ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frirrg Unicode version

Theorem frirrg 4240
Description: A well-founded relation is irreflexive. This is the case where  A exists. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
frirrg  |-  ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  ->  -.  B R B )

Proof of Theorem frirrg
Dummy variables  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . 4  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A
)  /\  A  C_  ( A  \  { B }
) )  ->  A  C_  ( A  \  { B } ) )
2 simpl3 969 . . . 4  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A
)  /\  A  C_  ( A  \  { B }
) )  ->  B  e.  A )
31, 2sseldd 3066 . . 3  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A
)  /\  A  C_  ( A  \  { B }
) )  ->  B  e.  ( A  \  { B } ) )
4 neldifsnd 3622 . . 3  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A
)  /\  A  C_  ( A  \  { B }
) )  ->  -.  B  e.  ( A  \  { B } ) )
53, 4pm2.65da 633 . 2  |-  ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  ->  -.  A  C_  ( A  \  { B }
) )
6 simplr 502 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  /\  B R B )  /\  x  e.  A )  /\  A. y  e.  A  (
y R x  -> 
y  e.  ( A 
\  { B }
) ) )  ->  x  e.  A )
7 simplr 502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A
)  /\  B R B )  /\  x  e.  A )  ->  B R B )
87ad2antrr 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  /\  B R B )  /\  x  e.  A
)  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  B R B )
9 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  /\  B R B )  /\  x  e.  A
)  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  x  =  B )
108, 9breqtrrd 3924 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  /\  B R B )  /\  x  e.  A
)  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  B R x )
11 breq1 3900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  B  ->  (
y R x  <->  B R x ) )
12 eleq1 2178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  B  ->  (
y  e.  ( A 
\  { B }
)  <->  B  e.  ( A  \  { B }
) ) )
1311, 12imbi12d 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) )  <->  ( B R x  ->  B  e.  ( A  \  { B } ) ) ) )
14 simplr 502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  /\  B R B )  /\  x  e.  A
)  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) ) )
15 simpll3 1005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A
)  /\  B R B )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  A )
1615ad2antrr 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  /\  B R B )  /\  x  e.  A
)  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  B  e.  A )
1713, 14, 16rspcdva 2766 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  /\  B R B )  /\  x  e.  A
)  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  ( B R x  ->  B  e.  ( A  \  { B } ) ) )
1810, 17mpd 13 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  /\  B R B )  /\  x  e.  A
)  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  B  e.  ( A  \  { B } ) )
19 neldifsnd 3622 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  /\  B R B )  /\  x  e.  A
)  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  -.  B  e.  ( A  \  { B } ) )
2018, 19pm2.65da 633 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  /\  B R B )  /\  x  e.  A )  /\  A. y  e.  A  (
y R x  -> 
y  e.  ( A 
\  { B }
) ) )  ->  -.  x  =  B
)
21 velsn 3512 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { B }  <->  x  =  B )
2220, 21sylnibr 649 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  /\  B R B )  /\  x  e.  A )  /\  A. y  e.  A  (
y R x  -> 
y  e.  ( A 
\  { B }
) ) )  ->  -.  x  e.  { B } )
236, 22eldifd 3049 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  /\  B R B )  /\  x  e.  A )  /\  A. y  e.  A  (
y R x  -> 
y  e.  ( A 
\  { B }
) ) )  ->  x  e.  ( A  \  { B } ) )
2423ex 114 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A
)  /\  B R B )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  \  { B } ) ) )
2524ralrimiva 2480 . . 3  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A
)  /\  B R B )  ->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  (
y R x  -> 
y  e.  ( A 
\  { B }
) )  ->  x  e.  ( A  \  { B } ) ) )
26 df-frind 4222 . . . . . . . 8  |-  ( R  Fr  A  <->  A. sFrFor  R A s )
27 df-frfor 4221 . . . . . . . . 9  |-  (FrFor  R A s  <->  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  s )  ->  x  e.  s )  ->  A  C_  s ) )
2827albii 1429 . . . . . . . 8  |-  ( A. sFrFor  R A s  <->  A. s
( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  s )  ->  x  e.  s )  ->  A  C_  s ) )
2926, 28bitri 183 . . . . . . 7  |-  ( R  Fr  A  <->  A. s
( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  s )  ->  x  e.  s )  ->  A  C_  s ) )
3029biimpi 119 . . . . . 6  |-  ( R  Fr  A  ->  A. s
( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  s )  ->  x  e.  s )  ->  A  C_  s ) )
31303ad2ant1 985 . . . . 5  |-  ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  ->  A. s ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  s )  ->  x  e.  s )  ->  A  C_  s ) )
32 difexg 4037 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  \  { B }
)  e.  _V )
33 eleq2 2179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( A  \  { B } )  -> 
( y  e.  s  <-> 
y  e.  ( A 
\  { B }
) ) )
3433imbi2d 229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  ( A  \  { B } )  -> 
( ( y R x  ->  y  e.  s )  <->  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) ) ) )
3534ralbidv 2412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  ( A  \  { B } )  -> 
( A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  s )  <->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) ) ) )
36 eleq2 2179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  ( A  \  { B } )  -> 
( x  e.  s  <-> 
x  e.  ( A 
\  { B }
) ) )
3735, 36imbi12d 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  ( A  \  { B } )  -> 
( ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  s )  ->  x  e.  s )  <->  ( A. y  e.  A  (
y R x  -> 
y  e.  ( A 
\  { B }
) )  ->  x  e.  ( A  \  { B } ) ) ) )
3837ralbidv 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( A  \  { B } )  -> 
( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  s )  ->  x  e.  s )  <->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  (
y R x  -> 
y  e.  ( A 
\  { B }
) )  ->  x  e.  ( A  \  { B } ) ) ) )
39 sseq2 3089 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( A  \  { B } )  -> 
( A  C_  s  <->  A 
C_  ( A  \  { B } ) ) )
4038, 39imbi12d 233 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( A  \  { B } )  -> 
( ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  (
y R x  -> 
y  e.  s )  ->  x  e.  s )  ->  A  C_  s
)  <->  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  (
y R x  -> 
y  e.  ( A 
\  { B }
) )  ->  x  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  A  C_  ( A  \  { B } ) ) ) )
4140spcgv 2745 . . . . . . 7  |-  ( ( A  \  { B } )  e.  _V  ->  ( A. s ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  s )  ->  x  e.  s )  ->  A  C_  s )  ->  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  A  C_  ( A  \  { B }
) ) ) )
4232, 41syl 14 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. s ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  (
y R x  -> 
y  e.  s )  ->  x  e.  s )  ->  A  C_  s
)  ->  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  A  C_  ( A  \  { B }
) ) ) )
43423ad2ant2 986 . . . . 5  |-  ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  ->  ( A. s ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  s )  ->  x  e.  s )  ->  A  C_  s )  ->  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  A  C_  ( A  \  { B }
) ) ) )
4431, 43mpd 13 . . . 4  |-  ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  ->  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  A  C_  ( A  \  { B }
) ) )
4544adantr 272 . . 3  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A
)  /\  B R B )  ->  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  A  C_  ( A  \  { B }
) ) )
4625, 45mpd 13 . 2  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A
)  /\  B R B )  ->  A  C_  ( A  \  { B } ) )
475, 46mtand 637 1  |-  ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  ->  -.  B R B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 945   A.wal 1312    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391   _Vcvv 2658    \ cdif 3036    C_ wss 3039   {csn 3495   class class class wbr 3897  FrFor wfrfor 4217    Fr wfr 4218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-v 2660  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-br 3898  df-frfor 4221  df-frind 4222
This theorem is referenced by:  efrirr  4243  wepo  4249  wetriext  4459
  Copyright terms: Public domain W3C validator