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Theorem addcncntoplem 13345
Description: Lemma for addcncntop 13346, subcncntop 13347, and mulcncntop 13348. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
addcncntop.j |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
addcn.2 |- .+ : ( CC X. CC ) --> CC
addcn.3 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) )
Assertion
Ref Expression
addcncntoplem |- .+ e. ( ( J tX J ) Cn J )
Distinct variable groups:   a, b, c, u, v, y, z, J   .+ , a, b, c, u, v, y, z
Proof of Theorem addcncntoplem
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcn.2 . 2 |- .+ : ( CC X. CC ) --> CC
2 addcn.3 . . . . 5 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) )
323coml 1205 . . . 4 |- ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) )
4 rpmincl 11201 . . . . . . 7 |- ( ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) -> inf ( { y , z } , RR , < ) e. RR+ )
54adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> inf ( { y , z } , RR , < ) e. RR+ )
6 simpll1 1031 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> b e. CC )
7 simprl 526 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> u e. CC )
8 eqid 2170 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
98cnmetdval 13323 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. CC /\ u e. CC ) -> ( b ( abs o. - ) u ) = ( abs ` ( b - u ) ) )
10 abssub 11065 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. CC /\ u e. CC ) -> ( abs ` ( b - u ) ) = ( abs ` ( u - b ) ) )
119, 10eqtrd 2203 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. CC /\ u e. CC ) -> ( b ( abs o. - ) u ) = ( abs ` ( u - b ) ) )
126, 7, 11syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( b ( abs o. - ) u ) = ( abs ` ( u - b ) ) )
1312breq1d 3999 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( abs ` ( u - b ) ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) )
147, 6subcld 8230 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u - b ) e. CC )
1514abscld 11145 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( u - b ) ) e. RR )
16 simplrl 530 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> y e. RR+ )
1716rpred 9653 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> y e. RR )
18 simplrr 531 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> z e. RR+ )
1918rpred 9653 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> z e. RR )
20 ltmininf 11198 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` ( u - b ) ) e. RR /\ y e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( abs ` ( u - b ) ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( u - b ) ) < z ) ) )
2115, 17, 19, 20syl3anc 1233 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( u - b ) ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( u - b ) ) < z ) ) )
2213, 21bitrd 187 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( u - b ) ) < z ) ) )
23 simpl 108 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( u - b ) ) < z ) -> ( abs ` ( u - b ) ) < y )
2422, 23syl6bi 162 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( abs ` ( u - b ) ) < y ) )
25 simpll2 1032 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> c e. CC )
26 simprr 527 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> v e. CC )
278cnmetdval 13323 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c e. CC /\ v e. CC ) -> ( c ( abs o. - ) v ) = ( abs ` ( c - v ) ) )
28 abssub 11065 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c e. CC /\ v e. CC ) -> ( abs ` ( c - v ) ) = ( abs ` ( v - c ) ) )
2927, 28eqtrd 2203 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c e. CC /\ v e. CC ) -> ( c ( abs o. - ) v ) = ( abs ` ( v - c ) ) )
3025, 26, 29syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( c ( abs o. - ) v ) = ( abs ` ( v - c ) ) )
3130breq1d 3999 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( abs ` ( v - c ) ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) )
3226, 25subcld 8230 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( v - c ) e. CC )
3332abscld 11145 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( v - c ) ) e. RR )
34 ltmininf 11198 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` ( v - c ) ) e. RR /\ y e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( abs ` ( v - c ) ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( v - c ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) ) )
3533, 17, 19, 34syl3anc 1233 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( v - c ) ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( v - c ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) ) )
3631, 35bitrd 187 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( v - c ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) ) )
37 simpr 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` ( v - c ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( v - c ) ) < z )
3836, 37syl6bi 162 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( abs ` ( v - c ) ) < z ) )
3924, 38anim12d 333 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) -> ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) ) )
401fovcl 5958 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. CC /\ c e. CC ) -> ( b .+ c ) e. CC )
416, 25, 40syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( b .+ c ) e. CC )
421fovcl 5958 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u .+ v ) e. CC )
4342adantl 275 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u .+ v ) e. CC )
448cnmetdval 13323 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b .+ c ) e. CC /\ ( u .+ v ) e. CC ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) = ( abs ` ( ( b .+ c ) - ( u .+ v ) ) ) )
45 abssub 11065 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b .+ c ) e. CC /\ ( u .+ v ) e. CC ) -> ( abs ` ( ( b .+ c ) - ( u .+ v ) ) ) = ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) )
4644, 45eqtrd 2203 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( b .+ c ) e. CC /\ ( u .+ v ) e. CC ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) = ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) )
4741, 43, 46syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) = ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) )
4847breq1d 3999 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a <-> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) )
4948biimprd 157 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) )
5039, 49imim12d 74 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) -> ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
5150ralimdvva 2539 . . . . . 6 |- ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) -> A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
52 breq2 3993 . . . . . . . . . 10 |- ( x = inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( ( b ( abs o. - ) u ) < x <-> ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) )
53 breq2 3993 . . . . . . . . . 10 |- ( x = inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( ( c ( abs o. - ) v ) < x <-> ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) )
5452, 53anbi12d 470 . . . . . . . . 9 |- ( x = inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) <-> ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) ) )
5554imbi1d 230 . . . . . . . 8 |- ( x = inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) <-> ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
56552ralbidv 2494 . . . . . . 7 |- ( x = inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) <-> A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
5756rspcev 2834 . . . . . 6 |- ( (inf ( { y , z } , RR , < ) e. RR+ /\ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) -> E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) )
585, 51, 57syl6an 1427 . . . . 5 |- ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) -> E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
5958rexlimdvva 2595 . . . 4 |- ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) -> ( E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) -> E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
603, 59mpd 13 . . 3 |- ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) -> E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) )
6160rgen3 2557 . 2 |- A. b e. CC A. c e. CC A. a e. RR+ E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a )
62 cnxmet 13325 . . 3 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
63 addcncntop.j . . . 4 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
6463, 63, 63txmetcn 13313 . . 3 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) ) -> ( .+ e. ( ( J tX J ) Cn J ) <-> ( .+ : ( CC X. CC ) --> CC /\ A. b e. CC A. c e. CC A. a e. RR+ E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) ) )
6562, 62, 62, 64mp3an 1332 . 2 |- ( .+ e. ( ( J tX J ) Cn J ) <-> ( .+ : ( CC X. CC ) --> CC /\ A. b e. CC A. c e. CC A. a e. RR+ E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
661, 61, 65mpbir2an 937 1 |- .+ e. ( ( J tX J ) Cn J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   {cpr 3584   class class class wbr 3989   X. cxp 4609   o. ccom 4615   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853  infcinf 6960   CCcc 7772   RRcr 7773   < clt 7954   - cmin 8090   RR+crp 9610   abscabs 10961   *Metcxmet 12774   MetOpencmopn 12779   Cn ccn 12979   tX ctx 13046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-map 6628  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-xadd 9730  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-topgen 12600  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-met 12783  df-bl 12784  df-mopn 12785  df-top 12790  df-topon 12803  df-bases 12835  df-cn 12982  df-cnp 12983  df-tx 13047
This theorem is referenced by:  addcncntop  13346  subcncntop  13347  mulcncntop  13348
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