ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  omex Unicode version

Theorem omex 4381
Description: The existence of omega (the class of natural numbers). Axiom 7 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 6-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
omex  |-  om  e.  _V

Proof of Theorem omex
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zfinf2 4377 . . 3  |-  E. y
( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y )
2 intexabim 3963 . . 3  |-  ( E. y ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y )  ->  |^| { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  e.  _V )
31, 2ax-mp 7 . 2  |-  |^| { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  e.  _V
4 dfom3 4380 . . 3  |-  om  =  |^| { y  |  (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }
54eleq1i 2150 . 2  |-  ( om  e.  _V  <->  |^| { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  e.  _V )
63, 5mpbir 144 1  |-  om  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102   E.wex 1424    e. wcel 1436   {cab 2071   A.wral 2355   _Vcvv 2615   (/)c0 3275   |^|cint 3671   suc csuc 4166   omcom 4378
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-iinf 4376
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-v 2617  df-in 2994  df-ss 3001  df-int 3672  df-iom 4379
This theorem is referenced by:  peano5  4386  omelon  4396  frecex  6113  frecabex  6117  fict  6536  infnfi  6563  ominf  6564  inffiexmid  6574  infnninf  6749  nnnninf  6750  niex  6815  enq0ex  6942  nq0ex  6943  uzenom  9760  frecfzennn  9761  nnenom  9769  fxnn0nninf  9772  0tonninf  9773  1tonninf  9774  inftonninf  9775  hashinfuni  10082  hashinfom  10083  xpct  11091  0nninf  11338  nnsf  11340  peano4nninf  11341  peano3nninf  11342  nninfex  11346  nninfself  11350  nninfsellemeq  11351  nninfsellemeqinf  11353
  Copyright terms: Public domain W3C validator