ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elixpsn Unicode version

Theorem elixpsn 6532
Description: Membership in a class of singleton functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
elixpsn  |-  ( A  e.  V  ->  ( F  e.  X_ x  e. 
{ A } B  <->  E. y  e.  B  F  =  { <. A ,  y
>. } ) )
Distinct variable groups:    x, B, y   
x, F, y    x, A, y    x, V, y

Proof of Theorem elixpsn
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sneq 3477 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  { z }  =  { A } )
21ixpeq1d 6507 . . 3  |-  ( z  =  A  ->  X_ x  e.  { z } B  =  X_ x  e.  { A } B )
32eleq2d 2164 . 2  |-  ( z  =  A  ->  ( F  e.  X_ x  e. 
{ z } B  <->  F  e.  X_ x  e.  { A } B ) )
4 opeq1 3644 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  <. z ,  y >.  =  <. A ,  y >. )
54sneqd 3479 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  { <. z ,  y >. }  =  { <. A ,  y
>. } )
65eqeq2d 2106 . . 3  |-  ( z  =  A  ->  ( F  =  { <. z ,  y >. }  <->  F  =  { <. A ,  y
>. } ) )
76rexbidv 2392 . 2  |-  ( z  =  A  ->  ( E. y  e.  B  F  =  { <. z ,  y >. }  <->  E. y  e.  B  F  =  { <. A ,  y
>. } ) )
8 elex 2644 . . 3  |-  ( F  e.  X_ x  e.  {
z } B  ->  F  e.  _V )
9 vex 2636 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
10 vex 2636 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
119, 10opex 4080 . . . . . 6  |-  <. z ,  y >.  e.  _V
1211snex 4041 . . . . 5  |-  { <. z ,  y >. }  e.  _V
13 eleq1 2157 . . . . 5  |-  ( F  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( F  e.  _V  <->  { <. z ,  y >. }  e.  _V ) )
1412, 13mpbiri 167 . . . 4  |-  ( F  =  { <. z ,  y >. }  ->  F  e.  _V )
1514rexlimivw 2498 . . 3  |-  ( E. y  e.  B  F  =  { <. z ,  y
>. }  ->  F  e.  _V )
16 eleq1 2157 . . . 4  |-  ( w  =  F  ->  (
w  e.  X_ x  e.  { z } B  <->  F  e.  X_ x  e.  {
z } B ) )
17 eqeq1 2101 . . . . 5  |-  ( w  =  F  ->  (
w  =  { <. z ,  y >. }  <->  F  =  { <. z ,  y
>. } ) )
1817rexbidv 2392 . . . 4  |-  ( w  =  F  ->  ( E. y  e.  B  w  =  { <. z ,  y >. }  <->  E. y  e.  B  F  =  { <. z ,  y
>. } ) )
19 vex 2636 . . . . . 6  |-  w  e. 
_V
2019elixp 6502 . . . . 5  |-  ( w  e.  X_ x  e.  {
z } B  <->  ( w  Fn  { z }  /\  A. x  e.  { z }  ( w `  x )  e.  B
) )
21 fveq2 5340 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
w `  x )  =  ( w `  z ) )
2221eleq1d 2163 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( w `  x
)  e.  B  <->  ( w `  z )  e.  B
) )
239, 22ralsn 3506 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  { z }  ( w `  x )  e.  B  <->  ( w `  z )  e.  B )
2423anbi2i 446 . . . . 5  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  A. x  e.  { z }  (
w `  x )  e.  B )  <->  ( w  Fn  { z }  /\  ( w `  z
)  e.  B ) )
25 simpl 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B )  ->  w  Fn  { z } )
26 fveq2 5340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
w `  y )  =  ( w `  z ) )
2726eleq1d 2163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
( w `  y
)  e.  B  <->  ( w `  z )  e.  B
) )
289, 27ralsn 3506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  { z }  ( w `  y )  e.  B  <->  ( w `  z )  e.  B )
2928biimpri 132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w `  z )  e.  B  ->  A. y  e.  { z }  (
w `  y )  e.  B )
3029adantl 272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B )  ->  A. y  e.  { z }  (
w `  y )  e.  B )
31 ffnfv 5495 . . . . . . . . 9  |-  ( w : { z } --> B  <->  ( w  Fn 
{ z }  /\  A. y  e.  { z }  ( w `  y )  e.  B
) )
3225, 30, 31sylanbrc 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B )  ->  w : { z } --> B )
339fsn2 5510 . . . . . . . 8  |-  ( w : { z } --> B  <->  ( ( w `
 z )  e.  B  /\  w  =  { <. z ,  ( w `  z )
>. } ) )
3432, 33sylib 121 . . . . . . 7  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B )  ->  (
( w `  z
)  e.  B  /\  w  =  { <. z ,  ( w `  z ) >. } ) )
35 opeq2 3645 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( w `  z )  ->  <. z ,  y >.  =  <. z ,  ( w `  z ) >. )
3635sneqd 3479 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( w `  z )  ->  { <. z ,  y >. }  =  { <. z ,  ( w `  z )
>. } )
3736rspceeqv 2753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w `  z
)  e.  B  /\  w  =  { <. z ,  ( w `  z ) >. } )  ->  E. y  e.  B  w  =  { <. z ,  y >. } )
3834, 37syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B )  ->  E. y  e.  B  w  =  { <. z ,  y
>. } )
399, 10fvsn 5531 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. z ,  y >. } `  z )  =  y
40 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  B  ->  y  e.  B )
4139, 40syl5eqel 2181 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  ( { <. z ,  y
>. } `  z )  e.  B )
429, 10fnsn 5102 . . . . . . . . 9  |-  { <. z ,  y >. }  Fn  { z }
4341, 42jctil 306 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  ( { <. z ,  y
>. }  Fn  { z }  /\  ( {
<. z ,  y >. } `  z )  e.  B ) )
44 fneq1 5136 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( w  Fn  { z }  <->  { <. z ,  y
>. }  Fn  { z } ) )
45 fveq1 5339 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( w `  z )  =  ( { <. z ,  y >. } `  z ) )
4645eleq1d 2163 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( ( w `  z
)  e.  B  <->  ( { <. z ,  y >. } `  z )  e.  B ) )
4744, 46anbi12d 458 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( ( w  Fn  {
z }  /\  (
w `  z )  e.  B )  <->  ( { <. z ,  y >. }  Fn  { z }  /\  ( { <. z ,  y >. } `  z )  e.  B
) ) )
4843, 47syl5ibrcom 156 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  ->  (
w  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B ) ) )
4948rexlimiv 2496 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  B  w  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B ) )
5038, 49impbii 125 . . . . 5  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B )  <->  E. y  e.  B  w  =  { <. z ,  y
>. } )
5120, 24, 503bitri 205 . . . 4  |-  ( w  e.  X_ x  e.  {
z } B  <->  E. y  e.  B  w  =  { <. z ,  y
>. } )
5216, 18, 51vtoclbg 2694 . . 3  |-  ( F  e.  _V  ->  ( F  e.  X_ x  e. 
{ z } B  <->  E. y  e.  B  F  =  { <. z ,  y
>. } ) )
538, 15, 52pm5.21nii 658 . 2  |-  ( F  e.  X_ x  e.  {
z } B  <->  E. y  e.  B  F  =  { <. z ,  y
>. } )
543, 7, 53vtoclbg 2694 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( F  e.  X_ x  e. 
{ A } B  <->  E. y  e.  B  F  =  { <. A ,  y
>. } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1296    e. wcel 1445   A.wral 2370   E.wrex 2371   _Vcvv 2633   {csn 3466   <.cop 3469    Fn wfn 5044   -->wf 5045   ` cfv 5049   X_cixp 6495
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-v 2635  df-sbc 2855  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-ixp 6496
This theorem is referenced by:  ixpsnf1o  6533
  Copyright terms: Public domain W3C validator