Theorem seqex 10596

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	|- seq M ( .+ , F ) e. _V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seqfrec 10595	. 2 |- seq M ( .+ , F ) = ran frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )
2		frecex 6482	. . 3 |- frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) e. _V
3	2	rnex 4947	. 2 |- ran frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) e. _V
4	1, 3	eqeltri 2278	1 |- seq M ( .+ , F ) e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   <.cop 3636   ran crn 4677   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   e. cmpo 5948  freccfrec 6478   1c1 7928   + caddc 7930   ZZ>=cuz 9650   seqcseq 10594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-iord 4414  df-on 4416  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-recs 6393  df-frec 6479  df-seqfrec 10595

This theorem is referenced by:  seq3shft  11182  clim2ser  11681  clim2ser2  11682  isermulc2  11684  iser3shft  11690  fsum3cvg  11722  sumrbdc  11723  isumclim3  11767  sumnul  11768  isumadd  11775  trireciplem  11844  geolim  11855  geolim2  11856  geo2lim  11860  geoisum1c  11864  mertensabs  11881  clim2prod  11883  clim2divap  11884  ntrivcvgap  11892  fproddccvg  11916  prodrbdclem2  11917  fprodntrivap  11928  efcj  12017  eftlub  12034  eflegeo  12045  nninfdc  12857  gsumfzval  13256  gsumval2  13262  mulgfvalg  13490  trilpolemisumle  16014  trilpolemeq1  16016