Theorem omex 4641

Description: The existence of omega (the class of natural numbers). Axiom 7 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 6-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
omex	|- om e. _V

Proof of Theorem omex

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfinf2 4637	. . 3 |- E. y ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y )
2		intexabim 4196	. . 3 |- ( E. y ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) -> |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } e. _V )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } e. _V
4		dfom3 4640	. . 3 |- om = |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) }
5	4	eleq1i 2271	. 2 |- ( om e. _V <-> |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } e. _V )
6	3, 5	mpbir 146	1 |- om e. _V

Syntax hints:   /\ wa 104   E.wex 1515   e. wcel 2176   {cab 2191   A.wral 2484   _Vcvv 2772   (/)c0 3460   |^|cint 3885   suc csuc 4412   omcom 4638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-v 2774  df-in 3172  df-ss 3179  df-int 3886  df-iom 4639

This theorem is referenced by:  peano5  4646  omelon  4657  frecex  6480  frecabex  6484  fict  6965  infnfi  6992  ominf  6993  inffiexmid  7003  omp1eom  7197  difinfsn  7202  0ct  7209  ctmlemr  7210  ctssdclemn0  7212  ctssdclemr  7214  ctssdc  7215  enumct  7217  omct  7219  ctfoex  7220  nninfex  7223  infnninf  7226  infnninfOLD  7227  nnnninf  7228  exmidlpo  7245  nninfdcinf  7273  nninfwlporlem  7275  nninfwlpoimlemg  7277  nninfwlpoim  7281  nninfinfwlpo  7282  cc2lem  7378  acnccim  7384  niex  7425  enq0ex  7552  nq0ex  7553  uzenom  10570  frecfzennn  10571  nnenom  10579  fxnn0nninf  10584  0tonninf  10585  1tonninf  10586  inftonninf  10587  nninfinf  10588  hashinfuni  10922  hashinfom  10923  nninfctlemfo  12361  nninfct  12362  xpct  12767  ennnfonelemj0  12772  ennnfonelemg  12774  ennnfonelemen  12792  ctiunct  12811  omctfn  12814  ssomct  12816  bj-charfunbi  15747  subctctexmid  15937  0nninf  15941  nnsf  15942  peano4nninf  15943  peano3nninf  15944  nninfself  15950  nninfsellemeq  15951  nninfsellemeqinf  15953  sbthom  15965