Theorem ctinfom 13039

Description: A condition for a set being countably infinite. Restates ennnfone 13036 in terms of om and function image. Like ennnfone 13036 the condition can be summarized as A being countable, infinite, and having decidable equality. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ctinfom	|- ( A ~~ NN <-> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, n   x, A, y   f, k, n

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem ctinfom

Dummy variables a d i m g b c j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfone 13036	. . . 4 |- ( A ~~ NN <-> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. g ( g : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( g ` j ) =/= ( g ` i ) ) ) )
2	1	simplbi 274	. . 3 |- ( A ~~ NN -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
3		nnenom 10686	. . . . . . 7 |- NN ~~ om
4		entr 6953	. . . . . . 7 |- ( ( A ~~ NN /\ NN ~~ om ) -> A ~~ om )
5	3, 4	mpan2 425	. . . . . 6 |- ( A ~~ NN -> A ~~ om )
6	5	ensymd 6952	. . . . 5 |- ( A ~~ NN -> om ~~ A )
7		bren 6912	. . . . 5 |- ( om ~~ A <-> E. f f : om -1-1-onto-> A )
8	6, 7	sylib 122	. . . 4 |- ( A ~~ NN -> E. f f : om -1-1-onto-> A )
9		f1ofo 5587	. . . . . . . 8 |- ( f : om -1-1-onto-> A -> f : om -onto-> A )
10	9	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A ~~ NN /\ f : om -1-1-onto-> A ) -> f : om -onto-> A )
11		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ~~ NN /\ f : om -1-1-onto-> A ) /\ n e. om ) -> n e. om )
12		nnord 4708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. om -> Ord n )
13	12	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~~ NN /\ f : om -1-1-onto-> A ) /\ n e. om ) -> Ord n )
14		ordirr 4638	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord n -> -. n e. n )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ~~ NN /\ f : om -1-1-onto-> A ) /\ n e. om ) -> -. n e. n )
16		f1of1 5579	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : om -1-1-onto-> A -> f : om -1-1-> A )
17	16	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~~ NN /\ f : om -1-1-onto-> A ) /\ n e. om ) -> f : om -1-1-> A )
18		omelon 4705	. . . . . . . . . . . . 13 |- om e. On
19	18	onelssi 4524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. om -> n C_ om )
20	19	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~~ NN /\ f : om -1-1-onto-> A ) /\ n e. om ) -> n C_ om )
21		f1elima 5909	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : om -1-1-> A /\ n e. om /\ n C_ om ) -> ( ( f ` n ) e. ( f " n ) <-> n e. n ) )
22	17, 11, 20, 21	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ~~ NN /\ f : om -1-1-onto-> A ) /\ n e. om ) -> ( ( f ` n ) e. ( f " n ) <-> n e. n ) )
23	15, 22	mtbird 677	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ~~ NN /\ f : om -1-1-onto-> A ) /\ n e. om ) -> -. ( f ` n ) e. ( f " n ) )
24		fveq2 5635	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> ( f ` k ) = ( f ` n ) )
25	24	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = n -> ( ( f ` k ) e. ( f " n ) <-> ( f ` n ) e. ( f " n ) ) )
26	25	notbid 671	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> ( -. ( f ` k ) e. ( f " n ) <-> -. ( f ` n ) e. ( f " n ) ) )
27	26	rspcev 2908	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. om /\ -. ( f ` n ) e. ( f " n ) ) -> E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) )
28	11, 23, 27	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A ~~ NN /\ f : om -1-1-onto-> A ) /\ n e. om ) -> E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) )
29	28	ralrimiva 2603	. . . . . . 7 |- ( ( A ~~ NN /\ f : om -1-1-onto-> A ) -> A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) )
30	10, 29	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( A ~~ NN /\ f : om -1-1-onto-> A ) -> ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) )
31	30	ex 115	. . . . 5 |- ( A ~~ NN -> ( f : om -1-1-onto-> A -> ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) ) )
32	31	eximdv 1926	. . . 4 |- ( A ~~ NN -> ( E. f f : om -1-1-onto-> A -> E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) ) )
33	8, 32	mpd 13	. . 3 |- ( A ~~ NN -> E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) )
34	2, 33	jca 306	. 2 |- ( A ~~ NN -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) ) )
35		oveq1 6020	. . . . . . . . 9 |- ( b = a -> ( b + 1 ) = ( a + 1 ) )
36	35	cbvmptv 4183	. . . . . . . 8 |- ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) = ( a e. ZZ |-> ( a + 1 ) )
37		freceq1 6553	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) = ( a e. ZZ |-> ( a + 1 ) ) -> frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( a e. ZZ |-> ( a + 1 ) ) , 0 ) )
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( a e. ZZ |-> ( a + 1 ) ) , 0 )
39		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) = ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) )
40		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) -> f : om -onto-> A )
41		fveq2 5635	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = d -> ( f ` k ) = ( f ` d ) )
42	41	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = d -> ( ( f ` k ) e. ( f " n ) <-> ( f ` d ) e. ( f " n ) ) )
43	42	notbid 671	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = d -> ( -. ( f ` k ) e. ( f " n ) <-> -. ( f ` d ) e. ( f " n ) ) )
44	43	cbvrexv 2766	. . . . . . . . . 10 |- ( E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) <-> E. d e. om -. ( f ` d ) e. ( f " n ) )
45	44	ralbii 2536	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) <-> A. n e. om E. d e. om -. ( f ` d ) e. ( f " n ) )
46		imaeq2 5070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = c -> ( f " n ) = ( f " c ) )
47	46	eleq2d 2299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = c -> ( ( f ` d ) e. ( f " n ) <-> ( f ` d ) e. ( f " c ) ) )
48	47	notbid 671	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = c -> ( -. ( f ` d ) e. ( f " n ) <-> -. ( f ` d ) e. ( f " c ) ) )
49	48	rexbidv 2531	. . . . . . . . . 10 |- ( n = c -> ( E. d e. om -. ( f ` d ) e. ( f " n ) <-> E. d e. om -. ( f ` d ) e. ( f " c ) ) )
50	49	cbvralv 2765	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. om E. d e. om -. ( f ` d ) e. ( f " n ) <-> A. c e. om E. d e. om -. ( f ` d ) e. ( f " c ) )
51	45, 50	sylbb 123	. . . . . . . 8 |- ( A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) -> A. c e. om E. d e. om -. ( f ` d ) e. ( f " c ) )
52	51	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) -> A. c e. om E. d e. om -. ( f ` d ) e. ( f " c ) )
53	38, 39, 40, 52	ctinfomlemom 13038	. . . . . 6 |- ( ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) -> ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` j ) =/= ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` i ) ) )
54		vex 2803	. . . . . . . 8 |- f e. _V
55		frecex 6555	. . . . . . . . 9 |- frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) e. _V
56	55	cnvex 5273	. . . . . . . 8 |- `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) e. _V
57	54, 56	coex 5280	. . . . . . 7 |- ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) e. _V
58		foeq1 5552	. . . . . . . 8 |- ( g = ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) -> ( g : NN0 -onto-> A <-> ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) : NN0 -onto-> A ) )
59		fveq1 5634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) -> ( g ` j ) = ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` j ) )
60		fveq1 5634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) -> ( g ` i ) = ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` i ) )
61	59, 60	neeq12d 2420	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) -> ( ( g ` j ) =/= ( g ` i ) <-> ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` j ) =/= ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` i ) ) )
62	61	ralbidv 2530	. . . . . . . . . 10 |- ( g = ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) -> ( A. i e. ( 0 ... m ) ( g ` j ) =/= ( g ` i ) <-> A. i e. ( 0 ... m ) ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` j ) =/= ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` i ) ) )
63	62	rexbidv 2531	. . . . . . . . 9 |- ( g = ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) -> ( E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( g ` j ) =/= ( g ` i ) <-> E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` j ) =/= ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` i ) ) )
64	63	ralbidv 2530	. . . . . . . 8 |- ( g = ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) -> ( A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( g ` j ) =/= ( g ` i ) <-> A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` j ) =/= ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` i ) ) )
65	58, 64	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( g = ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) -> ( ( g : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( g ` j ) =/= ( g ` i ) ) <-> ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` j ) =/= ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` i ) ) ) )
66	57, 65	spcev 2899	. . . . . 6 |- ( ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` j ) =/= ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` i ) ) -> E. g ( g : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( g ` j ) =/= ( g ` i ) ) )
67	53, 66	syl 14	. . . . 5 |- ( ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) -> E. g ( g : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( g ` j ) =/= ( g ` i ) ) )
68	67	exlimiv 1644	. . . 4 |- ( E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) -> E. g ( g : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( g ` j ) =/= ( g ` i ) ) )
69	68	anim2i 342	. . 3 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) ) -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. g ( g : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( g ` j ) =/= ( g ` i ) ) ) )
70	69, 1	sylibr 134	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) ) -> A ~~ NN )
71	34, 70	impbii 126	1 |- ( A ~~ NN <-> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 839   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   =/= wne 2400   A.wral 2508   E.wrex 2509   C_ wss 3198   class class class wbr 4086   |-> cmpt 4148   Ord word 4457   omcom 4686   `'ccnv 4722   "cima 4726   o. ccom 4727   -1-1->wf1 5321   -onto->wfo 5322   -1-1-onto->wf1o 5323   ` cfv 5324  (class class class)co 6013  freccfrec 6551   ~~ cen 6902   0cc0 8022   1c1 8023   + caddc 8025   NNcn 9133   NN0cn0 9392   ZZcz 9469   ...cfz 10233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-er 6697  df-pm 6815  df-en 6905  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-fz 10234  df-seqfrec 10700

This theorem is referenced by:  ctinf  13041