ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ctinfom Unicode version

Theorem ctinfom 12429
Description: A condition for a set being countably infinite. Restates ennnfone 12426 in terms of  om and function image. Like ennnfone 12426 the condition can be summarized as  A being countable, infinite, and having decidable equality. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
ctinfom  |-  ( A 
~~  NN  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  (
f `  k )  e.  ( f " n
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, f, n   
x, A, y    f,
k, n
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem ctinfom
Dummy variables  a  d  i  m  g  b  c  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ennnfone 12426 . . . 4  |-  ( A 
~~  NN  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. g ( g : NN0 -onto-> A  /\  A. m  e.  NN0  E. j  e.  NN0  A. i  e.  ( 0 ... m
) ( g `  j )  =/=  (
g `  i )
) ) )
21simplbi 274 . . 3  |-  ( A 
~~  NN  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y
)
3 nnenom 10434 . . . . . . 7  |-  NN  ~~  om
4 entr 6784 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  NN  ~~  om )  ->  A  ~~  om )
53, 4mpan2 425 . . . . . 6  |-  ( A 
~~  NN  ->  A  ~~  om )
65ensymd 6783 . . . . 5  |-  ( A 
~~  NN  ->  om  ~~  A )
7 bren 6747 . . . . 5  |-  ( om 
~~  A  <->  E. f 
f : om -1-1-onto-> A )
86, 7sylib 122 . . . 4  |-  ( A 
~~  NN  ->  E. f 
f : om -1-1-onto-> A )
9 f1ofo 5469 . . . . . . . 8  |-  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  f : om -onto-> A )
109adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  f : om -1-1-onto-> A )  ->  f : om -onto-> A )
11 simpr 110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ~~  NN  /\  f : om -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  om )  ->  n  e.  om )
12 nnord 4612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  om  ->  Ord  n )
1312adantl 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ~~  NN  /\  f : om -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  om )  ->  Ord  n )
14 ordirr 4542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord  n  ->  -.  n  e.  n )
1513, 14syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ~~  NN  /\  f : om -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  om )  ->  -.  n  e.  n )
16 f1of1 5461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  f : om
-1-1-> A )
1716ad2antlr 489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ~~  NN  /\  f : om -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  om )  ->  f : om -1-1-> A )
18 omelon 4609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  om  e.  On
1918onelssi 4430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  om  ->  n  C_ 
om )
2019adantl 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ~~  NN  /\  f : om -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  om )  ->  n  C_ 
om )
21 f1elima 5774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : om -1-1-> A  /\  n  e.  om  /\  n  C_  om )  ->  ( ( f `  n )  e.  ( f " n )  <-> 
n  e.  n ) )
2217, 11, 20, 21syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ~~  NN  /\  f : om -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  om )  ->  (
( f `  n
)  e.  ( f
" n )  <->  n  e.  n ) )
2315, 22mtbird 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ~~  NN  /\  f : om -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  om )  ->  -.  ( f `  n
)  e.  ( f
" n ) )
24 fveq2 5516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
f `  k )  =  ( f `  n ) )
2524eleq1d 2246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  n  ->  (
( f `  k
)  e.  ( f
" n )  <->  ( f `  n )  e.  ( f " n ) ) )
2625notbid 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  ( -.  ( f `  k
)  e.  ( f
" n )  <->  -.  (
f `  n )  e.  ( f " n
) ) )
2726rspcev 2842 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  om  /\  -.  ( f `  n
)  e.  ( f
" n ) )  ->  E. k  e.  om  -.  ( f `  k
)  e.  ( f
" n ) )
2811, 23, 27syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~~  NN  /\  f : om -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  om )  ->  E. k  e.  om  -.  ( f `
 k )  e.  ( f " n
) )
2928ralrimiva 2550 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  f : om -1-1-onto-> A )  ->  A. n  e.  om  E. k  e. 
om  -.  ( f `  k )  e.  ( f " n ) )
3010, 29jca 306 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  f : om -1-1-onto-> A )  ->  (
f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  ( f `  k
)  e.  ( f
" n ) ) )
3130ex 115 . . . . 5  |-  ( A 
~~  NN  ->  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e. 
om  -.  ( f `  k )  e.  ( f " n ) ) ) )
3231eximdv 1880 . . . 4  |-  ( A 
~~  NN  ->  ( E. f  f : om -1-1-onto-> A  ->  E. f ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  (
f `  k )  e.  ( f " n
) ) ) )
338, 32mpd 13 . . 3  |-  ( A 
~~  NN  ->  E. f
( f : om -onto-> A  /\  A. n  e. 
om  E. k  e.  om  -.  ( f `  k
)  e.  ( f
" n ) ) )
342, 33jca 306 . 2  |-  ( A 
~~  NN  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  ( f `  k
)  e.  ( f
" n ) ) ) )
35 oveq1 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  a  ->  (
b  +  1 )  =  ( a  +  1 ) )
3635cbvmptv 4100 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) )  =  ( a  e.  ZZ  |->  ( a  +  1 ) )
37 freceq1 6393 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) )  =  ( a  e.  ZZ  |->  ( a  +  1 ) )  -> frec ( ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 )  = frec ( ( a  e.  ZZ  |->  ( a  +  1 ) ) ,  0 ) )
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . 7  |- frec ( ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 )  = frec ( ( a  e.  ZZ  |->  ( a  +  1 ) ) ,  0 )
39 eqid 2177 . . . . . . 7  |-  ( f  o.  `'frec ( ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 ) )  =  ( f  o.  `'frec ( ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 ) )
40 simpl 109 . . . . . . 7  |-  ( ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  ( f `  k
)  e.  ( f
" n ) )  ->  f : om -onto-> A )
41 fveq2 5516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  d  ->  (
f `  k )  =  ( f `  d ) )
4241eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  d  ->  (
( f `  k
)  e.  ( f
" n )  <->  ( f `  d )  e.  ( f " n ) ) )
4342notbid 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  d  ->  ( -.  ( f `  k
)  e.  ( f
" n )  <->  -.  (
f `  d )  e.  ( f " n
) ) )
4443cbvrexv 2705 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. k  e.  om  -.  ( f `  k
)  e.  ( f
" n )  <->  E. d  e.  om  -.  ( f `
 d )  e.  ( f " n
) )
4544ralbii 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  ( f `
 k )  e.  ( f " n
)  <->  A. n  e.  om  E. d  e.  om  -.  ( f `  d
)  e.  ( f
" n ) )
46 imaeq2 4967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  c  ->  (
f " n )  =  ( f "
c ) )
4746eleq2d 2247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  c  ->  (
( f `  d
)  e.  ( f
" n )  <->  ( f `  d )  e.  ( f " c ) ) )
4847notbid 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  c  ->  ( -.  ( f `  d
)  e.  ( f
" n )  <->  -.  (
f `  d )  e.  ( f " c
) ) )
4948rexbidv 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  c  ->  ( E. d  e.  om  -.  ( f `  d
)  e.  ( f
" n )  <->  E. d  e.  om  -.  ( f `
 d )  e.  ( f " c
) ) )
5049cbvralv 2704 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  om  E. d  e.  om  -.  ( f `
 d )  e.  ( f " n
)  <->  A. c  e.  om  E. d  e.  om  -.  ( f `  d
)  e.  ( f
" c ) )
5145, 50sylbb 123 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  ( f `
 k )  e.  ( f " n
)  ->  A. c  e.  om  E. d  e. 
om  -.  ( f `  d )  e.  ( f " c ) )
5251adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  ( f `  k
)  e.  ( f
" n ) )  ->  A. c  e.  om  E. d  e.  om  -.  ( f `  d
)  e.  ( f
" c ) )
5338, 39, 40, 52ctinfomlemom 12428 . . . . . 6  |-  ( ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  ( f `  k
)  e.  ( f
" n ) )  ->  ( ( f  o.  `'frec ( ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 ) ) : NN0 -onto-> A  /\  A. m  e.  NN0  E. j  e.  NN0  A. i  e.  ( 0 ... m
) ( ( f  o.  `'frec ( ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 ) ) `  j )  =/=  ( ( f  o.  `'frec ( ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 ) ) `  i ) ) )
54 vex 2741 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
55 frecex 6395 . . . . . . . . 9  |- frec ( ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 )  e.  _V
5655cnvex 5168 . . . . . . . 8  |-  `'frec (
( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 )  e.  _V
5754, 56coex 5175 . . . . . . 7  |-  ( f  o.  `'frec ( ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 ) )  e.  _V
58 foeq1 5435 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( f  o.  `'frec ( ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 ) )  -> 
( g : NN0 -onto-> A  <-> 
( f  o.  `'frec ( ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 ) ) : NN0 -onto-> A ) )
59 fveq1 5515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( f  o.  `'frec ( ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 ) )  -> 
( g `  j
)  =  ( ( f  o.  `'frec (
( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 ) ) `  j
) )
60 fveq1 5515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( f  o.  `'frec ( ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 ) )  -> 
( g `  i
)  =  ( ( f  o.  `'frec (
( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 ) ) `  i
) )
6159, 60neeq12d 2367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  ( f  o.  `'frec ( ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 ) )  -> 
( ( g `  j )  =/=  (
g `  i )  <->  ( ( f  o.  `'frec ( ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 ) ) `  j )  =/=  (
( f  o.  `'frec ( ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 ) ) `  i ) ) )
6261ralbidv 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( f  o.  `'frec ( ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0 ... m
) ( g `  j )  =/=  (
g `  i )  <->  A. i  e.  ( 0 ... m ) ( ( f  o.  `'frec ( ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 ) ) `  j )  =/=  (
( f  o.  `'frec ( ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 ) ) `  i ) ) )
6362rexbidv 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( f  o.  `'frec ( ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 ) )  -> 
( E. j  e. 
NN0  A. i  e.  ( 0 ... m ) ( g `  j
)  =/=  ( g `
 i )  <->  E. j  e.  NN0  A. i  e.  ( 0 ... m
) ( ( f  o.  `'frec ( ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 ) ) `  j )  =/=  ( ( f  o.  `'frec ( ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 ) ) `  i ) ) )
6463ralbidv 2477 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( f  o.  `'frec ( ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 ) )  -> 
( A. m  e. 
NN0  E. j  e.  NN0  A. i  e.  ( 0 ... m ) ( g `  j )  =/=  ( g `  i )  <->  A. m  e.  NN0  E. j  e. 
NN0  A. i  e.  ( 0 ... m ) ( ( f  o.  `'frec ( ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 ) ) `  j )  =/=  (
( f  o.  `'frec ( ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 ) ) `  i ) ) )
6558, 64anbi12d 473 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( f  o.  `'frec ( ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 ) )  -> 
( ( g : NN0 -onto-> A  /\  A. m  e.  NN0  E. j  e. 
NN0  A. i  e.  ( 0 ... m ) ( g `  j
)  =/=  ( g `
 i ) )  <-> 
( ( f  o.  `'frec ( ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 ) ) : NN0 -onto-> A  /\  A. m  e.  NN0  E. j  e. 
NN0  A. i  e.  ( 0 ... m ) ( ( f  o.  `'frec ( ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 ) ) `  j )  =/=  (
( f  o.  `'frec ( ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 ) ) `  i ) ) ) )
6657, 65spcev 2833 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  o.  `'frec ( ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 ) ) : NN0 -onto-> A  /\  A. m  e.  NN0  E. j  e. 
NN0  A. i  e.  ( 0 ... m ) ( ( f  o.  `'frec ( ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 ) ) `  j )  =/=  (
( f  o.  `'frec ( ( b  e.  ZZ  |->  ( b  +  1 ) ) ,  0 ) ) `  i ) )  ->  E. g ( g : NN0 -onto-> A  /\  A. m  e.  NN0  E. j  e. 
NN0  A. i  e.  ( 0 ... m ) ( g `  j
)  =/=  ( g `
 i ) ) )
6753, 66syl 14 . . . . 5  |-  ( ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  ( f `  k
)  e.  ( f
" n ) )  ->  E. g ( g : NN0 -onto-> A  /\  A. m  e.  NN0  E. j  e.  NN0  A. i  e.  ( 0 ... m
) ( g `  j )  =/=  (
g `  i )
) )
6867exlimiv 1598 . . . 4  |-  ( E. f ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e. 
om  -.  ( f `  k )  e.  ( f " n ) )  ->  E. g
( g : NN0 -onto-> A  /\  A. m  e. 
NN0  E. j  e.  NN0  A. i  e.  ( 0 ... m ) ( g `  j )  =/=  ( g `  i ) ) )
6968anim2i 342 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f
( f : om -onto-> A  /\  A. n  e. 
om  E. k  e.  om  -.  ( f `  k
)  e.  ( f
" n ) ) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. g ( g : NN0 -onto-> A  /\  A. m  e.  NN0  E. j  e.  NN0  A. i  e.  ( 0 ... m
) ( g `  j )  =/=  (
g `  i )
) ) )
7069, 1sylibr 134 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f
( f : om -onto-> A  /\  A. n  e. 
om  E. k  e.  om  -.  ( f `  k
)  e.  ( f
" n ) ) )  ->  A  ~~  NN )
7134, 70impbii 126 1  |-  ( A 
~~  NN  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  (
f `  k )  e.  ( f " n
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 104    <-> wb 105  DECID wdc 834    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148    =/= wne 2347   A.wral 2455   E.wrex 2456    C_ wss 3130   class class class wbr 4004    |-> cmpt 4065   Ord word 4363   omcom 4590   `'ccnv 4626   "cima 4630    o. ccom 4631   -1-1->wf1 5214   -onto->wfo 5215   -1-1-onto->wf1o 5216   ` cfv 5217  (class class class)co 5875  freccfrec 6391    ~~ cen 6738   0cc0 7811   1c1 7812    + caddc 7814   NNcn 8919   NN0cn0 9176   ZZcz 9253   ...cfz 10008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-er 6535  df-pm 6651  df-en 6741  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-fz 10009  df-seqfrec 10446
This theorem is referenced by:  ctinf  12431
  Copyright terms: Public domain W3C validator