Theorem tfrfun 6591

Description: Transfinite recursion produces a function. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
tfrfun	|- Fun recs ( F )

Proof of Theorem tfrfun

Dummy variables f x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. 2 |- { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) } = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
2	1	tfrlem7 6588	1 |- Fun recs ( F )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   = wceq 1402   {cab 2224   A.wral 2528   E.wrex 2529   Oncon0 4508   |` cres 4776   Fun wfun 5371   Fn wfn 5372   ` cfv 5377  recscrecs 6575

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-recs 6576

This theorem is used by:  tfr1onlembfn  6615  tfr1onlemubacc  6617  tfri1dALT  6622  tfrcllembfn  6628  tfrcllemubacc  6630  tfrcl  6635  frecex  6665  frecfun  6666  frecfcllem  6675  frecsuclem  6677