Theorem fsnunf 5786

Description: Adjoining a point to a function gives a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fsnunf	|- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> T )

Proof of Theorem fsnunf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1000	. . 3 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> F : S --> T )
2		simp2l 1026	. . . . 5 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> X e. V )
3		simp3 1002	. . . . 5 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> Y e. T )
4		f1osng 5565	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ Y e. T ) -> { <. X , Y >. } : { X } -1-1-onto-> { Y } )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> { <. X , Y >. } : { X } -1-1-onto-> { Y } )
6		f1of 5524	. . . 4 |- ( { <. X , Y >. } : { X } -1-1-onto-> { Y } -> { <. X , Y >. } : { X } --> { Y } )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> { <. X , Y >. } : { X } --> { Y } )
8		simp2r 1027	. . . 4 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> -. X e. S )
9		disjsn 3695	. . . 4 |- ( ( S i^i { X } ) = (/) <-> -. X e. S )
10	8, 9	sylibr 134	. . 3 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> ( S i^i { X } ) = (/) )
11		fun 5450	. . 3 |- ( ( ( F : S --> T /\ { <. X , Y >. } : { X } --> { Y } ) /\ ( S i^i { X } ) = (/) ) -> ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> ( T u. { Y } ) )
12	1, 7, 10, 11	syl21anc 1249	. 2 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> ( T u. { Y } ) )
13		snssi 3777	. . . . 5 |- ( Y e. T -> { Y } C_ T )
14	13	3ad2ant3 1023	. . . 4 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> { Y } C_ T )
15		ssequn2 3346	. . . 4 |- ( { Y } C_ T <-> ( T u. { Y } ) = T )
16	14, 15	sylib 122	. . 3 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> ( T u. { Y } ) = T )
17		feq3 5412	. . 3 |- ( ( T u. { Y } ) = T -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> ( T u. { Y } ) <-> ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> T ) )
18	16, 17	syl 14	. 2 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> ( T u. { Y } ) <-> ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> T ) )
19	12, 18	mpbid 147	1 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> T )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   u. cun 3164   i^i cin 3165   C_ wss 3166   (/)c0 3460   {csn 3633   <.cop 3636   -->wf 5268   -1-1-onto->wf1o 5271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279

This theorem is referenced by:  tfrcllemsucfn  6441  ennnfonelemg  12807