Theorem fsnunf 5620

Description: Adjoining a point to a function gives a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fsnunf	⊢ ((𝐹:𝑆⟶𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑌 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):(𝑆 ∪ {𝑋})⟶𝑇)

Proof of Theorem fsnunf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 981	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑆⟶𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑌 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝑆⟶𝑇)
2		simp2l 1007	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑆⟶𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑌 ∈ 𝑇) → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		simp3 983	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑆⟶𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑌 ∈ 𝑇) → 𝑌 ∈ 𝑇)
4		f1osng 5408	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑇) → {⟨𝑋, 𝑌⟩}:{𝑋}–1-1-onto→{𝑌})
5	2, 3, 4	syl2anc 408	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑆⟶𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑌 ∈ 𝑇) → {⟨𝑋, 𝑌⟩}:{𝑋}–1-1-onto→{𝑌})
6		f1of 5367	. . . 4 ⊢ ({⟨𝑋, 𝑌⟩}:{𝑋}–1-1-onto→{𝑌} → {⟨𝑋, 𝑌⟩}:{𝑋}⟶{𝑌})
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑆⟶𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑌 ∈ 𝑇) → {⟨𝑋, 𝑌⟩}:{𝑋}⟶{𝑌})
8		simp2r 1008	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑆⟶𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑌 ∈ 𝑇) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑆)
9		disjsn 3585	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ ¬ 𝑋 ∈ 𝑆)
10	8, 9	sylibr 133	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑆⟶𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑌 ∈ 𝑇) → (𝑆 ∩ {𝑋}) = ∅)
11		fun 5295	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝑆⟶𝑇 ∧ {⟨𝑋, 𝑌⟩}:{𝑋}⟶{𝑌}) ∧ (𝑆 ∩ {𝑋}) = ∅) → (𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):(𝑆 ∪ {𝑋})⟶(𝑇 ∪ {𝑌}))
12	1, 7, 10, 11	syl21anc 1215	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑆⟶𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑌 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):(𝑆 ∪ {𝑋})⟶(𝑇 ∪ {𝑌}))
13		snssi 3664	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑇 → {𝑌} ⊆ 𝑇)
14	13	3ad2ant3 1004	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑆⟶𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑌 ∈ 𝑇) → {𝑌} ⊆ 𝑇)
15		ssequn2 3249	. . . 4 ⊢ ({𝑌} ⊆ 𝑇 ↔ (𝑇 ∪ {𝑌}) = 𝑇)
16	14, 15	sylib 121	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑆⟶𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑌 ∈ 𝑇) → (𝑇 ∪ {𝑌}) = 𝑇)
17		feq3 5257	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∪ {𝑌}) = 𝑇 → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):(𝑆 ∪ {𝑋})⟶(𝑇 ∪ {𝑌}) ↔ (𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):(𝑆 ∪ {𝑋})⟶𝑇))
18	16, 17	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑆⟶𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑌 ∈ 𝑇) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):(𝑆 ∪ {𝑋})⟶(𝑇 ∪ {𝑌}) ↔ (𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):(𝑆 ∪ {𝑋})⟶𝑇))
19	12, 18	mpbid 146	1 ⊢ ((𝐹:𝑆⟶𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑌 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):(𝑆 ∪ {𝑋})⟶𝑇)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ∪ cun 3069   ∩ cin 3070   ⊆ wss 3071  ∅c0 3363  {csn 3527  ⟨cop 3530  ⟶wf 5119  –1-1-onto→wf1o 5122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130

This theorem is referenced by:  tfrcllemsucfn  6250  ennnfonelemg  11916