Theorem fzoval 10538

Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoval	|- ( N e. ZZ -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )

Proof of Theorem fzoval

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 10535	. . . 4 |- ( x e. ( M..^ N ) -> M e. ZZ )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( x e. ( M..^ N ) -> M e. ZZ ) )
3		elfzel1 10410	. . . 4 |- ( x e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> M e. ZZ )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( x e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> M e. ZZ ) )
5		peano2zm 9665	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
6		fzf 10398	. . . . . . . 8 |- ... : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ
7	6	fovcl 6188	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( M ... ( N - 1 ) ) e. ~P ZZ )
8	5, 7	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... ( N - 1 ) ) e. ~P ZZ )
9		id 19	. . . . . . . 8 |- ( y = M -> y = M )
10		oveq1 6086	. . . . . . . 8 |- ( z = N -> ( z - 1 ) = ( N - 1 ) )
11	9, 10	oveqan12d 6098	. . . . . . 7 |- ( ( y = M /\ z = N ) -> ( y ... ( z - 1 ) ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
12		df-fzo 10533	. . . . . . 7 |- ..^ = ( y e. ZZ , z e. ZZ |-> ( y ... ( z - 1 ) ) )
13	11, 12	ovmpoga 6212	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( M ... ( N - 1 ) ) e. ~P ZZ ) -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
14	8, 13	mpd3an3 1379	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
15	14	eleq2d 2308	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( x e. ( M..^ N ) <-> x e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) )
16	15	expcom 116	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( x e. ( M..^ N ) <-> x e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) ) )
17	2, 4, 16	pm5.21ndd 717	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( x e. ( M..^ N ) <-> x e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) )
18	17	eqrdv 2236	1 |- ( N e. ZZ -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   ~Pcpw 3688  (class class class)co 6079   1c1 8174   - cmin 8491   ZZcz 9627   ...cfz 10394  ..^cfzo 10532

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395  df-fzo 10533

This theorem is used by:  elfzo  10539  fzodcel  10543  fzon  10557  fzoss1  10563  fzoss2  10564  fz1fzo0m1  10584  fzval3  10605  fzo0to2pr  10619  fzo0to3tp  10620  fzo0to42pr  10621  fzoend  10623  fzofzp1b  10629  elfzom1b  10630  peano2fzor  10633  fzoshftral  10640  zmodfzo  10767  zmodidfzo  10773  fzofig  10852  hashfzo  11246  wrdffz  11308  fzosump1  12167  telfsumo  12216  fsumparts  12220  geoserap  12257  geo2sum2  12265  dfphi2  12981  reumodprminv  13015  gzsumwsubmcl  13784  gzsumwmhm  13786