Theorem omex 4515

Description: The existence of omega (the class of natural numbers). Axiom 7 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 6-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
omex	|- om e. _V

Proof of Theorem omex

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfinf2 4511	. . 3 |- E. y ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y )
2		intexabim 4085	. . 3 |- ( E. y ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) -> |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } e. _V )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } e. _V
4		dfom3 4514	. . 3 |- om = |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) }
5	4	eleq1i 2206	. 2 |- ( om e. _V <-> |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } e. _V )
6	3, 5	mpbir 145	1 |- om e. _V

Syntax hints:   /\ wa 103   E.wex 1469   e. wcel 1481   {cab 2126   A.wral 2417   _Vcvv 2689   (/)c0 3368   |^|cint 3779   suc csuc 4295   omcom 4512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-v 2691  df-in 3082  df-ss 3089  df-int 3780  df-iom 4513

This theorem is referenced by:  peano5  4520  omelon  4530  frecex  6299  frecabex  6303  fict  6770  infnfi  6797  ominf  6798  inffiexmid  6808  omp1eom  6988  difinfsn  6993  0ct  7000  ctmlemr  7001  ctssdclemn0  7003  ctssdclemr  7005  ctssdc  7006  enumct  7008  omct  7010  ctfoex  7011  exmidlpo  7023  infnninf  7030  nnnninf  7031  cc2lem  7098  niex  7144  enq0ex  7271  nq0ex  7272  uzenom  10229  frecfzennn  10230  nnenom  10238  fxnn0nninf  10242  0tonninf  10243  1tonninf  10244  inftonninf  10245  hashinfuni  10555  hashinfom  10556  xpct  11945  ennnfonelemj0  11950  ennnfonelemg  11952  ennnfonelemen  11970  ctiunct  11989  omctfn  11992  subctctexmid  13369  0nninf  13372  nnsf  13374  peano4nninf  13375  peano3nninf  13376  nninfex  13380  nninfself  13384  nninfsellemeq  13385  nninfsellemeqinf  13387  sbthom  13396