Theorem ctinfom 12361

Description: A condition for a set being countably infinite. Restates ennnfone 12358 in terms of om and function image. Like ennnfone 12358 the condition can be summarized as A being countable, infinite, and having decidable equality. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ctinfom	|- ( A ~~ NN <-> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, n   x, A, y   f, k, n

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem ctinfom

Dummy variables a d i m g b c j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfone 12358	. . . 4 |- ( A ~~ NN <-> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. g ( g : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( g ` j ) =/= ( g ` i ) ) ) )
2	1	simplbi 272	. . 3 |- ( A ~~ NN -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
3		nnenom 10369	. . . . . . 7 |- NN ~~ om
4		entr 6750	. . . . . . 7 |- ( ( A ~~ NN /\ NN ~~ om ) -> A ~~ om )
5	3, 4	mpan2 422	. . . . . 6 |- ( A ~~ NN -> A ~~ om )
6	5	ensymd 6749	. . . . 5 |- ( A ~~ NN -> om ~~ A )
7		bren 6713	. . . . 5 |- ( om ~~ A <-> E. f f : om -1-1-onto-> A )
8	6, 7	sylib 121	. . . 4 |- ( A ~~ NN -> E. f f : om -1-1-onto-> A )
9		f1ofo 5439	. . . . . . . 8 |- ( f : om -1-1-onto-> A -> f : om -onto-> A )
10	9	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( A ~~ NN /\ f : om -1-1-onto-> A ) -> f : om -onto-> A )
11		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ~~ NN /\ f : om -1-1-onto-> A ) /\ n e. om ) -> n e. om )
12		nnord 4589	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. om -> Ord n )
13	12	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~~ NN /\ f : om -1-1-onto-> A ) /\ n e. om ) -> Ord n )
14		ordirr 4519	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord n -> -. n e. n )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ~~ NN /\ f : om -1-1-onto-> A ) /\ n e. om ) -> -. n e. n )
16		f1of1 5431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : om -1-1-onto-> A -> f : om -1-1-> A )
17	16	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~~ NN /\ f : om -1-1-onto-> A ) /\ n e. om ) -> f : om -1-1-> A )
18		omelon 4586	. . . . . . . . . . . . 13 |- om e. On
19	18	onelssi 4407	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. om -> n C_ om )
20	19	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~~ NN /\ f : om -1-1-onto-> A ) /\ n e. om ) -> n C_ om )
21		f1elima 5741	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : om -1-1-> A /\ n e. om /\ n C_ om ) -> ( ( f ` n ) e. ( f " n ) <-> n e. n ) )
22	17, 11, 20, 21	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ~~ NN /\ f : om -1-1-onto-> A ) /\ n e. om ) -> ( ( f ` n ) e. ( f " n ) <-> n e. n ) )
23	15, 22	mtbird 663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ~~ NN /\ f : om -1-1-onto-> A ) /\ n e. om ) -> -. ( f ` n ) e. ( f " n ) )
24		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> ( f ` k ) = ( f ` n ) )
25	24	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = n -> ( ( f ` k ) e. ( f " n ) <-> ( f ` n ) e. ( f " n ) ) )
26	25	notbid 657	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> ( -. ( f ` k ) e. ( f " n ) <-> -. ( f ` n ) e. ( f " n ) ) )
27	26	rspcev 2830	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. om /\ -. ( f ` n ) e. ( f " n ) ) -> E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) )
28	11, 23, 27	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A ~~ NN /\ f : om -1-1-onto-> A ) /\ n e. om ) -> E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) )
29	28	ralrimiva 2539	. . . . . . 7 |- ( ( A ~~ NN /\ f : om -1-1-onto-> A ) -> A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) )
30	10, 29	jca 304	. . . . . 6 |- ( ( A ~~ NN /\ f : om -1-1-onto-> A ) -> ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) )
31	30	ex 114	. . . . 5 |- ( A ~~ NN -> ( f : om -1-1-onto-> A -> ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) ) )
32	31	eximdv 1868	. . . 4 |- ( A ~~ NN -> ( E. f f : om -1-1-onto-> A -> E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) ) )
33	8, 32	mpd 13	. . 3 |- ( A ~~ NN -> E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) )
34	2, 33	jca 304	. 2 |- ( A ~~ NN -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) ) )
35		oveq1 5849	. . . . . . . . 9 |- ( b = a -> ( b + 1 ) = ( a + 1 ) )
36	35	cbvmptv 4078	. . . . . . . 8 |- ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) = ( a e. ZZ |-> ( a + 1 ) )
37		freceq1 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) = ( a e. ZZ |-> ( a + 1 ) ) -> frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( a e. ZZ |-> ( a + 1 ) ) , 0 ) )
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( a e. ZZ |-> ( a + 1 ) ) , 0 )
39		eqid 2165	. . . . . . 7 |- ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) = ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) )
40		simpl 108	. . . . . . 7 |- ( ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) -> f : om -onto-> A )
41		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = d -> ( f ` k ) = ( f ` d ) )
42	41	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = d -> ( ( f ` k ) e. ( f " n ) <-> ( f ` d ) e. ( f " n ) ) )
43	42	notbid 657	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = d -> ( -. ( f ` k ) e. ( f " n ) <-> -. ( f ` d ) e. ( f " n ) ) )
44	43	cbvrexv 2693	. . . . . . . . . 10 |- ( E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) <-> E. d e. om -. ( f ` d ) e. ( f " n ) )
45	44	ralbii 2472	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) <-> A. n e. om E. d e. om -. ( f ` d ) e. ( f " n ) )
46		imaeq2 4942	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = c -> ( f " n ) = ( f " c ) )
47	46	eleq2d 2236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = c -> ( ( f ` d ) e. ( f " n ) <-> ( f ` d ) e. ( f " c ) ) )
48	47	notbid 657	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = c -> ( -. ( f ` d ) e. ( f " n ) <-> -. ( f ` d ) e. ( f " c ) ) )
49	48	rexbidv 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( n = c -> ( E. d e. om -. ( f ` d ) e. ( f " n ) <-> E. d e. om -. ( f ` d ) e. ( f " c ) ) )
50	49	cbvralv 2692	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. om E. d e. om -. ( f ` d ) e. ( f " n ) <-> A. c e. om E. d e. om -. ( f ` d ) e. ( f " c ) )
51	45, 50	sylbb 122	. . . . . . . 8 |- ( A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) -> A. c e. om E. d e. om -. ( f ` d ) e. ( f " c ) )
52	51	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) -> A. c e. om E. d e. om -. ( f ` d ) e. ( f " c ) )
53	38, 39, 40, 52	ctinfomlemom 12360	. . . . . 6 |- ( ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) -> ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` j ) =/= ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` i ) ) )
54		vex 2729	. . . . . . . 8 |- f e. _V
55		frecex 6362	. . . . . . . . 9 |- frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) e. _V
56	55	cnvex 5142	. . . . . . . 8 |- `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) e. _V
57	54, 56	coex 5149	. . . . . . 7 |- ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) e. _V
58		foeq1 5406	. . . . . . . 8 |- ( g = ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) -> ( g : NN0 -onto-> A <-> ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) : NN0 -onto-> A ) )
59		fveq1 5485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) -> ( g ` j ) = ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` j ) )
60		fveq1 5485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) -> ( g ` i ) = ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` i ) )
61	59, 60	neeq12d 2356	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) -> ( ( g ` j ) =/= ( g ` i ) <-> ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` j ) =/= ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` i ) ) )
62	61	ralbidv 2466	. . . . . . . . . 10 |- ( g = ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) -> ( A. i e. ( 0 ... m ) ( g ` j ) =/= ( g ` i ) <-> A. i e. ( 0 ... m ) ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` j ) =/= ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` i ) ) )
63	62	rexbidv 2467	. . . . . . . . 9 |- ( g = ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) -> ( E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( g ` j ) =/= ( g ` i ) <-> E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` j ) =/= ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` i ) ) )
64	63	ralbidv 2466	. . . . . . . 8 |- ( g = ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) -> ( A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( g ` j ) =/= ( g ` i ) <-> A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` j ) =/= ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` i ) ) )
65	58, 64	anbi12d 465	. . . . . . 7 |- ( g = ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) -> ( ( g : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( g ` j ) =/= ( g ` i ) ) <-> ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` j ) =/= ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` i ) ) ) )
66	57, 65	spcev 2821	. . . . . 6 |- ( ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` j ) =/= ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` i ) ) -> E. g ( g : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( g ` j ) =/= ( g ` i ) ) )
67	53, 66	syl 14	. . . . 5 |- ( ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) -> E. g ( g : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( g ` j ) =/= ( g ` i ) ) )
68	67	exlimiv 1586	. . . 4 |- ( E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) -> E. g ( g : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( g ` j ) =/= ( g ` i ) ) )
69	68	anim2i 340	. . 3 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) ) -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. g ( g : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( g ` j ) =/= ( g ` i ) ) ) )
70	69, 1	sylibr 133	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) ) -> A ~~ NN )
71	34, 70	impbii 125	1 |- ( A ~~ NN <-> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 824   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   =/= wne 2336   A.wral 2444   E.wrex 2445   C_ wss 3116   class class class wbr 3982   |-> cmpt 4043   Ord word 4340   omcom 4567   `'ccnv 4603   "cima 4607   o. ccom 4608   -1-1->wf1 5185   -onto->wfo 5186   -1-1-onto->wf1o 5187   ` cfv 5188  (class class class)co 5842  freccfrec 6358   ~~ cen 6704   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   NNcn 8857   NN0cn0 9114   ZZcz 9191   ...cfz 9944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-er 6501  df-pm 6617  df-en 6707  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945  df-seqfrec 10381

This theorem is referenced by:  ctinf  12363