ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcncntoplem Unicode version

Theorem addcncntoplem 14951
Description: Lemma for addcncntop 14952, subcncntop 14953, and mulcncntop 14954. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
addcncntop.j  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
addcn.2  |-  .+  :
( CC  X.  CC )
--> CC
addcn.3  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  CC  /\  c  e.  CC )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  .+  v
)  -  ( b 
.+  c ) ) )  <  a ) )
Assertion
Ref Expression
addcncntoplem  |-  .+  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
Distinct variable groups:    a, b, c, u, v, y, z, J    .+ , a, b, c, u, v, y, z

Proof of Theorem addcncntoplem
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcn.2 . 2  |-  .+  :
( CC  X.  CC )
--> CC
2 addcn.3 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  CC  /\  c  e.  CC )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  .+  v
)  -  ( b 
.+  c ) ) )  <  a ) )
323coml 1212 . . . 4  |-  ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  .+  v
)  -  ( b 
.+  c ) ) )  <  a ) )
4 rpmincl 11468 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )  -> inf ( { y ,  z } ,  RR ,  <  )  e.  RR+ )
54adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  -> inf ( {
y ,  z } ,  RR ,  <  )  e.  RR+ )
6 simpll1 1038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  b  e.  CC )
7 simprl 529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  u  e.  CC )
8 eqid 2204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
98cnmetdval 14919 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( b ( abs 
o.  -  ) u
)  =  ( abs `  ( b  -  u
) ) )
10 abssub 11331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( abs `  (
b  -  u ) )  =  ( abs `  ( u  -  b
) ) )
119, 10eqtrd 2237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( b ( abs 
o.  -  ) u
)  =  ( abs `  ( u  -  b
) ) )
126, 7, 11syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( b
( abs  o.  -  )
u )  =  ( abs `  ( u  -  b ) ) )
1312breq1d 4053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
b ( abs  o.  -  ) u )  < inf ( { y ,  z } ,  RR ,  <  )  <->  ( abs `  ( u  -  b
) )  < inf ( { y ,  z } ,  RR ,  <  ) ) )
147, 6subcld 8365 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( u  -  b )  e.  CC )
1514abscld 11411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( u  -  b
) )  e.  RR )
16 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  y  e.  RR+ )
1716rpred 9800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  y  e.  RR )
18 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  z  e.  RR+ )
1918rpred 9800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  z  e.  RR )
20 ltmininf 11465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  (
u  -  b ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( abs `  (
u  -  b ) )  < inf ( {
y ,  z } ,  RR ,  <  )  <-> 
( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( u  -  b ) )  <  z ) ) )
2115, 17, 19, 20syl3anc 1249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  b ) )  < inf ( { y ,  z } ,  RR ,  <  )  <->  ( ( abs `  ( u  -  b
) )  <  y  /\  ( abs `  (
u  -  b ) )  <  z ) ) )
2213, 21bitrd 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
b ( abs  o.  -  ) u )  < inf ( { y ,  z } ,  RR ,  <  )  <->  ( ( abs `  ( u  -  b ) )  < 
y  /\  ( abs `  ( u  -  b
) )  <  z
) ) )
23 simpl 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( u  -  b ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
u  -  b ) )  <  y )
2422, 23biimtrdi 163 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
b ( abs  o.  -  ) u )  < inf ( { y ,  z } ,  RR ,  <  )  -> 
( abs `  (
u  -  b ) )  <  y ) )
25 simpll2 1039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  c  e.  CC )
26 simprr 531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  v  e.  CC )
278cnmetdval 14919 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  =  ( abs `  ( c  -  v
) ) )
28 abssub 11331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( abs `  (
c  -  v ) )  =  ( abs `  ( v  -  c
) ) )
2927, 28eqtrd 2237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  =  ( abs `  ( v  -  c
) ) )
3025, 26, 29syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( c
( abs  o.  -  )
v )  =  ( abs `  ( v  -  c ) ) )
3130breq1d 4053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
c ( abs  o.  -  ) v )  < inf ( { y ,  z } ,  RR ,  <  )  <->  ( abs `  ( v  -  c
) )  < inf ( { y ,  z } ,  RR ,  <  ) ) )
3226, 25subcld 8365 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( v  -  c )  e.  CC )
3332abscld 11411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( v  -  c
) )  e.  RR )
34 ltmininf 11465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  (
v  -  c ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( abs `  (
v  -  c ) )  < inf ( {
y ,  z } ,  RR ,  <  )  <-> 
( ( abs `  (
v  -  c ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z ) ) )
3533, 17, 19, 34syl3anc 1249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( v  -  c ) )  < inf ( { y ,  z } ,  RR ,  <  )  <->  ( ( abs `  ( v  -  c
) )  <  y  /\  ( abs `  (
v  -  c ) )  <  z ) ) )
3631, 35bitrd 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
c ( abs  o.  -  ) v )  < inf ( { y ,  z } ,  RR ,  <  )  <->  ( ( abs `  ( v  -  c ) )  < 
y  /\  ( abs `  ( v  -  c
) )  <  z
) ) )
37 simpr 110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  (
v  -  c ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
v  -  c ) )  <  z )
3836, 37biimtrdi 163 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
c ( abs  o.  -  ) v )  < inf ( { y ,  z } ,  RR ,  <  )  -> 
( abs `  (
v  -  c ) )  <  z ) )
3924, 38anim12d 335 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( b ( abs 
o.  -  ) u
)  < inf ( {
y ,  z } ,  RR ,  <  )  /\  ( c ( abs  o.  -  )
v )  < inf ( { y ,  z } ,  RR ,  <  ) )  ->  (
( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z ) ) )
401fovcl 6041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC )  ->  ( b  .+  c
)  e.  CC )
416, 25, 40syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( b  .+  c )  e.  CC )
421fovcl 6041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( u  .+  v
)  e.  CC )
4342adantl 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( u  .+  v )  e.  CC )
448cnmetdval 14919 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  .+  c
)  e.  CC  /\  ( u  .+  v )  e.  CC )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  =  ( abs `  ( ( b  .+  c )  -  (
u  .+  v )
) ) )
45 abssub 11331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  .+  c
)  e.  CC  /\  ( u  .+  v )  e.  CC )  -> 
( abs `  (
( b  .+  c
)  -  ( u 
.+  v ) ) )  =  ( abs `  ( ( u  .+  v )  -  (
b  .+  c )
) ) )
4644, 45eqtrd 2237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  .+  c
)  e.  CC  /\  ( u  .+  v )  e.  CC )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  =  ( abs `  ( ( u  .+  v )  -  (
b  .+  c )
) ) )
4741, 43, 46syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
b  .+  c )
( abs  o.  -  )
( u  .+  v
) )  =  ( abs `  ( ( u  .+  v )  -  ( b  .+  c ) ) ) )
4847breq1d 4053 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( b  .+  c
) ( abs  o.  -  ) ( u 
.+  v ) )  <  a  <->  ( abs `  ( ( u  .+  v )  -  (
b  .+  c )
) )  <  a
) )
4948biimprd 158 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( ( u 
.+  v )  -  ( b  .+  c
) ) )  < 
a  ->  ( (
b  .+  c )
( abs  o.  -  )
( u  .+  v
) )  <  a
) )
5039, 49imim12d 74 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  .+  v
)  -  ( b 
.+  c ) ) )  <  a )  ->  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  < inf ( { y ,  z } ,  RR ,  <  )  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  < inf ( {
y ,  z } ,  RR ,  <  ) )  ->  ( (
b  .+  c )
( abs  o.  -  )
( u  .+  v
) )  <  a
) ) )
5150ralimdvva 2574 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  ( A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u 
.+  v )  -  ( b  .+  c
) ) )  < 
a )  ->  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  < inf ( { y ,  z } ,  RR ,  <  )  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  < inf ( {
y ,  z } ,  RR ,  <  ) )  ->  ( (
b  .+  c )
( abs  o.  -  )
( u  .+  v
) )  <  a
) ) )
52 breq2 4047 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  = inf ( { y ,  z } ,  RR ,  <  )  -> 
( ( b ( abs  o.  -  )
u )  <  x  <->  ( b ( abs  o.  -  ) u )  < inf ( { y ,  z } ,  RR ,  <  ) ) )
53 breq2 4047 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  = inf ( { y ,  z } ,  RR ,  <  )  -> 
( ( c ( abs  o.  -  )
v )  <  x  <->  ( c ( abs  o.  -  ) v )  < inf ( { y ,  z } ,  RR ,  <  ) ) )
5452, 53anbi12d 473 . . . . . . . . 9  |-  ( x  = inf ( { y ,  z } ,  RR ,  <  )  -> 
( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  < 
x  /\  ( c
( abs  o.  -  )
v )  <  x
)  <->  ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  < inf ( { y ,  z } ,  RR ,  <  )  /\  ( c ( abs  o.  -  ) v )  < inf ( { y ,  z } ,  RR ,  <  ) ) ) )
5554imbi1d 231 . . . . . . . 8  |-  ( x  = inf ( { y ,  z } ,  RR ,  <  )  -> 
( ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  x  /\  (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  x )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )  <->  ( ( ( b ( abs  o.  -  )
u )  < inf ( { y ,  z } ,  RR ,  <  )  /\  ( c ( abs  o.  -  ) v )  < inf ( { y ,  z } ,  RR ,  <  ) )  ->  (
( b  .+  c
) ( abs  o.  -  ) ( u 
.+  v ) )  <  a ) ) )
56552ralbidv 2529 . . . . . . 7  |-  ( x  = inf ( { y ,  z } ,  RR ,  <  )  -> 
( A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  x  /\  (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  x )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )  <->  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( b ( abs  o.  -  )
u )  < inf ( { y ,  z } ,  RR ,  <  )  /\  ( c ( abs  o.  -  ) v )  < inf ( { y ,  z } ,  RR ,  <  ) )  ->  (
( b  .+  c
) ( abs  o.  -  ) ( u 
.+  v ) )  <  a ) ) )
5756rspcev 2876 . . . . . 6  |-  ( (inf ( { y ,  z } ,  RR ,  <  )  e.  RR+  /\ 
A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( b ( abs  o.  -  )
u )  < inf ( { y ,  z } ,  RR ,  <  )  /\  ( c ( abs  o.  -  ) v )  < inf ( { y ,  z } ,  RR ,  <  ) )  ->  (
( b  .+  c
) ( abs  o.  -  ) ( u 
.+  v ) )  <  a ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( b ( abs  o.  -  )
u )  <  x  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  <  x )  ->  ( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
)
585, 51, 57syl6an 1453 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  ( A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u 
.+  v )  -  ( b  .+  c
) ) )  < 
a )  ->  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  x  /\  (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  x )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
) )
5958rexlimdvva 2630 . . . 4  |-  ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u 
.+  v )  -  ( b  .+  c
) ) )  < 
a )  ->  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  x  /\  (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  x )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
) )
603, 59mpd 13 . . 3  |-  ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  x  /\  (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  x )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
)
6160rgen3 2592 . 2  |-  A. b  e.  CC  A. c  e.  CC  A. a  e.  RR+  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( b ( abs  o.  -  )
u )  <  x  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  <  x )  ->  ( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
62 cnxmet 14921 . . 3  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
63 addcncntop.j . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
6463, 63, 63txmetcn 14909 . . 3  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )  ->  (  .+  e.  ( ( J 
tX  J )  Cn  J )  <->  (  .+  : ( CC  X.  CC ) --> CC  /\  A. b  e.  CC  A. c  e.  CC  A. a  e.  RR+  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( b ( abs  o.  -  )
u )  <  x  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  <  x )  ->  ( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
) ) )
6562, 62, 62, 64mp3an 1349 . 2  |-  (  .+  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)  <->  (  .+  :
( CC  X.  CC )
--> CC  /\  A. b  e.  CC  A. c  e.  CC  A. a  e.  RR+  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( b ( abs  o.  -  )
u )  <  x  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  <  x )  ->  ( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
) )
661, 61, 65mpbir2an 944 1  |-  .+  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 980    = wceq 1372    e. wcel 2175   A.wral 2483   E.wrex 2484   {cpr 3633   class class class wbr 4043    X. cxp 4671    o. ccom 4677   -->wf 5264   ` cfv 5268  (class class class)co 5934  infcinf 7067   CCcc 7905   RRcr 7906    < clt 8089    - cmin 8225   RR+crp 9757   abscabs 11227   *Metcxmet 14216   MetOpencmopn 14221    Cn ccn 14575    tX ctx 14642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024  ax-pre-mulext 8025  ax-arch 8026  ax-caucvg 8027
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-po 4341  df-iso 4342  df-iord 4411  df-on 4413  df-ilim 4414  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-isom 5277  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-recs 6381  df-frec 6467  df-map 6727  df-sup 7068  df-inf 7069  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-ap 8637  df-div 8728  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-4 9079  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631  df-q 9723  df-rp 9758  df-xneg 9876  df-xadd 9877  df-seqfrec 10574  df-exp 10665  df-cj 11072  df-re 11073  df-im 11074  df-rsqrt 11228  df-abs 11229  df-topgen 13010  df-psmet 14223  df-xmet 14224  df-met 14225  df-bl 14226  df-mopn 14227  df-top 14388  df-topon 14401  df-bases 14433  df-cn 14578  df-cnp 14579  df-tx 14643
This theorem is referenced by:  addcncntop  14952  subcncntop  14953  mulcncntop  14954  mpomulcn  14956
  Copyright terms: Public domain W3C validator