Theorem elixpsn 6970

Description: Membership in a class of singleton functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elixpsn	|- ( A e. V -> ( F e. X_ x e. { A } B <-> E. y e. B F = { <. A , y >. } ) )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, F, y   x, A, y   x, V, y

Proof of Theorem elixpsn

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3700	. . . 4 |- ( z = A -> { z } = { A } )
2	1	ixpeq1d 6945	. . 3 |- ( z = A -> X_ x e. { z } B = X_ x e. { A } B )
3	2	eleq2d 2302	. 2 |- ( z = A -> ( F e. X_ x e. { z } B <-> F e. X_ x e. { A } B ) )
4		opeq1 3883	. . . . 5 |- ( z = A -> <. z , y >. = <. A , y >. )
5	4	sneqd 3702	. . . 4 |- ( z = A -> { <. z , y >. } = { <. A , y >. } )
6	5	eqeq2d 2244	. . 3 |- ( z = A -> ( F = { <. z , y >. } <-> F = { <. A , y >. } ) )
7	6	rexbidv 2543	. 2 |- ( z = A -> ( E. y e. B F = { <. z , y >. } <-> E. y e. B F = { <. A , y >. } ) )
8		elex 2825	. . 3 |- ( F e. X_ x e. { z } B -> F e. _V )
9		vex 2816	. . . . . . 7 |- z e. _V
10		vex 2816	. . . . . . 7 |- y e. _V
11	9, 10	opex 4345	. . . . . 6 |- <. z , y >. e. _V
12	11	snex 4298	. . . . 5 |- { <. z , y >. } e. _V
13		eleq1 2295	. . . . 5 |- ( F = { <. z , y >. } -> ( F e. _V <-> { <. z , y >. } e. _V ) )
14	12, 13	mpbiri 168	. . . 4 |- ( F = { <. z , y >. } -> F e. _V )
15	14	rexlimivw 2656	. . 3 |- ( E. y e. B F = { <. z , y >. } -> F e. _V )
16		eleq1 2295	. . . 4 |- ( w = F -> ( w e. X_ x e. { z } B <-> F e. X_ x e. { z } B ) )
17		eqeq1 2239	. . . . 5 |- ( w = F -> ( w = { <. z , y >. } <-> F = { <. z , y >. } ) )
18	17	rexbidv 2543	. . . 4 |- ( w = F -> ( E. y e. B w = { <. z , y >. } <-> E. y e. B F = { <. z , y >. } ) )
19		vex 2816	. . . . . 6 |- w e. _V
20	19	elixp 6940	. . . . 5 |- ( w e. X_ x e. { z } B <-> ( w Fn { z } /\ A. x e. { z } ( w ` x ) e. B ) )
21		fveq2 5670	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( w ` x ) = ( w ` z ) )
22	21	eleq1d 2301	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( w ` x ) e. B <-> ( w ` z ) e. B ) )
23	9, 22	ralsn 3732	. . . . . 6 |- ( A. x e. { z } ( w ` x ) e. B <-> ( w ` z ) e. B )
24	23	anbi2i 457	. . . . 5 |- ( ( w Fn { z } /\ A. x e. { z } ( w ` x ) e. B ) <-> ( w Fn { z } /\ ( w ` z ) e. B ) )
25		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( w Fn { z } /\ ( w ` z ) e. B ) -> w Fn { z } )
26		fveq2 5670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = z -> ( w ` y ) = ( w ` z ) )
27	26	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( ( w ` y ) e. B <-> ( w ` z ) e. B ) )
28	9, 27	ralsn 3732	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. { z } ( w ` y ) e. B <-> ( w ` z ) e. B )
29	28	biimpri 133	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w ` z ) e. B -> A. y e. { z } ( w ` y ) e. B )
30	29	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( w Fn { z } /\ ( w ` z ) e. B ) -> A. y e. { z } ( w ` y ) e. B )
31		ffnfv 5835	. . . . . . . . 9 |- ( w : { z } --> B <-> ( w Fn { z } /\ A. y e. { z } ( w ` y ) e. B ) )
32	25, 30, 31	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 |- ( ( w Fn { z } /\ ( w ` z ) e. B ) -> w : { z } --> B )
33	9	fsn2 5851	. . . . . . . 8 |- ( w : { z } --> B <-> ( ( w ` z ) e. B /\ w = { <. z , ( w ` z ) >. } ) )
34	32, 33	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( w Fn { z } /\ ( w ` z ) e. B ) -> ( ( w ` z ) e. B /\ w = { <. z , ( w ` z ) >. } ) )
35		opeq2 3884	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( w ` z ) -> <. z , y >. = <. z , ( w ` z ) >. )
36	35	sneqd 3702	. . . . . . . 8 |- ( y = ( w ` z ) -> { <. z , y >. } = { <. z , ( w ` z ) >. } )
37	36	rspceeqv 2939	. . . . . . 7 |- ( ( ( w ` z ) e. B /\ w = { <. z , ( w ` z ) >. } ) -> E. y e. B w = { <. z , y >. } )
38	34, 37	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( w Fn { z } /\ ( w ` z ) e. B ) -> E. y e. B w = { <. z , y >. } )
39	9, 10	fvsn 5879	. . . . . . . . . 10 |- ( { <. z , y >. } ` z ) = y
40		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. B -> y e. B )
41	39, 40	eqeltrid 2319	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> ( { <. z , y >. } ` z ) e. B )
42	9, 10	fnsn 5410	. . . . . . . . 9 |- { <. z , y >. } Fn { z }
43	41, 42	jctil 312	. . . . . . . 8 |- ( y e. B -> ( { <. z , y >. } Fn { z } /\ ( { <. z , y >. } ` z ) e. B ) )
44		fneq1 5444	. . . . . . . . 9 |- ( w = { <. z , y >. } -> ( w Fn { z } <-> { <. z , y >. } Fn { z } ) )
45		fveq1 5669	. . . . . . . . . 10 |- ( w = { <. z , y >. } -> ( w ` z ) = ( { <. z , y >. } ` z ) )
46	45	eleq1d 2301	. . . . . . . . 9 |- ( w = { <. z , y >. } -> ( ( w ` z ) e. B <-> ( { <. z , y >. } ` z ) e. B ) )
47	44, 46	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( w = { <. z , y >. } -> ( ( w Fn { z } /\ ( w ` z ) e. B ) <-> ( { <. z , y >. } Fn { z } /\ ( { <. z , y >. } ` z ) e. B ) ) )
48	43, 47	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 |- ( y e. B -> ( w = { <. z , y >. } -> ( w Fn { z } /\ ( w ` z ) e. B ) ) )
49	48	rexlimiv 2654	. . . . . 6 |- ( E. y e. B w = { <. z , y >. } -> ( w Fn { z } /\ ( w ` z ) e. B ) )
50	38, 49	impbii 126	. . . . 5 |- ( ( w Fn { z } /\ ( w ` z ) e. B ) <-> E. y e. B w = { <. z , y >. } )
51	20, 24, 50	3bitri 206	. . . 4 |- ( w e. X_ x e. { z } B <-> E. y e. B w = { <. z , y >. } )
52	16, 18, 51	vtoclbg 2876	. . 3 |- ( F e. _V -> ( F e. X_ x e. { z } B <-> E. y e. B F = { <. z , y >. } ) )
53	8, 15, 52	pm5.21nii 712	. 2 |- ( F e. X_ x e. { z } B <-> E. y e. B F = { <. z , y >. } )
54	3, 7, 53	vtoclbg 2876	1 |- ( A e. V -> ( F e. X_ x e. { A } B <-> E. y e. B F = { <. A , y >. } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   _Vcvv 2813   {csn 3689   <.cop 3692   Fn wfn 5347   -->wf 5348   ` cfv 5352   X_cixp 6933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ixp 6934

This theorem is referenced by:  ixpsnf1o  6971