ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecex Unicode version

Theorem frecex 6115
Description: Finite recursion produces a set. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
frecex  |- frec ( F ,  A )  e. 
_V

Proof of Theorem frecex
Dummy variables  g  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-frec 6112 . 2  |- frec ( F ,  A )  =  (recs ( ( g  e.  _V  |->  { x  |  ( E. m  e.  om  ( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  (
g `  m )
) )  \/  ( dom  g  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) } ) )  |`  om )
2 tfrfun 6041 . . 3  |-  Fun recs (
( g  e.  _V  |->  { x  |  ( E. m  e.  om  ( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( g `
 m ) ) )  \/  ( dom  g  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) } ) )
3 omex 4383 . . 3  |-  om  e.  _V
4 resfunexg 5481 . . 3  |-  ( ( Fun recs ( ( g  e.  _V  |->  { x  |  ( E. m  e.  om  ( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  (
g `  m )
) )  \/  ( dom  g  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) } ) )  /\  om  e.  _V )  ->  (recs ( ( g  e. 
_V  |->  { x  |  ( E. m  e. 
om  ( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  (
g `  m )
) )  \/  ( dom  g  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) } ) )  |`  om )  e.  _V )
52, 3, 4mp2an 417 . 2  |-  (recs ( ( g  e.  _V  |->  { x  |  ( E. m  e.  om  ( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( g `
 m ) ) )  \/  ( dom  g  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) } ) )  |`  om )  e.  _V
61, 5eqeltri 2157 1  |- frec ( F ,  A )  e. 
_V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    \/ wo 662    = wceq 1287    e. wcel 1436   {cab 2071   E.wrex 2356   _Vcvv 2615   (/)c0 3275    |-> cmpt 3876   suc csuc 4168   omcom 4380   dom cdm 4413    |` cres 4415   Fun wfun 4977   ` cfv 4983  recscrecs 6025  freccfrec 6111
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-setind 4328  ax-iinf 4378
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-id 4096  df-iord 4169  df-on 4171  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-recs 6026  df-frec 6112
This theorem is referenced by:  iseqex  9786
  Copyright terms: Public domain W3C validator