Theorem frirrg 4328

Description: A well-founded relation is irreflexive. This is the case where A exists. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
frirrg	|- ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) -> -. B R B )

Proof of Theorem frirrg

Dummy variables s x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ A C_ ( A \ { B } ) ) -> A C_ ( A \ { B } ) )
2		simpl3 992	. . . 4 |- ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ A C_ ( A \ { B } ) ) -> B e. A )
3	1, 2	sseldd 3143	. . 3 |- ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ A C_ ( A \ { B } ) ) -> B e. ( A \ { B } ) )
4		neldifsnd 3707	. . 3 |- ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ A C_ ( A \ { B } ) ) -> -. B e. ( A \ { B } ) )
5	3, 4	pm2.65da 651	. 2 |- ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) -> -. A C_ ( A \ { B } ) )
6		simplr 520	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) -> x e. A )
7		simplr 520	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) -> B R B )
8	7	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> B R B )
9		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> x = B )
10	8, 9	breqtrrd 4010	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> B R x )
11		breq1 3985	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = B -> ( y R x <-> B R x ) )
12		eleq1 2229	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = B -> ( y e. ( A \ { B } ) <-> B e. ( A \ { B } ) ) )
13	11, 12	imbi12d 233	. . . . . . . . . 10 |- ( y = B -> ( ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) <-> ( B R x -> B e. ( A \ { B } ) ) ) )
14		simplr 520	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) )
15		simpll3 1028	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) -> B e. A )
16	15	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> B e. A )
17	13, 14, 16	rspcdva 2835	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> ( B R x -> B e. ( A \ { B } ) ) )
18	10, 17	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> B e. ( A \ { B } ) )
19		neldifsnd 3707	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> -. B e. ( A \ { B } ) )
20	18, 19	pm2.65da 651	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) -> -. x = B )
21		velsn 3593	. . . . . . 7 |- ( x e. { B } <-> x = B )
22	20, 21	sylnibr 667	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) -> -. x e. { B } )
23	6, 22	eldifd 3126	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) -> x e. ( A \ { B } ) )
24	23	ex 114	. . . 4 |- ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) -> x e. ( A \ { B } ) ) )
25	24	ralrimiva 2539	. . 3 |- ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) -> A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) -> x e. ( A \ { B } ) ) )
26		df-frind 4310	. . . . . . . 8 |- ( R Fr A <-> A. sFrFor R A s )
27		df-frfor 4309	. . . . . . . . 9 |- (FrFor R A s <-> ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s ) )
28	27	albii 1458	. . . . . . . 8 |- ( A. sFrFor R A s <-> A. s ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s ) )
29	26, 28	bitri 183	. . . . . . 7 |- ( R Fr A <-> A. s ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s ) )
30	29	biimpi 119	. . . . . 6 |- ( R Fr A -> A. s ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s ) )
31	30	3ad2ant1 1008	. . . . 5 |- ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) -> A. s ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s ) )
32		difexg 4123	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( A \ { B } ) e. _V )
33		eleq2 2230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = ( A \ { B } ) -> ( y e. s <-> y e. ( A \ { B } ) ) )
34	33	imbi2d 229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = ( A \ { B } ) -> ( ( y R x -> y e. s ) <-> ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) )
35	34	ralbidv 2466	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = ( A \ { B } ) -> ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) <-> A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) )
36		eleq2 2230	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = ( A \ { B } ) -> ( x e. s <-> x e. ( A \ { B } ) ) )
37	35, 36	imbi12d 233	. . . . . . . . . 10 |- ( s = ( A \ { B } ) -> ( ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) -> x e. s ) <-> ( A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) -> x e. ( A \ { B } ) ) ) )
38	37	ralbidv 2466	. . . . . . . . 9 |- ( s = ( A \ { B } ) -> ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) -> x e. s ) <-> A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) -> x e. ( A \ { B } ) ) ) )
39		sseq2 3166	. . . . . . . . 9 |- ( s = ( A \ { B } ) -> ( A C_ s <-> A C_ ( A \ { B } ) ) )
40	38, 39	imbi12d 233	. . . . . . . 8 |- ( s = ( A \ { B } ) -> ( ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s ) <-> ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) -> x e. ( A \ { B } ) ) -> A C_ ( A \ { B } ) ) ) )
41	40	spcgv 2813	. . . . . . 7 |- ( ( A \ { B } ) e. _V -> ( A. s ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s ) -> ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) -> x e. ( A \ { B } ) ) -> A C_ ( A \ { B } ) ) ) )
42	32, 41	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( A. s ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s ) -> ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) -> x e. ( A \ { B } ) ) -> A C_ ( A \ { B } ) ) ) )
43	42	3ad2ant2 1009	. . . . 5 |- ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) -> ( A. s ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s ) -> ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) -> x e. ( A \ { B } ) ) -> A C_ ( A \ { B } ) ) ) )
44	31, 43	mpd 13	. . . 4 |- ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) -> ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) -> x e. ( A \ { B } ) ) -> A C_ ( A \ { B } ) ) )
45	44	adantr 274	. . 3 |- ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) -> ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) -> x e. ( A \ { B } ) ) -> A C_ ( A \ { B } ) ) )
46	25, 45	mpd 13	. 2 |- ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) -> A C_ ( A \ { B } ) )
47	5, 46	mtand 655	1 |- ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) -> -. B R B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 968   A.wal 1341   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   _Vcvv 2726   \ cdif 3113   C_ wss 3116   {csn 3576   class class class wbr 3982  FrFor wfrfor 4305   Fr wfr 4306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-sep 4100

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-frfor 4309  df-frind 4310

This theorem is referenced by:  efrirr  4331  wepo  4337  wetriext  4554