Theorem frirrg 4415

Description: A well-founded relation is irreflexive. This is the case where A exists. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
frirrg	|- ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) -> -. B R B )

Proof of Theorem frirrg

Dummy variables s x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ A C_ ( A \ { B } ) ) -> A C_ ( A \ { B } ) )
2		simpl3 1005	. . . 4 |- ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ A C_ ( A \ { B } ) ) -> B e. A )
3	1, 2	sseldd 3202	. . 3 |- ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ A C_ ( A \ { B } ) ) -> B e. ( A \ { B } ) )
4		neldifsnd 3775	. . 3 |- ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ A C_ ( A \ { B } ) ) -> -. B e. ( A \ { B } ) )
5	3, 4	pm2.65da 663	. 2 |- ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) -> -. A C_ ( A \ { B } ) )
6		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) -> x e. A )
7		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) -> B R B )
8	7	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> B R B )
9		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> x = B )
10	8, 9	breqtrrd 4087	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> B R x )
11		breq1 4062	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = B -> ( y R x <-> B R x ) )
12		eleq1 2270	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = B -> ( y e. ( A \ { B } ) <-> B e. ( A \ { B } ) ) )
13	11, 12	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( y = B -> ( ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) <-> ( B R x -> B e. ( A \ { B } ) ) ) )
14		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) )
15		simpll3 1041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) -> B e. A )
16	15	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> B e. A )
17	13, 14, 16	rspcdva 2889	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> ( B R x -> B e. ( A \ { B } ) ) )
18	10, 17	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> B e. ( A \ { B } ) )
19		neldifsnd 3775	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> -. B e. ( A \ { B } ) )
20	18, 19	pm2.65da 663	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) -> -. x = B )
21		velsn 3660	. . . . . . 7 |- ( x e. { B } <-> x = B )
22	20, 21	sylnibr 679	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) -> -. x e. { B } )
23	6, 22	eldifd 3184	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) /\ A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) -> x e. ( A \ { B } ) )
24	23	ex 115	. . . 4 |- ( ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) -> x e. ( A \ { B } ) ) )
25	24	ralrimiva 2581	. . 3 |- ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) -> A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) -> x e. ( A \ { B } ) ) )
26		df-frind 4397	. . . . . . . 8 |- ( R Fr A <-> A. sFrFor R A s )
27		df-frfor 4396	. . . . . . . . 9 |- (FrFor R A s <-> ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s ) )
28	27	albii 1494	. . . . . . . 8 |- ( A. sFrFor R A s <-> A. s ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s ) )
29	26, 28	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( R Fr A <-> A. s ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s ) )
30	29	biimpi 120	. . . . . 6 |- ( R Fr A -> A. s ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s ) )
31	30	3ad2ant1 1021	. . . . 5 |- ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) -> A. s ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s ) )
32		difexg 4201	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( A \ { B } ) e. _V )
33		eleq2 2271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = ( A \ { B } ) -> ( y e. s <-> y e. ( A \ { B } ) ) )
34	33	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = ( A \ { B } ) -> ( ( y R x -> y e. s ) <-> ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) )
35	34	ralbidv 2508	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = ( A \ { B } ) -> ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) <-> A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) ) )
36		eleq2 2271	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = ( A \ { B } ) -> ( x e. s <-> x e. ( A \ { B } ) ) )
37	35, 36	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( s = ( A \ { B } ) -> ( ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) -> x e. s ) <-> ( A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) -> x e. ( A \ { B } ) ) ) )
38	37	ralbidv 2508	. . . . . . . . 9 |- ( s = ( A \ { B } ) -> ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) -> x e. s ) <-> A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) -> x e. ( A \ { B } ) ) ) )
39		sseq2 3225	. . . . . . . . 9 |- ( s = ( A \ { B } ) -> ( A C_ s <-> A C_ ( A \ { B } ) ) )
40	38, 39	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( s = ( A \ { B } ) -> ( ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s ) <-> ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) -> x e. ( A \ { B } ) ) -> A C_ ( A \ { B } ) ) ) )
41	40	spcgv 2867	. . . . . . 7 |- ( ( A \ { B } ) e. _V -> ( A. s ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s ) -> ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) -> x e. ( A \ { B } ) ) -> A C_ ( A \ { B } ) ) ) )
42	32, 41	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( A. s ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s ) -> ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) -> x e. ( A \ { B } ) ) -> A C_ ( A \ { B } ) ) ) )
43	42	3ad2ant2 1022	. . . . 5 |- ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) -> ( A. s ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s ) -> ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) -> x e. ( A \ { B } ) ) -> A C_ ( A \ { B } ) ) ) )
44	31, 43	mpd 13	. . . 4 |- ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) -> ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) -> x e. ( A \ { B } ) ) -> A C_ ( A \ { B } ) ) )
45	44	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) -> ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> y e. ( A \ { B } ) ) -> x e. ( A \ { B } ) ) -> A C_ ( A \ { B } ) ) )
46	25, 45	mpd 13	. 2 |- ( ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) /\ B R B ) -> A C_ ( A \ { B } ) )
47	5, 46	mtand 667	1 |- ( ( R Fr A /\ A e. V /\ B e. A ) -> -. B R B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   A.wal 1371   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   _Vcvv 2776   \ cdif 3171   C_ wss 3174   {csn 3643   class class class wbr 4059  FrFor wfrfor 4392   Fr wfr 4393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189  ax-sep 4178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-frfor 4396  df-frind 4397

This theorem is referenced by:  efrirr  4418  wepo  4424  wetriext  4643