ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecex Unicode version

Theorem frecex 6394
Description: Finite recursion produces a set. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
frecex  |- frec ( F ,  A )  e. 
_V

Proof of Theorem frecex
Dummy variables  g  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-frec 6391 . 2  |- frec ( F ,  A )  =  (recs ( ( g  e.  _V  |->  { x  |  ( E. m  e.  om  ( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  (
g `  m )
) )  \/  ( dom  g  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) } ) )  |`  om )
2 tfrfun 6320 . . 3  |-  Fun recs (
( g  e.  _V  |->  { x  |  ( E. m  e.  om  ( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( g `
 m ) ) )  \/  ( dom  g  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) } ) )
3 omex 4592 . . 3  |-  om  e.  _V
4 resfunexg 5737 . . 3  |-  ( ( Fun recs ( ( g  e.  _V  |->  { x  |  ( E. m  e.  om  ( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  (
g `  m )
) )  \/  ( dom  g  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) } ) )  /\  om  e.  _V )  ->  (recs ( ( g  e. 
_V  |->  { x  |  ( E. m  e. 
om  ( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  (
g `  m )
) )  \/  ( dom  g  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) } ) )  |`  om )  e.  _V )
52, 3, 4mp2an 426 . 2  |-  (recs ( ( g  e.  _V  |->  { x  |  ( E. m  e.  om  ( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( g `
 m ) ) )  \/  ( dom  g  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) } ) )  |`  om )  e.  _V
61, 5eqeltri 2250 1  |- frec ( F ,  A )  e. 
_V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    \/ wo 708    = wceq 1353    e. wcel 2148   {cab 2163   E.wrex 2456   _Vcvv 2737   (/)c0 3422    |-> cmpt 4064   suc csuc 4365   omcom 4589   dom cdm 4626    |` cres 4628   Fun wfun 5210   ` cfv 5216  recscrecs 6304  freccfrec 6390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-recs 6305  df-frec 6391
This theorem is referenced by:  seqex  10446  ctinfom  12428
  Copyright terms: Public domain W3C validator