Theorem seqex 10701

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	|- seq M ( .+ , F ) e. _V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seqfrec 10700	. 2 |- seq M ( .+ , F ) = ran frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )
2		frecex 6555	. . 3 |- frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) e. _V
3	2	rnex 4998	. 2 |- ran frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) e. _V
4	1, 3	eqeltri 2302	1 |- seq M ( .+ , F ) e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2200   _Vcvv 2800   <.cop 3670   ran crn 4724   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   e. cmpo 6015  freccfrec 6551   1c1 8023   + caddc 8025   ZZ>=cuz 9745   seqcseq 10699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-recs 6466  df-frec 6552  df-seqfrec 10700

This theorem is referenced by:  seq3shft  11389  clim2ser  11888  clim2ser2  11889  isermulc2  11891  iser3shft  11897  fsum3cvg  11929  sumrbdc  11930  isumclim3  11974  sumnul  11975  isumadd  11982  trireciplem  12051  geolim  12062  geolim2  12063  geo2lim  12067  geoisum1c  12071  mertensabs  12088  clim2prod  12090  clim2divap  12091  ntrivcvgap  12099  fproddccvg  12123  prodrbdclem2  12124  fprodntrivap  12135  efcj  12224  eftlub  12241  eflegeo  12252  nninfdc  13064  gsumfzval  13464  gsumval2  13470  mulgfvalg  13698  trilpolemisumle  16578  trilpolemeq1  16580