Theorem fvsn 5878

Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvsn.1	⊢ 𝐴 ∈ V
fvsn.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvsn	⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵

Proof of Theorem fvsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvsn.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		fvsn.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	1, 2	funsn 5403	. 2 ⊢ Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩}
4	1, 2	opex 4344	. . 3 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
5	4	snid 3719	. 2 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩}
6		funopfv 5713	. 2 ⊢ (Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩} → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩} → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵))
7	3, 5, 6	mp2 16	1 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2812  {csn 3688  ⟨cop 3691  Fun wfun 5345  ‘cfv 5351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-sbc 3042  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359

This theorem is referenced by:  fvsng  5879  fvsnun1  5880  fvpr1  5887  elixpsn  6969  mapsnen  7052  ac6sfi  7154