ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seqex Unicode version

Theorem seqex 10227
Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
seqex  |-  seq M
(  .+  ,  F
)  e.  _V

Proof of Theorem seqex
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-seqfrec 10226 . 2  |-  seq M
(  .+  ,  F
)  =  ran frec (
( x  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  y  e.  _V  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( y 
.+  ( F `  ( x  +  1
) ) ) >.
) ,  <. M , 
( F `  M
) >. )
2 frecex 6291 . . 3  |- frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  y  e.  _V  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( y  .+  ( F `  ( x  +  1 ) ) ) >. ) ,  <. M ,  ( F `  M ) >. )  e.  _V
32rnex 4806 . 2  |-  ran frec (
( x  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  y  e.  _V  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( y 
.+  ( F `  ( x  +  1
) ) ) >.
) ,  <. M , 
( F `  M
) >. )  e.  _V
41, 3eqeltri 2212 1  |-  seq M
(  .+  ,  F
)  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1480   _Vcvv 2686   <.cop 3530   ran crn 4540   ` cfv 5123  (class class class)co 5774    e. cmpo 5776  freccfrec 6287   1c1 7628    + caddc 7630   ZZ>=cuz 9333    seqcseq 10225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-recs 6202  df-frec 6288  df-seqfrec 10226
This theorem is referenced by:  seq3shft  10617  clim2ser  11113  clim2ser2  11114  isermulc2  11116  iser3shft  11122  fsum3cvg  11154  sumrbdc  11155  isumclim3  11199  sumnul  11200  isumadd  11207  trireciplem  11276  geolim  11287  geolim2  11288  geo2lim  11292  geoisum1c  11296  mertensabs  11313  clim2prod  11315  clim2divap  11316  ntrivcvgap  11324  fproddccvg  11348  prodrbdclem2  11349  efcj  11386  eftlub  11403  eflegeo  11414  trilpolemisumle  13284  trilpolemeq1  13286
  Copyright terms: Public domain W3C validator