ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzoval Unicode version

Theorem fzoval 10121
Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzoval  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )

Proof of Theorem fzoval
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzoel1 10118 . . . 4  |-  ( x  e.  ( M..^ N
)  ->  M  e.  ZZ )
21a1i 9 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
x  e.  ( M..^ N )  ->  M  e.  ZZ ) )
3 elfzel1 9997 . . . 4  |-  ( x  e.  ( M ... ( N  -  1
) )  ->  M  e.  ZZ )
43a1i 9 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
x  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) )  ->  M  e.  ZZ )
)
5 peano2zm 9267 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
6 fzf 9986 . . . . . . . 8  |-  ... :
( ZZ  X.  ZZ )
--> ~P ZZ
76fovcl 5973 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( M ... ( N  -  1
) )  e.  ~P ZZ )
85, 7sylan2 286 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M ... ( N  -  1 ) )  e.  ~P ZZ )
9 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  M  ->  y  =  M )
10 oveq1 5875 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  N  ->  (
z  -  1 )  =  ( N  - 
1 ) )
119, 10oveqan12d 5887 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  M  /\  z  =  N )  ->  ( y ... (
z  -  1 ) )  =  ( M ... ( N  - 
1 ) ) )
12 df-fzo 10116 . . . . . . 7  |- ..^  =  ( y  e.  ZZ , 
z  e.  ZZ  |->  ( y ... ( z  -  1 ) ) )
1311, 12ovmpoga 5997 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M ... ( N  - 
1 ) )  e. 
~P ZZ )  -> 
( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1
) ) )
148, 13mpd3an3 1338 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1
) ) )
1514eleq2d 2247 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( M..^ N )  <->  x  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ) )
1615expcom 116 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( x  e.  ( M..^ N )  <->  x  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ) ) )
172, 4, 16pm5.21ndd 705 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
x  e.  ( M..^ N )  <->  x  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ) )
1817eqrdv 2175 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   ~Pcpw 3574  (class class class)co 5868   1c1 7790    - cmin 8105   ZZcz 9229   ...cfz 9982  ..^cfzo 10115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-inn 8896  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-fz 9983  df-fzo 10116
This theorem is referenced by:  elfzo  10122  fzodcel  10125  fzon  10139  fzoss1  10144  fzoss2  10145  fzval3  10177  fzo0to2pr  10191  fzo0to3tp  10192  fzo0to42pr  10193  fzoend  10195  fzofzp1b  10201  elfzom1b  10202  peano2fzor  10205  fzoshftral  10211  zmodfzo  10320  zmodidfzo  10326  fzofig  10405  hashfzo  10773  fzosump1  11396  telfsumo  11445  fsumparts  11449  geoserap  11486  geo2sum2  11494  dfphi2  12190  reumodprminv  12223
  Copyright terms: Public domain W3C validator