Theorem ffnov 6051

Description: An operation maps to a class to which all values belong. (Contributed by NM, 7-Feb-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ffnov	|- ( F : ( A X. B ) --> C <-> ( F Fn ( A X. B ) /\ A. x e. A A. y e. B ( x F y ) e. C ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y   x, F, y

Proof of Theorem ffnov

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffnfv 5740	. 2 |- ( F : ( A X. B ) --> C <-> ( F Fn ( A X. B ) /\ A. w e. ( A X. B ) ( F ` w ) e. C ) )
2		fveq2 5578	. . . . . 6 |- ( w = <. x , y >. -> ( F ` w ) = ( F ` <. x , y >. ) )
3		df-ov 5949	. . . . . 6 |- ( x F y ) = ( F ` <. x , y >. )
4	2, 3	eqtr4di 2256	. . . . 5 |- ( w = <. x , y >. -> ( F ` w ) = ( x F y ) )
5	4	eleq1d 2274	. . . 4 |- ( w = <. x , y >. -> ( ( F ` w ) e. C <-> ( x F y ) e. C ) )
6	5	ralxp 4822	. . 3 |- ( A. w e. ( A X. B ) ( F ` w ) e. C <-> A. x e. A A. y e. B ( x F y ) e. C )
7	6	anbi2i 457	. 2 |- ( ( F Fn ( A X. B ) /\ A. w e. ( A X. B ) ( F ` w ) e. C ) <-> ( F Fn ( A X. B ) /\ A. x e. A A. y e. B ( x F y ) e. C ) )
8	1, 7	bitri 184	1 |- ( F : ( A X. B ) --> C <-> ( F Fn ( A X. B ) /\ A. x e. A A. y e. B ( x F y ) e. C ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   <.cop 3636   X. cxp 4674   Fn wfn 5267   -->wf 5268   ` cfv 5272  (class class class)co 5946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-ov 5949

This theorem is referenced by:  fovcld  6052  axaddf  7983  axmulf  7984  txdis1cn  14783  isxmet2d  14853  xmetresbl  14945  comet  15004  tgqioo  15060  mpodvdsmulf1o  15495