Theorem elixpsn 6532

Description: Membership in a class of singleton functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elixpsn	|- ( A e. V -> ( F e. X_ x e. { A } B <-> E. y e. B F = { <. A , y >. } ) )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, F, y   x, A, y   x, V, y

Proof of Theorem elixpsn

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3477	. . . 4 |- ( z = A -> { z } = { A } )
2	1	ixpeq1d 6507	. . 3 |- ( z = A -> X_ x e. { z } B = X_ x e. { A } B )
3	2	eleq2d 2164	. 2 |- ( z = A -> ( F e. X_ x e. { z } B <-> F e. X_ x e. { A } B ) )
4		opeq1 3644	. . . . 5 |- ( z = A -> <. z , y >. = <. A , y >. )
5	4	sneqd 3479	. . . 4 |- ( z = A -> { <. z , y >. } = { <. A , y >. } )
6	5	eqeq2d 2106	. . 3 |- ( z = A -> ( F = { <. z , y >. } <-> F = { <. A , y >. } ) )
7	6	rexbidv 2392	. 2 |- ( z = A -> ( E. y e. B F = { <. z , y >. } <-> E. y e. B F = { <. A , y >. } ) )
8		elex 2644	. . 3 |- ( F e. X_ x e. { z } B -> F e. _V )
9		vex 2636	. . . . . . 7 |- z e. _V
10		vex 2636	. . . . . . 7 |- y e. _V
11	9, 10	opex 4080	. . . . . 6 |- <. z , y >. e. _V
12	11	snex 4041	. . . . 5 |- { <. z , y >. } e. _V
13		eleq1 2157	. . . . 5 |- ( F = { <. z , y >. } -> ( F e. _V <-> { <. z , y >. } e. _V ) )
14	12, 13	mpbiri 167	. . . 4 |- ( F = { <. z , y >. } -> F e. _V )
15	14	rexlimivw 2498	. . 3 |- ( E. y e. B F = { <. z , y >. } -> F e. _V )
16		eleq1 2157	. . . 4 |- ( w = F -> ( w e. X_ x e. { z } B <-> F e. X_ x e. { z } B ) )
17		eqeq1 2101	. . . . 5 |- ( w = F -> ( w = { <. z , y >. } <-> F = { <. z , y >. } ) )
18	17	rexbidv 2392	. . . 4 |- ( w = F -> ( E. y e. B w = { <. z , y >. } <-> E. y e. B F = { <. z , y >. } ) )
19		vex 2636	. . . . . 6 |- w e. _V
20	19	elixp 6502	. . . . 5 |- ( w e. X_ x e. { z } B <-> ( w Fn { z } /\ A. x e. { z } ( w ` x ) e. B ) )
21		fveq2 5340	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( w ` x ) = ( w ` z ) )
22	21	eleq1d 2163	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( w ` x ) e. B <-> ( w ` z ) e. B ) )
23	9, 22	ralsn 3506	. . . . . 6 |- ( A. x e. { z } ( w ` x ) e. B <-> ( w ` z ) e. B )
24	23	anbi2i 446	. . . . 5 |- ( ( w Fn { z } /\ A. x e. { z } ( w ` x ) e. B ) <-> ( w Fn { z } /\ ( w ` z ) e. B ) )
25		simpl 108	. . . . . . . . 9 |- ( ( w Fn { z } /\ ( w ` z ) e. B ) -> w Fn { z } )
26		fveq2 5340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = z -> ( w ` y ) = ( w ` z ) )
27	26	eleq1d 2163	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( ( w ` y ) e. B <-> ( w ` z ) e. B ) )
28	9, 27	ralsn 3506	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. { z } ( w ` y ) e. B <-> ( w ` z ) e. B )
29	28	biimpri 132	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w ` z ) e. B -> A. y e. { z } ( w ` y ) e. B )
30	29	adantl 272	. . . . . . . . 9 |- ( ( w Fn { z } /\ ( w ` z ) e. B ) -> A. y e. { z } ( w ` y ) e. B )
31		ffnfv 5495	. . . . . . . . 9 |- ( w : { z } --> B <-> ( w Fn { z } /\ A. y e. { z } ( w ` y ) e. B ) )
32	25, 30, 31	sylanbrc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( w Fn { z } /\ ( w ` z ) e. B ) -> w : { z } --> B )
33	9	fsn2 5510	. . . . . . . 8 |- ( w : { z } --> B <-> ( ( w ` z ) e. B /\ w = { <. z , ( w ` z ) >. } ) )
34	32, 33	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( ( w Fn { z } /\ ( w ` z ) e. B ) -> ( ( w ` z ) e. B /\ w = { <. z , ( w ` z ) >. } ) )
35		opeq2 3645	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( w ` z ) -> <. z , y >. = <. z , ( w ` z ) >. )
36	35	sneqd 3479	. . . . . . . 8 |- ( y = ( w ` z ) -> { <. z , y >. } = { <. z , ( w ` z ) >. } )
37	36	rspceeqv 2753	. . . . . . 7 |- ( ( ( w ` z ) e. B /\ w = { <. z , ( w ` z ) >. } ) -> E. y e. B w = { <. z , y >. } )
38	34, 37	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( w Fn { z } /\ ( w ` z ) e. B ) -> E. y e. B w = { <. z , y >. } )
39	9, 10	fvsn 5531	. . . . . . . . . 10 |- ( { <. z , y >. } ` z ) = y
40		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. B -> y e. B )
41	39, 40	syl5eqel 2181	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> ( { <. z , y >. } ` z ) e. B )
42	9, 10	fnsn 5102	. . . . . . . . 9 |- { <. z , y >. } Fn { z }
43	41, 42	jctil 306	. . . . . . . 8 |- ( y e. B -> ( { <. z , y >. } Fn { z } /\ ( { <. z , y >. } ` z ) e. B ) )
44		fneq1 5136	. . . . . . . . 9 |- ( w = { <. z , y >. } -> ( w Fn { z } <-> { <. z , y >. } Fn { z } ) )
45		fveq1 5339	. . . . . . . . . 10 |- ( w = { <. z , y >. } -> ( w ` z ) = ( { <. z , y >. } ` z ) )
46	45	eleq1d 2163	. . . . . . . . 9 |- ( w = { <. z , y >. } -> ( ( w ` z ) e. B <-> ( { <. z , y >. } ` z ) e. B ) )
47	44, 46	anbi12d 458	. . . . . . . 8 |- ( w = { <. z , y >. } -> ( ( w Fn { z } /\ ( w ` z ) e. B ) <-> ( { <. z , y >. } Fn { z } /\ ( { <. z , y >. } ` z ) e. B ) ) )
48	43, 47	syl5ibrcom 156	. . . . . . 7 |- ( y e. B -> ( w = { <. z , y >. } -> ( w Fn { z } /\ ( w ` z ) e. B ) ) )
49	48	rexlimiv 2496	. . . . . 6 |- ( E. y e. B w = { <. z , y >. } -> ( w Fn { z } /\ ( w ` z ) e. B ) )
50	38, 49	impbii 125	. . . . 5 |- ( ( w Fn { z } /\ ( w ` z ) e. B ) <-> E. y e. B w = { <. z , y >. } )
51	20, 24, 50	3bitri 205	. . . 4 |- ( w e. X_ x e. { z } B <-> E. y e. B w = { <. z , y >. } )
52	16, 18, 51	vtoclbg 2694	. . 3 |- ( F e. _V -> ( F e. X_ x e. { z } B <-> E. y e. B F = { <. z , y >. } ) )
53	8, 15, 52	pm5.21nii 658	. 2 |- ( F e. X_ x e. { z } B <-> E. y e. B F = { <. z , y >. } )
54	3, 7, 53	vtoclbg 2694	1 |- ( A e. V -> ( F e. X_ x e. { A } B <-> E. y e. B F = { <. A , y >. } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1296   e. wcel 1445   A.wral 2370   E.wrex 2371   _Vcvv 2633   {csn 3466   <.cop 3469   Fn wfn 5044   -->wf 5045   ` cfv 5049   X_cixp 6495

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-v 2635  df-sbc 2855  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-ixp 6496

This theorem is referenced by:  ixpsnf1o  6533