Theorem omex 4742

Description: The existence of omega (the class of natural numbers). Axiom 7 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 6-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
omex	|- om e. _V

Proof of Theorem omex

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfinf2 4738	. . 3 |- E. y ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y )
2		intexabim 4290	. . 3 |- ( E. y ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) -> |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } e. _V )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } e. _V
4		dfom3 4741	. . 3 |- om = |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) }
5	4	eleq1i 2304	. 2 |- ( om e. _V <-> |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } e. _V )
6	3, 5	mpbir 146	1 |- om e. _V

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   E.wex 1545   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   |^|cint 3970   suc csuc 4512   omcom 4739

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233  df-int 3971  df-iom 4740

This theorem is used by:  peano5  4747  omelon  4758  frecex  6669  frecabex  6673  fict  7174  infnfi  7203  ominf  7204  inffiexmid  7217  omp1eom  7441  difinfsn  7446  0ct  7453  ctmlemr  7454  ctssdclemn0  7456  ctssdclemr  7458  ctssdc  7459  enumct  7461  omct  7463  ctfoex  7464  nninfex  7467  infnninf  7470  infnninfOLD  7471  nnnninf  7472  exmidlpo  7489  nninfdcinf  7517  nninfwlporlem  7519  nninfwlpoimlemg  7521  nninfwlpoim  7525  nninfinfwlpo  7526  cc2lem  7638  acnccim  7644  niex  7685  enq0ex  7812  nq0ex  7813  uzenom  10883  frecfzennn  10884  nnenom  10892  fxnn0nninf  10897  0tonninf  10898  1tonninf  10899  inftonninf  10900  nninfinf  10901  hashinfuni  11238  hashinfom  11239  nninfctlemfo  12842  nninfct  12843  xpct  13345  ennnfonelemj0  13350  ennnfonelemg  13352  ennnfonelemen  13370  ctiunct  13389  omctfn  13392  ssomct  13394  bj-charfunbi  17042  subctctexmid  17235  0nninf  17253  nnsf  17254  peano4nninf  17255  peano3nninf  17256  nninfself  17262  nninfsellemeq  17263  nninfsellemeqinf  17265  sbthom  17277