ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsnunf Unicode version

Theorem fsnunf 5624
Description: Adjoining a point to a function gives a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
fsnunf  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( S  u.  { X } ) --> T )

Proof of Theorem fsnunf
StepHypRef Expression
1 simp1 982 . . 3  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  F : S --> T )
2 simp2l 1008 . . . . 5  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  X  e.  V )
3 simp3 984 . . . . 5  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  Y  e.  T )
4 f1osng 5412 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  T )  ->  { <. X ,  Y >. } : { X }
-1-1-onto-> { Y } )
52, 3, 4syl2anc 409 . . . 4  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  { <. X ,  Y >. } : { X } -1-1-onto-> { Y } )
6 f1of 5371 . . . 4  |-  ( {
<. X ,  Y >. } : { X } -1-1-onto-> { Y }  ->  { <. X ,  Y >. } : { X } --> { Y } )
75, 6syl 14 . . 3  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  { <. X ,  Y >. } : { X } --> { Y } )
8 simp2r 1009 . . . 4  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  -.  X  e.  S )
9 disjsn 3589 . . . 4  |-  ( ( S  i^i  { X } )  =  (/)  <->  -.  X  e.  S )
108, 9sylibr 133 . . 3  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  ( S  i^i  { X }
)  =  (/) )
11 fun 5299 . . 3  |-  ( ( ( F : S --> T  /\  { <. X ,  Y >. } : { X } --> { Y }
)  /\  ( S  i^i  { X } )  =  (/) )  ->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( S  u.  { X } ) --> ( T  u.  { Y }
) )
121, 7, 10, 11syl21anc 1216 . 2  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( S  u.  { X } ) --> ( T  u.  { Y }
) )
13 snssi 3668 . . . . 5  |-  ( Y  e.  T  ->  { Y }  C_  T )
14133ad2ant3 1005 . . . 4  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  { Y }  C_  T )
15 ssequn2 3250 . . . 4  |-  ( { Y }  C_  T  <->  ( T  u.  { Y } )  =  T )
1614, 15sylib 121 . . 3  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  ( T  u.  { Y } )  =  T )
17 feq3 5261 . . 3  |-  ( ( T  u.  { Y } )  =  T  ->  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( S  u.  { X } ) --> ( T  u.  { Y }
)  <->  ( F  u.  {
<. X ,  Y >. } ) : ( S  u.  { X }
) --> T ) )
1816, 17syl 14 . 2  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  (
( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( S  u.  { X }
) --> ( T  u.  { Y } )  <->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( S  u.  { X } ) --> T ) )
1912, 18mpbid 146 1  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( S  u.  { X } ) --> T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963    = wceq 1332    e. wcel 1481    u. cun 3070    i^i cin 3071    C_ wss 3072   (/)c0 3364   {csn 3528   <.cop 3531   -->wf 5123   -1-1-onto->wf1o 5126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2689  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-nul 3365  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-br 3934  df-opab 3994  df-id 4219  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-f1 5132  df-fo 5133  df-f1o 5134
This theorem is referenced by:  tfrcllemsucfn  6254  ennnfonelemg  11943
  Copyright terms: Public domain W3C validator