Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ctinfom Unicode version

Theorem ctinfom 11786
 Description: A condition for a set being countably infinite. Restates ennnfone 11783 in terms of and function image. Like ennnfone 11783 the condition can be summarized as being countable, infinite, and having decidable equality. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
ctinfom DECID
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem ctinfom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ennnfone 11783 . . . 4 DECID
21simplbi 270 . . 3 DECID
3 nnenom 10100 . . . . . . 7
4 entr 6632 . . . . . . 7
53, 4mpan2 419 . . . . . 6
65ensymd 6631 . . . . 5
7 bren 6595 . . . . 5
86, 7sylib 121 . . . 4
9 f1ofo 5330 . . . . . . . 8
109adantl 273 . . . . . . 7
11 simpr 109 . . . . . . . . 9
12 nnord 4485 . . . . . . . . . . . 12
1312adantl 273 . . . . . . . . . . 11
14 ordirr 4417 . . . . . . . . . . 11
1513, 14syl 14 . . . . . . . . . 10
16 f1of1 5322 . . . . . . . . . . . 12
1716ad2antlr 478 . . . . . . . . . . 11
18 omelon 4482 . . . . . . . . . . . . 13
1918onelssi 4311 . . . . . . . . . . . 12
2019adantl 273 . . . . . . . . . . 11
21 f1elima 5628 . . . . . . . . . . 11
2217, 11, 20, 21syl3anc 1199 . . . . . . . . . 10
2315, 22mtbird 645 . . . . . . . . 9
24 fveq2 5375 . . . . . . . . . . . 12
2524eleq1d 2183 . . . . . . . . . . 11
2625notbid 639 . . . . . . . . . 10
2726rspcev 2760 . . . . . . . . 9
2811, 23, 27syl2anc 406 . . . . . . . 8
2928ralrimiva 2479 . . . . . . 7
3010, 29jca 302 . . . . . 6
3130ex 114 . . . . 5
3231eximdv 1834 . . . 4
338, 32mpd 13 . . 3
342, 33jca 302 . 2 DECID
35 oveq1 5735 . . . . . . . . 9
3635cbvmptv 3984 . . . . . . . 8
37 freceq1 6243 . . . . . . . 8 frec frec
3836, 37ax-mp 7 . . . . . . 7 frec frec
39 eqid 2115 . . . . . . 7 frec frec
40 simpl 108 . . . . . . 7
41 fveq2 5375 . . . . . . . . . . . . 13
4241eleq1d 2183 . . . . . . . . . . . 12
4342notbid 639 . . . . . . . . . . 11
4443cbvrexv 2629 . . . . . . . . . 10
4544ralbii 2415 . . . . . . . . 9
46 imaeq2 4835 . . . . . . . . . . . . 13
4746eleq2d 2184 . . . . . . . . . . . 12
4847notbid 639 . . . . . . . . . . 11
4948rexbidv 2412 . . . . . . . . . 10
5049cbvralv 2628 . . . . . . . . 9
5145, 50sylbb 122 . . . . . . . 8
5251adantl 273 . . . . . . 7
5338, 39, 40, 52ctinfomlemom 11785 . . . . . 6 frec frec frec
54 vex 2660 . . . . . . . 8
55 frecex 6245 . . . . . . . . 9 frec
5655cnvex 5035 . . . . . . . 8 frec
5754, 56coex 5042 . . . . . . 7 frec
58 foeq1 5299 . . . . . . . 8 frec frec
59 fveq1 5374 . . . . . . . . . . . 12 frec frec
60 fveq1 5374 . . . . . . . . . . . 12 frec frec
6159, 60neeq12d 2302 . . . . . . . . . . 11 frec frec frec
6261ralbidv 2411 . . . . . . . . . 10 frec frec frec
6362rexbidv 2412 . . . . . . . . 9 frec frec frec
6463ralbidv 2411 . . . . . . . 8 frec frec frec
6558, 64anbi12d 462 . . . . . . 7 frec frec frec frec
6657, 65spcev 2751 . . . . . 6 frec frec frec
6753, 66syl 14 . . . . 5
6867exlimiv 1560 . . . 4
6968anim2i 337 . . 3 DECID DECID
7069, 1sylibr 133 . 2 DECID
7134, 70impbii 125 1 DECID
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wa 103   wb 104  DECID wdc 802   wceq 1314  wex 1451   wcel 1463   wne 2282  wral 2390  wrex 2391   wss 3037   class class class wbr 3895   cmpt 3949   word 4244  com 4464  ccnv 4498  cima 4502   ccom 4503  wf1 5078  wfo 5079  wf1o 5080  cfv 5081  (class class class)co 5728  freccfrec 6241   cen 6586  cc0 7547  c1 7548   caddc 7550  cn 8630  cn0 8881  cz 8958  cfz 9683 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-ltadd 7661 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-er 6383  df-pm 6499  df-en 6589  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-fz 9684  df-seqfrec 10112 This theorem is referenced by:  ctinf  11788
 Copyright terms: Public domain W3C validator