Theorem fvsn 5691

Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvsn.1	⊢ 𝐴 ∈ V
fvsn.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvsn	⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵

Proof of Theorem fvsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvsn.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		fvsn.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	1, 2	funsn 5246	. 2 ⊢ Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩}
4	1, 2	opex 4214	. . 3 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
5	4	snid 3614	. 2 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩}
6		funopfv 5536	. 2 ⊢ (Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩} → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩} → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵))
7	3, 5, 6	mp2 16	1 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730  {csn 3583  ⟨cop 3586  Fun wfun 5192  ‘cfv 5198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206

This theorem is referenced by:  fvsng  5692  fvsnun1  5693  fvpr1  5700  elixpsn  6713  mapsnen  6789  ac6sfi  6876