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Theorem addcncntoplem 15552
Description: Lemma for addcncntop 15553, subcncntop 15554, and mulcncntop 15555. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
addcncntop.j |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
addcn.2 |- .+ : ( CC X. CC ) --> CC
addcn.3 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) )
Assertion
Ref Expression
addcncntoplem |- .+ e. ( ( J tX J ) Cn J )
Distinct variable groups:   a, b, c, u, v, y, z, J   .+ , a, b, c, u, v, y, z
Proof of Theorem addcncntoplem
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcn.2 . 2 |- .+ : ( CC X. CC ) --> CC
2 addcn.3 . . . . 5 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) )
323coml 1237 . . . 4 |- ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) )
4 rpmincl 11948 . . . . . . 7 |- ( ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) -> inf ( { y , z } , RR , < ) e. RR+ )
54adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> inf ( { y , z } , RR , < ) e. RR+ )
6 simpll1 1063 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> b e. CC )
7 simprl 531 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> u e. CC )
8 eqid 2234 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
98cnmetdval 15520 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. CC /\ u e. CC ) -> ( b ( abs o. - ) u ) = ( abs ` ( b - u ) ) )
10 abssub 11811 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. CC /\ u e. CC ) -> ( abs ` ( b - u ) ) = ( abs ` ( u - b ) ) )
119, 10eqtrd 2267 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. CC /\ u e. CC ) -> ( b ( abs o. - ) u ) = ( abs ` ( u - b ) ) )
126, 7, 11syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( b ( abs o. - ) u ) = ( abs ` ( u - b ) ) )
1312breq1d 4124 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( abs ` ( u - b ) ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) )
147, 6subcld 8600 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u - b ) e. CC )
1514abscld 11891 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( u - b ) ) e. RR )
16 simplrl 537 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> y e. RR+ )
1716rpred 10047 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> y e. RR )
18 simplrr 538 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> z e. RR+ )
1918rpred 10047 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> z e. RR )
20 ltmininf 11945 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` ( u - b ) ) e. RR /\ y e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( abs ` ( u - b ) ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( u - b ) ) < z ) ) )
2115, 17, 19, 20syl3anc 1274 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( u - b ) ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( u - b ) ) < z ) ) )
2213, 21bitrd 188 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( u - b ) ) < z ) ) )
23 simpl 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( u - b ) ) < z ) -> ( abs ` ( u - b ) ) < y )
2422, 23biimtrdi 163 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( abs ` ( u - b ) ) < y ) )
25 simpll2 1064 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> c e. CC )
26 simprr 533 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> v e. CC )
278cnmetdval 15520 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c e. CC /\ v e. CC ) -> ( c ( abs o. - ) v ) = ( abs ` ( c - v ) ) )
28 abssub 11811 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c e. CC /\ v e. CC ) -> ( abs ` ( c - v ) ) = ( abs ` ( v - c ) ) )
2927, 28eqtrd 2267 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c e. CC /\ v e. CC ) -> ( c ( abs o. - ) v ) = ( abs ` ( v - c ) ) )
3025, 26, 29syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( c ( abs o. - ) v ) = ( abs ` ( v - c ) ) )
3130breq1d 4124 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( abs ` ( v - c ) ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) )
3226, 25subcld 8600 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( v - c ) e. CC )
3332abscld 11891 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( v - c ) ) e. RR )
34 ltmininf 11945 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` ( v - c ) ) e. RR /\ y e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( abs ` ( v - c ) ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( v - c ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) ) )
3533, 17, 19, 34syl3anc 1274 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( v - c ) ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( v - c ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) ) )
3631, 35bitrd 188 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( v - c ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) ) )
37 simpr 110 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` ( v - c ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( v - c ) ) < z )
3836, 37biimtrdi 163 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( abs ` ( v - c ) ) < z ) )
3924, 38anim12d 335 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) -> ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) ) )
401fovcl 6167 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. CC /\ c e. CC ) -> ( b .+ c ) e. CC )
416, 25, 40syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( b .+ c ) e. CC )
421fovcl 6167 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u .+ v ) e. CC )
4342adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u .+ v ) e. CC )
448cnmetdval 15520 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b .+ c ) e. CC /\ ( u .+ v ) e. CC ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) = ( abs ` ( ( b .+ c ) - ( u .+ v ) ) ) )
45 abssub 11811 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b .+ c ) e. CC /\ ( u .+ v ) e. CC ) -> ( abs ` ( ( b .+ c ) - ( u .+ v ) ) ) = ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) )
4644, 45eqtrd 2267 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( b .+ c ) e. CC /\ ( u .+ v ) e. CC ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) = ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) )
4741, 43, 46syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) = ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) )
4847breq1d 4124 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a <-> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) )
4948biimprd 158 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) )
5039, 49imim12d 74 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) -> ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
5150ralimdvva 2613 . . . . . 6 |- ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) -> A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
52 breq2 4118 . . . . . . . . . 10 |- ( x = inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( ( b ( abs o. - ) u ) < x <-> ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) )
53 breq2 4118 . . . . . . . . . 10 |- ( x = inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( ( c ( abs o. - ) v ) < x <-> ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) )
5452, 53anbi12d 473 . . . . . . . . 9 |- ( x = inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) <-> ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) ) )
5554imbi1d 231 . . . . . . . 8 |- ( x = inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) <-> ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
56552ralbidv 2568 . . . . . . 7 |- ( x = inf ( { y , z } , RR , < ) -> ( A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) <-> A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
5756rspcev 2923 . . . . . 6 |- ( (inf ( { y , z } , RR , < ) e. RR+ /\ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < inf ( { y , z } , RR , < ) /\ ( c ( abs o. - ) v ) < inf ( { y , z } , RR , < ) ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) -> E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) )
585, 51, 57syl6an 1479 . . . . 5 |- ( ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) -> E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
5958rexlimdvva 2670 . . . 4 |- ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) -> ( E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < y /\ ( abs ` ( v - c ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u .+ v ) - ( b .+ c ) ) ) < a ) -> E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
603, 59mpd 13 . . 3 |- ( ( b e. CC /\ c e. CC /\ a e. RR+ ) -> E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) )
6160rgen3 2631 . 2 |- A. b e. CC A. c e. CC A. a e. RR+ E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a )
62 cnxmet 15522 . . 3 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
63 addcncntop.j . . . 4 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
6463, 63, 63txmetcn 15510 . . 3 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) ) -> ( .+ e. ( ( J tX J ) Cn J ) <-> ( .+ : ( CC X. CC ) --> CC /\ A. b e. CC A. c e. CC A. a e. RR+ E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) ) )
6562, 62, 62, 64mp3an 1374 . 2 |- ( .+ e. ( ( J tX J ) Cn J ) <-> ( .+ : ( CC X. CC ) --> CC /\ A. b e. CC A. c e. CC A. a e. RR+ E. x e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( b ( abs o. - ) u ) < x /\ ( c ( abs o. - ) v ) < x ) -> ( ( b .+ c ) ( abs o. - ) ( u .+ v ) ) < a ) ) )
661, 61, 65mpbir2an 951 1 |- .+ e. ( ( J tX J ) Cn J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   {cpr 3695   class class class wbr 4114   X. cxp 4752   o. ccom 4758   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058  infcinf 7287   CCcc 8141   RRcr 8142   < clt 8324   - cmin 8460   RR+crp 10004   abscabs 11707   *Metcxmet 14810   MetOpencmopn 14815   Cn ccn 15176   tX ctx 15243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-map 6897  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-xneg 10124  df-xadd 10125  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-topgen 13557  df-psmet 14817  df-xmet 14818  df-met 14819  df-bl 14820  df-mopn 14821  df-top 14989  df-topon 15002  df-bases 15034  df-cn 15179  df-cnp 15180  df-tx 15244
This theorem is referenced by:  addcncntop  15553  subcncntop  15554  mulcncntop  15555  mpomulcn  15557
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