ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecex Unicode version

Theorem frecex 6344
Description: Finite recursion produces a set. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
frecex  |- frec ( F ,  A )  e. 
_V

Proof of Theorem frecex
Dummy variables  g  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-frec 6341 . 2  |- frec ( F ,  A )  =  (recs ( ( g  e.  _V  |->  { x  |  ( E. m  e.  om  ( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  (
g `  m )
) )  \/  ( dom  g  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) } ) )  |`  om )
2 tfrfun 6270 . . 3  |-  Fun recs (
( g  e.  _V  |->  { x  |  ( E. m  e.  om  ( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( g `
 m ) ) )  \/  ( dom  g  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) } ) )
3 omex 4555 . . 3  |-  om  e.  _V
4 resfunexg 5691 . . 3  |-  ( ( Fun recs ( ( g  e.  _V  |->  { x  |  ( E. m  e.  om  ( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  (
g `  m )
) )  \/  ( dom  g  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) } ) )  /\  om  e.  _V )  ->  (recs ( ( g  e. 
_V  |->  { x  |  ( E. m  e. 
om  ( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  (
g `  m )
) )  \/  ( dom  g  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) } ) )  |`  om )  e.  _V )
52, 3, 4mp2an 423 . 2  |-  (recs ( ( g  e.  _V  |->  { x  |  ( E. m  e.  om  ( dom  g  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( g `
 m ) ) )  \/  ( dom  g  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) } ) )  |`  om )  e.  _V
61, 5eqeltri 2230 1  |- frec ( F ,  A )  e. 
_V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    \/ wo 698    = wceq 1335    e. wcel 2128   {cab 2143   E.wrex 2436   _Vcvv 2712   (/)c0 3395    |-> cmpt 4028   suc csuc 4328   omcom 4552   dom cdm 4589    |` cres 4591   Fun wfun 5167   ` cfv 5173  recscrecs 6254  freccfrec 6340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4082  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-setind 4499  ax-iinf 4550
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-tr 4066  df-id 4256  df-iord 4329  df-on 4331  df-iom 4553  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-f1 5178  df-fo 5179  df-f1o 5180  df-fv 5181  df-recs 6255  df-frec 6341
This theorem is referenced by:  seqex  10356  ctinfom  12253
  Copyright terms: Public domain W3C validator