Theorem seqex 10906

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	|- seq M ( .+ , F ) e. _V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seqfrec 10905	. 2 |- seq M ( .+ , F ) = ran frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )
2		frecex 6670	. . 3 |- frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) e. _V
3	2	rnex 5052	. 2 |- ran frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) e. _V
4	1, 3	eqeltri 2311	1 |- seq M ( .+ , F ) e. _V

This proof depends on syntax axioms:   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   <.cop 3712   ran crn 4777   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   e. cmpo 6090  freccfrec 6666   1c1 8186   + caddc 8188   ZZ>=cuz 9936   seqcseq 10904

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-recs 6581  df-frec 6667  df-seqfrec 10905

This theorem is used by:  seq3shft  11624  clim2ser  12127  clim2ser2  12128  isermulc2  12130  iser3shft  12136  fsum3cvg  12169  sumrbdc  12170  isumclim3  12214  sumnul  12215  isumadd  12222  trireciplem  12291  geolim  12302  geolim2  12303  geo2lim  12307  geoisum1c  12311  mertensabs  12328  clim2prod  12330  clim2divap  12331  ntrivcvgap  12339  fproddccvg  12363  prodrbdclem2  12364  fprodntrivap  12375  efcj  12464  eftlub  12481  eflegeo  12492  nninfdc  13401  gzsumfzval  13769  gzsumval2  13772  mulgfvalg  13982  log2tlbndlog2  16237  trilpolemisumle  17311  trilpolemeq1  17313