Theorem fsnunf 5807

Description: Adjoining a point to a function gives a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fsnunf	|- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> T )

Proof of Theorem fsnunf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1000	. . 3 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> F : S --> T )
2		simp2l 1026	. . . . 5 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> X e. V )
3		simp3 1002	. . . . 5 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> Y e. T )
4		f1osng 5586	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ Y e. T ) -> { <. X , Y >. } : { X } -1-1-onto-> { Y } )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> { <. X , Y >. } : { X } -1-1-onto-> { Y } )
6		f1of 5544	. . . 4 |- ( { <. X , Y >. } : { X } -1-1-onto-> { Y } -> { <. X , Y >. } : { X } --> { Y } )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> { <. X , Y >. } : { X } --> { Y } )
8		simp2r 1027	. . . 4 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> -. X e. S )
9		disjsn 3705	. . . 4 |- ( ( S i^i { X } ) = (/) <-> -. X e. S )
10	8, 9	sylibr 134	. . 3 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> ( S i^i { X } ) = (/) )
11		fun 5469	. . 3 |- ( ( ( F : S --> T /\ { <. X , Y >. } : { X } --> { Y } ) /\ ( S i^i { X } ) = (/) ) -> ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> ( T u. { Y } ) )
12	1, 7, 10, 11	syl21anc 1249	. 2 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> ( T u. { Y } ) )
13		snssi 3788	. . . . 5 |- ( Y e. T -> { Y } C_ T )
14	13	3ad2ant3 1023	. . . 4 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> { Y } C_ T )
15		ssequn2 3354	. . . 4 |- ( { Y } C_ T <-> ( T u. { Y } ) = T )
16	14, 15	sylib 122	. . 3 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> ( T u. { Y } ) = T )
17		feq3 5430	. . 3 |- ( ( T u. { Y } ) = T -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> ( T u. { Y } ) <-> ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> T ) )
18	16, 17	syl 14	. 2 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> ( T u. { Y } ) <-> ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> T ) )
19	12, 18	mpbid 147	1 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> T )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   u. cun 3172   i^i cin 3173   C_ wss 3174   (/)c0 3468   {csn 3643   <.cop 3646   -->wf 5286   -1-1-onto->wf1o 5289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297

This theorem is referenced by:  tfrcllemsucfn  6462  ennnfonelemg  12889