Theorem fzoval 10382

Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoval	|- ( N e. ZZ -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )

Proof of Theorem fzoval

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 10379	. . . 4 |- ( x e. ( M..^ N ) -> M e. ZZ )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( x e. ( M..^ N ) -> M e. ZZ ) )
3		elfzel1 10258	. . . 4 |- ( x e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> M e. ZZ )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( x e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> M e. ZZ ) )
5		peano2zm 9516	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
6		fzf 10246	. . . . . . . 8 |- ... : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ
7	6	fovcl 6126	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( M ... ( N - 1 ) ) e. ~P ZZ )
8	5, 7	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... ( N - 1 ) ) e. ~P ZZ )
9		id 19	. . . . . . . 8 |- ( y = M -> y = M )
10		oveq1 6024	. . . . . . . 8 |- ( z = N -> ( z - 1 ) = ( N - 1 ) )
11	9, 10	oveqan12d 6036	. . . . . . 7 |- ( ( y = M /\ z = N ) -> ( y ... ( z - 1 ) ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
12		df-fzo 10377	. . . . . . 7 |- ..^ = ( y e. ZZ , z e. ZZ |-> ( y ... ( z - 1 ) ) )
13	11, 12	ovmpoga 6150	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( M ... ( N - 1 ) ) e. ~P ZZ ) -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
14	8, 13	mpd3an3 1374	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
15	14	eleq2d 2301	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( x e. ( M..^ N ) <-> x e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) )
16	15	expcom 116	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( x e. ( M..^ N ) <-> x e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) ) )
17	2, 4, 16	pm5.21ndd 712	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( x e. ( M..^ N ) <-> x e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) )
18	17	eqrdv 2229	1 |- ( N e. ZZ -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   ~Pcpw 3652  (class class class)co 6017   1c1 8032   - cmin 8349   ZZcz 9478   ...cfz 10242  ..^cfzo 10376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377

This theorem is referenced by:  elfzo  10383  fzodcel  10387  fzon  10401  fzoss1  10407  fzoss2  10408  fz1fzo0m1  10427  fzval3  10448  fzo0to2pr  10462  fzo0to3tp  10463  fzo0to42pr  10464  fzoend  10466  fzofzp1b  10472  elfzom1b  10473  peano2fzor  10476  fzoshftral  10483  zmodfzo  10608  zmodidfzo  10614  fzofig  10693  hashfzo  11085  wrdffz  11133  fzosump1  11977  telfsumo  12026  fsumparts  12030  geoserap  12067  geo2sum2  12075  dfphi2  12791  reumodprminv  12825  gsumwsubmcl  13578  gsumwmhm  13580