Theorem omex 4685

Description: The existence of omega (the class of natural numbers). Axiom 7 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 6-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
omex	|- om e. _V

Proof of Theorem omex

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfinf2 4681	. . 3 |- E. y ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y )
2		intexabim 4236	. . 3 |- ( E. y ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) -> |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } e. _V )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } e. _V
4		dfom3 4684	. . 3 |- om = |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) }
5	4	eleq1i 2295	. 2 |- ( om e. _V <-> |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } e. _V )
6	3, 5	mpbir 146	1 |- om e. _V

Syntax hints:   /\ wa 104   E.wex 1538   e. wcel 2200   {cab 2215   A.wral 2508   _Vcvv 2799   (/)c0 3491   |^|cint 3923   suc csuc 4456   omcom 4682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-v 2801  df-in 3203  df-ss 3210  df-int 3924  df-iom 4683

This theorem is referenced by:  peano5  4690  omelon  4701  frecex  6540  frecabex  6544  fict  7030  infnfi  7057  ominf  7058  inffiexmid  7068  omp1eom  7262  difinfsn  7267  0ct  7274  ctmlemr  7275  ctssdclemn0  7277  ctssdclemr  7279  ctssdc  7280  enumct  7282  omct  7284  ctfoex  7285  nninfex  7288  infnninf  7291  infnninfOLD  7292  nnnninf  7293  exmidlpo  7310  nninfdcinf  7338  nninfwlporlem  7340  nninfwlpoimlemg  7342  nninfwlpoim  7346  nninfinfwlpo  7347  cc2lem  7452  acnccim  7458  niex  7499  enq0ex  7626  nq0ex  7627  uzenom  10647  frecfzennn  10648  nnenom  10656  fxnn0nninf  10661  0tonninf  10662  1tonninf  10663  inftonninf  10664  nninfinf  10665  hashinfuni  10999  hashinfom  11000  nninfctlemfo  12561  nninfct  12562  xpct  12967  ennnfonelemj0  12972  ennnfonelemg  12974  ennnfonelemen  12992  ctiunct  13011  omctfn  13014  ssomct  13016  bj-charfunbi  16174  subctctexmid  16366  0nninf  16370  nnsf  16371  peano4nninf  16372  peano3nninf  16373  nninfself  16379  nninfsellemeq  16380  nninfsellemeqinf  16382  sbthom  16394