Theorem frirrg 4453

Description: A well-founded relation is irreflexive. This is the case where A exists. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
frirrg	|- ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) -> -. B R B )

Proof of Theorem frirrg

Dummy variables s x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ A C_ ( A \ { B } ) ) -> A C_ ( A \ { B } ) )
2		simpl3 1029	. . . 4 |- ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ A C_ ( A \ { B } ) ) -> B e. A )
3	1, 2	sseldd 3229	. . 3 |- ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ A C_ ( A \ { B } ) ) -> B e. ( A \ { B } ) )
4		neldifsnd 3808	. . 3 |- ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ A C_ ( A \ { B } ) ) -> -. B e. ( A \ { B } ) )
5	3, 4	pm2.65da 667	. 2 |- ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) -> -. A C_ ( A \ { B } ) )
6		simplr 529	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) -> x e. A )
7		simplr 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) -> B R B )
8	7	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> B R B )
9		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> x = B )
10	8, 9	breqtrrd 4121	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> B R x )
11		breq1 4096	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = B -> ( y R x <-> B R x ) )
12		eleq1 2294	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = B -> ( y e. ( A \ { B } ) <-> B e. ( A \ { B } ) ) )
13	11, 12	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( y = B -> ( ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) <-> ( B R x -> B e. ( A \ { B } ) ) ) )
14		simplr 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) )
15		simpll3 1065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) -> B e. A )
16	15	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> B e. A )
17	13, 14, 16	rspcdva 2916	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> ( B R x -> B e. ( A \ { B } ) ) )
18	10, 17	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> B e. ( A \ { B } ) )
19		neldifsnd 3808	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> -. B e. ( A \ { B } ) )
20	18, 19	pm2.65da 667	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) -> -. x = B )
21		velsn 3690	. . . . . . 7 |- ( x e. { B } <-> x = B )
22	20, 21	sylnibr 684	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) -> -. x e. { B } )
23	6, 22	eldifd 3211	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) -> x e. ( A \ { B } ) )
24	23	ex 115	. . . 4 |- ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) -> x e. ( A \ { B } ) ) )
25	24	ralrimiva 2606	. . 3 |- ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) -> A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) -> x e. ( A \ { B } ) ) )
26		df-frind 4435	. . . . . . . 8 |- ( R Fr A <-> A. sFrFor R A s )
27		df-frfor 4434	. . . . . . . . 9 |- (FrFor R A s <-> ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s ) )
28	27	albii 1519	. . . . . . . 8 |- ( A. sFrFor R A s <-> A. s ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s ) )
29	26, 28	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( R Fr A <-> A. s ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s ) )
30	29	biimpi 120	. . . . . 6 |- ( R Fr A -> A. s ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s ) )
31	30	3ad2ant1 1045	. . . . 5 |- ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) -> A. s ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s ) )
32		difexg 4236	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( A \ { B } ) e. _V )
33		eleq2 2295	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = ( A \ { B } ) -> ( y e. s <-> y e. ( A \ { B } ) ) )
34	33	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = ( A \ { B } ) -> ( ( y R x -> y e. s ) <-> ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) )
35	34	ralbidv 2533	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = ( A \ { B } ) -> ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) <-> A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) )
36		eleq2 2295	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = ( A \ { B } ) -> ( x e. s <-> x e. ( A \ { B } ) ) )
37	35, 36	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( s = ( A \ { B } ) -> ( ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) -> x e. s ) <-> ( A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) -> x e. ( A \ { B } ) ) ) )
38	37	ralbidv 2533	. . . . . . . . 9 |- ( s = ( A \ { B } ) -> ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) -> x e. s ) <-> A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) -> x e. ( A \ { B } ) ) ) )
39		sseq2 3252	. . . . . . . . 9 |- ( s = ( A \ { B } ) -> ( A C_ s <-> A C_ ( A \ { B } ) ) )
40	38, 39	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( s = ( A \ { B } ) -> ( ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s ) <-> ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) -> x e. ( A \ { B } ) ) -> A C_ ( A \ { B } ) ) ) )
41	40	spcgv 2894	. . . . . . 7 |- ( ( A \ { B } ) e. _V -> ( A. s ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s ) -> ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) -> x e. ( A \ { B } ) ) -> A C_ ( A \ { B } ) ) ) )
42	32, 41	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( A. s ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s ) -> ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) -> x e. ( A \ { B } ) ) -> A C_ ( A \ { B } ) ) ) )
43	42	3ad2ant2 1046	. . . . 5 |- ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) -> ( A. s ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s ) -> ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) -> x e. ( A \ { B } ) ) -> A C_ ( A \ { B } ) ) ) )
44	31, 43	mpd 13	. . . 4 |- ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) -> ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) -> x e. ( A \ { B } ) ) -> A C_ ( A \ { B } ) ) )
45	44	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) -> ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) -> x e. ( A \ { B } ) ) -> A C_ ( A \ { B } ) ) )
46	25, 45	mpd 13	. 2 |- ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) -> A C_ ( A \ { B } ) )
47	5, 46	mtand 671	1 |- ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) -> -. B R B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   A.wal 1396   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   _Vcvv 2803   \ cdif 3198   C_ wss 3201   {csn 3673   class class class wbr 4093  FrFor wfrfor 4430   Fr wfr 4431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213  ax-sep 4212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-frfor 4434  df-frind 4435

This theorem is referenced by:  efrirr  4456  wepo  4462  wetriext  4681