Theorem ctinfom 12428

Description: A condition for a set being countably infinite. Restates ennnfone 12425 in terms of om and function image. Like ennnfone 12425 the condition can be summarized as A being countable, infinite, and having decidable equality. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ctinfom	|- ( A ~~ NN <-> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, n   x, A, y   f, k, n

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem ctinfom

Dummy variables a d i m g b c j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfone 12425	. . . 4 |- ( A ~~ NN <-> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. g ( g : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( g ` j ) =/= ( g ` i ) ) ) )
2	1	simplbi 274	. . 3 |- ( A ~~ NN -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
3		nnenom 10433	. . . . . . 7 |- NN ~~ om
4		entr 6783	. . . . . . 7 |- ( ( A ~~ NN /\ NN ~~ om ) -> A ~~ om )
5	3, 4	mpan2 425	. . . . . 6 |- ( A ~~ NN -> A ~~ om )
6	5	ensymd 6782	. . . . 5 |- ( A ~~ NN -> om ~~ A )
7		bren 6746	. . . . 5 |- ( om ~~ A <-> E. f f : om -1-1-onto-> A )
8	6, 7	sylib 122	. . . 4 |- ( A ~~ NN -> E. f f : om -1-1-onto-> A )
9		f1ofo 5468	. . . . . . . 8 |- ( f : om -1-1-onto-> A -> f : om -onto-> A )
10	9	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A ~~ NN /\ f : om -1-1-onto-> A ) -> f : om -onto-> A )
11		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ~~ NN /\ f : om -1-1-onto-> A ) /\ n e. om ) -> n e. om )
12		nnord 4611	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. om -> Ord n )
13	12	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~~ NN /\ f : om -1-1-onto-> A ) /\ n e. om ) -> Ord n )
14		ordirr 4541	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord n -> -. n e. n )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ~~ NN /\ f : om -1-1-onto-> A ) /\ n e. om ) -> -. n e. n )
16		f1of1 5460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : om -1-1-onto-> A -> f : om -1-1-> A )
17	16	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~~ NN /\ f : om -1-1-onto-> A ) /\ n e. om ) -> f : om -1-1-> A )
18		omelon 4608	. . . . . . . . . . . . 13 |- om e. On
19	18	onelssi 4429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. om -> n C_ om )
20	19	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~~ NN /\ f : om -1-1-onto-> A ) /\ n e. om ) -> n C_ om )
21		f1elima 5773	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : om -1-1-> A /\ n e. om /\ n C_ om ) -> ( ( f ` n ) e. ( f " n ) <-> n e. n ) )
22	17, 11, 20, 21	syl3anc 1238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ~~ NN /\ f : om -1-1-onto-> A ) /\ n e. om ) -> ( ( f ` n ) e. ( f " n ) <-> n e. n ) )
23	15, 22	mtbird 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ~~ NN /\ f : om -1-1-onto-> A ) /\ n e. om ) -> -. ( f ` n ) e. ( f " n ) )
24		fveq2 5515	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> ( f ` k ) = ( f ` n ) )
25	24	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = n -> ( ( f ` k ) e. ( f " n ) <-> ( f ` n ) e. ( f " n ) ) )
26	25	notbid 667	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> ( -. ( f ` k ) e. ( f " n ) <-> -. ( f ` n ) e. ( f " n ) ) )
27	26	rspcev 2841	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. om /\ -. ( f ` n ) e. ( f " n ) ) -> E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) )
28	11, 23, 27	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A ~~ NN /\ f : om -1-1-onto-> A ) /\ n e. om ) -> E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) )
29	28	ralrimiva 2550	. . . . . . 7 |- ( ( A ~~ NN /\ f : om -1-1-onto-> A ) -> A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) )
30	10, 29	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( A ~~ NN /\ f : om -1-1-onto-> A ) -> ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) )
31	30	ex 115	. . . . 5 |- ( A ~~ NN -> ( f : om -1-1-onto-> A -> ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) ) )
32	31	eximdv 1880	. . . 4 |- ( A ~~ NN -> ( E. f f : om -1-1-onto-> A -> E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) ) )
33	8, 32	mpd 13	. . 3 |- ( A ~~ NN -> E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) )
34	2, 33	jca 306	. 2 |- ( A ~~ NN -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) ) )
35		oveq1 5881	. . . . . . . . 9 |- ( b = a -> ( b + 1 ) = ( a + 1 ) )
36	35	cbvmptv 4099	. . . . . . . 8 |- ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) = ( a e. ZZ |-> ( a + 1 ) )
37		freceq1 6392	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) = ( a e. ZZ |-> ( a + 1 ) ) -> frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( a e. ZZ |-> ( a + 1 ) ) , 0 ) )
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( a e. ZZ |-> ( a + 1 ) ) , 0 )
39		eqid 2177	. . . . . . 7 |- ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) = ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) )
40		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) -> f : om -onto-> A )
41		fveq2 5515	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = d -> ( f ` k ) = ( f ` d ) )
42	41	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = d -> ( ( f ` k ) e. ( f " n ) <-> ( f ` d ) e. ( f " n ) ) )
43	42	notbid 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = d -> ( -. ( f ` k ) e. ( f " n ) <-> -. ( f ` d ) e. ( f " n ) ) )
44	43	cbvrexv 2704	. . . . . . . . . 10 |- ( E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) <-> E. d e. om -. ( f ` d ) e. ( f " n ) )
45	44	ralbii 2483	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) <-> A. n e. om E. d e. om -. ( f ` d ) e. ( f " n ) )
46		imaeq2 4966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = c -> ( f " n ) = ( f " c ) )
47	46	eleq2d 2247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = c -> ( ( f ` d ) e. ( f " n ) <-> ( f ` d ) e. ( f " c ) ) )
48	47	notbid 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = c -> ( -. ( f ` d ) e. ( f " n ) <-> -. ( f ` d ) e. ( f " c ) ) )
49	48	rexbidv 2478	. . . . . . . . . 10 |- ( n = c -> ( E. d e. om -. ( f ` d ) e. ( f " n ) <-> E. d e. om -. ( f ` d ) e. ( f " c ) ) )
50	49	cbvralv 2703	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. om E. d e. om -. ( f ` d ) e. ( f " n ) <-> A. c e. om E. d e. om -. ( f ` d ) e. ( f " c ) )
51	45, 50	sylbb 123	. . . . . . . 8 |- ( A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) -> A. c e. om E. d e. om -. ( f ` d ) e. ( f " c ) )
52	51	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) -> A. c e. om E. d e. om -. ( f ` d ) e. ( f " c ) )
53	38, 39, 40, 52	ctinfomlemom 12427	. . . . . 6 |- ( ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) -> ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` j ) =/= ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` i ) ) )
54		vex 2740	. . . . . . . 8 |- f e. _V
55		frecex 6394	. . . . . . . . 9 |- frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) e. _V
56	55	cnvex 5167	. . . . . . . 8 |- `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) e. _V
57	54, 56	coex 5174	. . . . . . 7 |- ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) e. _V
58		foeq1 5434	. . . . . . . 8 |- ( g = ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) -> ( g : NN0 -onto-> A <-> ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) : NN0 -onto-> A ) )
59		fveq1 5514	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) -> ( g ` j ) = ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` j ) )
60		fveq1 5514	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) -> ( g ` i ) = ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` i ) )
61	59, 60	neeq12d 2367	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) -> ( ( g ` j ) =/= ( g ` i ) <-> ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` j ) =/= ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` i ) ) )
62	61	ralbidv 2477	. . . . . . . . . 10 |- ( g = ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) -> ( A. i e. ( 0 ... m ) ( g ` j ) =/= ( g ` i ) <-> A. i e. ( 0 ... m ) ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` j ) =/= ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` i ) ) )
63	62	rexbidv 2478	. . . . . . . . 9 |- ( g = ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) -> ( E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( g ` j ) =/= ( g ` i ) <-> E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` j ) =/= ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` i ) ) )
64	63	ralbidv 2477	. . . . . . . 8 |- ( g = ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) -> ( A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( g ` j ) =/= ( g ` i ) <-> A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` j ) =/= ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` i ) ) )
65	58, 64	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( g = ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) -> ( ( g : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( g ` j ) =/= ( g ` i ) ) <-> ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` j ) =/= ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` i ) ) ) )
66	57, 65	spcev 2832	. . . . . 6 |- ( ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` j ) =/= ( ( f o. `'frec ( ( b e. ZZ |-> ( b + 1 ) ) , 0 ) ) ` i ) ) -> E. g ( g : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( g ` j ) =/= ( g ` i ) ) )
67	53, 66	syl 14	. . . . 5 |- ( ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) -> E. g ( g : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( g ` j ) =/= ( g ` i ) ) )
68	67	exlimiv 1598	. . . 4 |- ( E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) -> E. g ( g : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( g ` j ) =/= ( g ` i ) ) )
69	68	anim2i 342	. . 3 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) ) -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. g ( g : NN0 -onto-> A /\ A. m e. NN0 E. j e. NN0 A. i e. ( 0 ... m ) ( g ` j ) =/= ( g ` i ) ) ) )
70	69, 1	sylibr 134	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) ) -> A ~~ NN )
71	34, 70	impbii 126	1 |- ( A ~~ NN <-> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   =/= wne 2347   A.wral 2455   E.wrex 2456   C_ wss 3129   class class class wbr 4003   |-> cmpt 4064   Ord word 4362   omcom 4589   `'ccnv 4625   "cima 4629   o. ccom 4630   -1-1->wf1 5213   -onto->wfo 5214   -1-1-onto->wf1o 5215   ` cfv 5216  (class class class)co 5874  freccfrec 6390   ~~ cen 6737   0cc0 7810   1c1 7811   + caddc 7813   NNcn 8918   NN0cn0 9175   ZZcz 9252   ...cfz 10007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-er 6534  df-pm 6650  df-en 6740  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-fz 10008  df-seqfrec 10445

This theorem is referenced by:  ctinf  12430