Theorem seqex 10899

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	|- seq M ( .+ , F ) e. _V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seqfrec 10898	. 2 |- seq M ( .+ , F ) = ran frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )
2		frecex 6665	. . 3 |- frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) e. _V
3	2	rnex 5050	. 2 |- ran frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) e. _V
4	1, 3	eqeltri 2311	1 |- seq M ( .+ , F ) e. _V

This proof depends on syntax axioms:   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   <.cop 3712   ran crn 4775   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   e. cmpo 6087  freccfrec 6661   1c1 8180   + caddc 8182   ZZ>=cuz 9930   seqcseq 10897

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-recs 6576  df-frec 6662  df-seqfrec 10898

This theorem is used by:  seq3shft  11617  clim2ser  12119  clim2ser2  12120  isermulc2  12122  iser3shft  12128  fsum3cvg  12161  sumrbdc  12162  isumclim3  12206  sumnul  12207  isumadd  12214  trireciplem  12283  geolim  12294  geolim2  12295  geo2lim  12299  geoisum1c  12303  mertensabs  12320  clim2prod  12322  clim2divap  12323  ntrivcvgap  12331  fproddccvg  12355  prodrbdclem2  12356  fprodntrivap  12367  efcj  12456  eftlub  12473  eflegeo  12484  nninfdc  13393  gzsumfzval  13760  gzsumval2  13763  mulgfvalg  13973  log2tlbndlog2  16139  trilpolemisumle  17185  trilpolemeq1  17187