Theorem fvsn 5680

Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvsn.1	⊢ 𝐴 ∈ V
fvsn.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvsn	⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵

Proof of Theorem fvsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvsn.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		fvsn.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	1, 2	funsn 5236	. 2 ⊢ Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩}
4	1, 2	opex 4207	. . 3 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
5	4	snid 3607	. 2 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩}
6		funopfv 5526	. 2 ⊢ (Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩} → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩} → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵))
7	3, 5, 6	mp2 16	1 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  Vcvv 2726  {csn 3576  ⟨cop 3579  Fun wfun 5182  ‘cfv 5188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196

This theorem is referenced by:  fvsng  5681  fvsnun1  5682  fvpr1  5689  elixpsn  6701  mapsnen  6777  ac6sfi  6864