Theorem ffnov 5925

Description: An operation maps to a class to which all values belong. (Contributed by NM, 7-Feb-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ffnov	|- ( F : ( A X. B ) --> C <-> ( F Fn ( A X. B ) /\ A. x e. A A. y e. B ( x F y ) e. C ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y   x, F, y

Proof of Theorem ffnov

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffnfv 5625	. 2 |- ( F : ( A X. B ) --> C <-> ( F Fn ( A X. B ) /\ A. w e. ( A X. B ) ( F ` w ) e. C ) )
2		fveq2 5468	. . . . . 6 |- ( w = <. x , y >. -> ( F ` w ) = ( F ` <. x , y >. ) )
3		df-ov 5827	. . . . . 6 |- ( x F y ) = ( F ` <. x , y >. )
4	2, 3	eqtr4di 2208	. . . . 5 |- ( w = <. x , y >. -> ( F ` w ) = ( x F y ) )
5	4	eleq1d 2226	. . . 4 |- ( w = <. x , y >. -> ( ( F ` w ) e. C <-> ( x F y ) e. C ) )
6	5	ralxp 4729	. . 3 |- ( A. w e. ( A X. B ) ( F ` w ) e. C <-> A. x e. A A. y e. B ( x F y ) e. C )
7	6	anbi2i 453	. 2 |- ( ( F Fn ( A X. B ) /\ A. w e. ( A X. B ) ( F ` w ) e. C ) <-> ( F Fn ( A X. B ) /\ A. x e. A A. y e. B ( x F y ) e. C ) )
8	1, 7	bitri 183	1 |- ( F : ( A X. B ) --> C <-> ( F Fn ( A X. B ) /\ A. x e. A A. y e. B ( x F y ) e. C ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   <.cop 3563   X. cxp 4584   Fn wfn 5165   -->wf 5166   ` cfv 5170  (class class class)co 5824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-fv 5178  df-ov 5827

This theorem is referenced by:  fovcl  5926  axaddf  7788  axmulf  7789  txdis1cn  12689  isxmet2d  12759  xmetresbl  12851  comet  12910  tgqioo  12958