Theorem fsnunf 5715

Description: Adjoining a point to a function gives a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fsnunf	|- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> T )

Proof of Theorem fsnunf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 997	. . 3 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> F : S --> T )
2		simp2l 1023	. . . . 5 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> X e. V )
3		simp3 999	. . . . 5 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> Y e. T )
4		f1osng 5501	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ Y e. T ) -> { <. X , Y >. } : { X } -1-1-onto-> { Y } )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> { <. X , Y >. } : { X } -1-1-onto-> { Y } )
6		f1of 5460	. . . 4 |- ( { <. X , Y >. } : { X } -1-1-onto-> { Y } -> { <. X , Y >. } : { X } --> { Y } )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> { <. X , Y >. } : { X } --> { Y } )
8		simp2r 1024	. . . 4 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> -. X e. S )
9		disjsn 3654	. . . 4 |- ( ( S i^i { X } ) = (/) <-> -. X e. S )
10	8, 9	sylibr 134	. . 3 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> ( S i^i { X } ) = (/) )
11		fun 5387	. . 3 |- ( ( ( F : S --> T /\ { <. X , Y >. } : { X } --> { Y } ) /\ ( S i^i { X } ) = (/) ) -> ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> ( T u. { Y } ) )
12	1, 7, 10, 11	syl21anc 1237	. 2 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> ( T u. { Y } ) )
13		snssi 3736	. . . . 5 |- ( Y e. T -> { Y } C_ T )
14	13	3ad2ant3 1020	. . . 4 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> { Y } C_ T )
15		ssequn2 3308	. . . 4 |- ( { Y } C_ T <-> ( T u. { Y } ) = T )
16	14, 15	sylib 122	. . 3 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> ( T u. { Y } ) = T )
17		feq3 5349	. . 3 |- ( ( T u. { Y } ) = T -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> ( T u. { Y } ) <-> ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> T ) )
18	16, 17	syl 14	. 2 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> ( T u. { Y } ) <-> ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> T ) )
19	12, 18	mpbid 147	1 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> T )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   u. cun 3127   i^i cin 3128   C_ wss 3129   (/)c0 3422   {csn 3592   <.cop 3595   -->wf 5211   -1-1-onto->wf1o 5214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-br 4003  df-opab 4064  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222

This theorem is referenced by:  tfrcllemsucfn  6351  ennnfonelemg  12396