Theorem tfrfun 6299

Description: Transfinite recursion produces a function. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
tfrfun	|- Fun recs ( F )

Proof of Theorem tfrfun

Dummy variables f x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2170	. 2 |- { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) } = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
2	1	tfrlem7 6296	1 |- Fun recs ( F )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1348   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   Oncon0 4348   |` cres 4613   Fun wfun 5192   Fn wfn 5193   ` cfv 5198  recscrecs 6283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-res 4623  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-fv 5206  df-recs 6284

This theorem is referenced by:  tfr1onlembfn  6323  tfr1onlemubacc  6325  tfri1dALT  6330  tfrcllembfn  6336  tfrcllemubacc  6338  tfrcl  6343  frecex  6373  frecfun  6374  frecfcllem  6383  frecsuclem  6385