Theorem fzoval 9925

Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoval	|- ( N e. ZZ -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )

Proof of Theorem fzoval

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 9922	. . . 4 |- ( x e. ( M..^ N ) -> M e. ZZ )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( x e. ( M..^ N ) -> M e. ZZ ) )
3		elfzel1 9805	. . . 4 |- ( x e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> M e. ZZ )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( x e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> M e. ZZ ) )
5		peano2zm 9092	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
6		fzf 9794	. . . . . . . 8 |- ... : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ
7	6	fovcl 5876	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( M ... ( N - 1 ) ) e. ~P ZZ )
8	5, 7	sylan2 284	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... ( N - 1 ) ) e. ~P ZZ )
9		id 19	. . . . . . . 8 |- ( y = M -> y = M )
10		oveq1 5781	. . . . . . . 8 |- ( z = N -> ( z - 1 ) = ( N - 1 ) )
11	9, 10	oveqan12d 5793	. . . . . . 7 |- ( ( y = M /\ z = N ) -> ( y ... ( z - 1 ) ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
12		df-fzo 9920	. . . . . . 7 |- ..^ = ( y e. ZZ , z e. ZZ |-> ( y ... ( z - 1 ) ) )
13	11, 12	ovmpoga 5900	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( M ... ( N - 1 ) ) e. ~P ZZ ) -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
14	8, 13	mpd3an3 1316	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
15	14	eleq2d 2209	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( x e. ( M..^ N ) <-> x e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) )
16	15	expcom 115	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( x e. ( M..^ N ) <-> x e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) ) )
17	2, 4, 16	pm5.21ndd 694	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( x e. ( M..^ N ) <-> x e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) )
18	17	eqrdv 2137	1 |- ( N e. ZZ -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   ~Pcpw 3510  (class class class)co 5774   1c1 7621   - cmin 7933   ZZcz 9054   ...cfz 9790  ..^cfzo 9919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791  df-fzo 9920

This theorem is referenced by:  elfzo  9926  fzodcel  9929  fzon  9943  fzoss1  9948  fzoss2  9949  fzval3  9981  fzo0to2pr  9995  fzo0to3tp  9996  fzo0to42pr  9997  fzoend  9999  fzofzp1b  10005  elfzom1b  10006  peano2fzor  10009  fzoshftral  10015  zmodfzo  10120  zmodidfzo  10126  fzofig  10205  hashfzo  10568  fzosump1  11186  telfsumo  11235  fsumparts  11239  geoserap  11276  geo2sum2  11284  dfphi2  11896