141  df-psmet 12156  df-xmet 12157  df-met 12158  df-bl 12159  df-mopn 12160  df-top 12165  df-topon 12178  df-bases 12210  df-cn 12357  df-cnp 12358  df-tx 12422
This theorem is referenced by:  addcncntop  12721  subcncntop  12722  mulcncntop  12723
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