Theorem omex 4697

Description: The existence of omega (the class of natural numbers). Axiom 7 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 6-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
omex	|- om e. _V

Proof of Theorem omex

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfinf2 4693	. . 3 |- E. y ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y )
2		intexabim 4247	. . 3 |- ( E. y ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) -> |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } e. _V )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } e. _V
4		dfom3 4696	. . 3 |- om = |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) }
5	4	eleq1i 2297	. 2 |- ( om e. _V <-> |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } e. _V )
6	3, 5	mpbir 146	1 |- om e. _V

Syntax hints:   /\ wa 104   E.wex 1541   e. wcel 2202   {cab 2217   A.wral 2511   _Vcvv 2803   (/)c0 3496   |^|cint 3933   suc csuc 4468   omcom 4694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-v 2805  df-in 3207  df-ss 3214  df-int 3934  df-iom 4695

This theorem is referenced by:  peano5  4702  omelon  4713  frecex  6603  frecabex  6607  fict  7098  infnfi  7127  ominf  7128  inffiexmid  7141  omp1eom  7354  difinfsn  7359  0ct  7366  ctmlemr  7367  ctssdclemn0  7369  ctssdclemr  7371  ctssdc  7372  enumct  7374  omct  7376  ctfoex  7377  nninfex  7380  infnninf  7383  infnninfOLD  7384  nnnninf  7385  exmidlpo  7402  nninfdcinf  7430  nninfwlporlem  7432  nninfwlpoimlemg  7434  nninfwlpoim  7438  nninfinfwlpo  7439  cc2lem  7545  acnccim  7551  niex  7592  enq0ex  7719  nq0ex  7720  uzenom  10750  frecfzennn  10751  nnenom  10759  fxnn0nninf  10764  0tonninf  10765  1tonninf  10766  inftonninf  10767  nninfinf  10768  hashinfuni  11102  hashinfom  11103  nninfctlemfo  12691  nninfct  12692  xpct  13097  ennnfonelemj0  13102  ennnfonelemg  13104  ennnfonelemen  13122  ctiunct  13141  omctfn  13144  ssomct  13146  bj-charfunbi  16527  subctctexmid  16722  0nninf  16730  nnsf  16731  peano4nninf  16732  peano3nninf  16733  nninfself  16739  nninfsellemeq  16740  nninfsellemeqinf  16742  sbthom  16754