Theorem omex 4507

Description: The existence of omega (the class of natural numbers). Axiom 7 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 6-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
omex	|- om e. _V

Proof of Theorem omex

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfinf2 4503	. . 3 |- E. y ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y )
2		intexabim 4077	. . 3 |- ( E. y ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) -> |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } e. _V )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } e. _V
4		dfom3 4506	. . 3 |- om = |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) }
5	4	eleq1i 2205	. 2 |- ( om e. _V <-> |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } e. _V )
6	3, 5	mpbir 145	1 |- om e. _V

Syntax hints:   /\ wa 103   E.wex 1468   e. wcel 1480   {cab 2125   A.wral 2416   _Vcvv 2686   (/)c0 3363   |^|cint 3771   suc csuc 4287   omcom 4504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-v 2688  df-in 3077  df-ss 3084  df-int 3772  df-iom 4505

This theorem is referenced by:  peano5  4512  omelon  4522  frecex  6291  frecabex  6295  fict  6762  infnfi  6789  ominf  6790  inffiexmid  6800  omp1eom  6980  difinfsn  6985  0ct  6992  ctmlemr  6993  ctssdclemn0  6995  ctssdclemr  6997  ctssdc  6998  enumct  7000  omct  7002  ctfoex  7003  exmidlpo  7015  infnninf  7022  nnnninf  7023  niex  7120  enq0ex  7247  nq0ex  7248  uzenom  10198  frecfzennn  10199  nnenom  10207  fxnn0nninf  10211  0tonninf  10212  1tonninf  10213  inftonninf  10214  hashinfuni  10523  hashinfom  10524  xpct  11909  ennnfonelemj0  11914  ennnfonelemg  11916  ennnfonelemen  11934  ctiunct  11953  subctctexmid  13196  0nninf  13197  nnsf  13199  peano4nninf  13200  peano3nninf  13201  nninfex  13205  nninfself  13209  nninfsellemeq  13210  nninfsellemeqinf  13212  sbthom  13221