Theorem fvsnun1 5846

Description: The value of a function with one of its ordered pairs replaced, at the replaced ordered pair. See also fvsnun2 5847. (Contributed by NM, 23-Sep-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvsnun.1	|- A e. _V
fvsnun.2	|- B e. _V
fvsnun.3	|- G = ( { <. A , B >. } u. ( F |` ( C \ { A } ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fvsnun1	|- ( G ` A ) = B

Proof of Theorem fvsnun1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvsnun.3	. . . . 5 |- G = ( { <. A , B >. } u. ( F |` ( C \ { A } ) ) )
2	1	reseq1i 5007	. . . 4 |- ( G |` { A } ) = ( ( { <. A , B >. } u. ( F |` ( C \ { A } ) ) ) |` { A } )
3		resundir 5025	. . . . 5 |- ( ( { <. A , B >. } u. ( F |` ( C \ { A } ) ) ) |` { A } ) = ( ( { <. A , B >. } |` { A } ) u. ( ( F |` ( C \ { A } ) ) |` { A } ) )
4		incom 3397	. . . . . . . . 9 |- ( ( C \ { A } ) i^i { A } ) = ( { A } i^i ( C \ { A } ) )
5		disjdif 3565	. . . . . . . . 9 |- ( { A } i^i ( C \ { A } ) ) = (/)
6	4, 5	eqtri 2250	. . . . . . . 8 |- ( ( C \ { A } ) i^i { A } ) = (/)
7		resdisj 5163	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C \ { A } ) i^i { A } ) = (/) -> ( ( F |` ( C \ { A } ) ) |` { A } ) = (/) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( F |` ( C \ { A } ) ) |` { A } ) = (/)
9	8	uneq2i 3356	. . . . . 6 |- ( ( { <. A , B >. } |` { A } ) u. ( ( F |` ( C \ { A } ) ) |` { A } ) ) = ( ( { <. A , B >. } |` { A } ) u. (/) )
10		un0 3526	. . . . . 6 |- ( ( { <. A , B >. } |` { A } ) u. (/) ) = ( { <. A , B >. } |` { A } )
11	9, 10	eqtri 2250	. . . . 5 |- ( ( { <. A , B >. } |` { A } ) u. ( ( F |` ( C \ { A } ) ) |` { A } ) ) = ( { <. A , B >. } |` { A } )
12	3, 11	eqtri 2250	. . . 4 |- ( ( { <. A , B >. } u. ( F |` ( C \ { A } ) ) ) |` { A } ) = ( { <. A , B >. } |` { A } )
13	2, 12	eqtri 2250	. . 3 |- ( G |` { A } ) = ( { <. A , B >. } |` { A } )
14	13	fveq1i 5636	. 2 |- ( ( G |` { A } ) ` A ) = ( ( { <. A , B >. } |` { A } ) ` A )
15		fvsnun.1	. . . 4 |- A e. _V
16	15	snid 3698	. . 3 |- A e. { A }
17		fvres 5659	. . 3 |- ( A e. { A } -> ( ( G |` { A } ) ` A ) = ( G ` A ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. 2 |- ( ( G |` { A } ) ` A ) = ( G ` A )
19		fvres 5659	. . . 4 |- ( A e. { A } -> ( ( { <. A , B >. } |` { A } ) ` A ) = ( { <. A , B >. } ` A ) )
20	16, 19	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( { <. A , B >. } |` { A } ) ` A ) = ( { <. A , B >. } ` A )
21		fvsnun.2	. . . 4 |- B e. _V
22	15, 21	fvsn 5844	. . 3 |- ( { <. A , B >. } ` A ) = B
23	20, 22	eqtri 2250	. 2 |- ( ( { <. A , B >. } |` { A } ) ` A ) = B
24	14, 18, 23	3eqtr3i 2258	1 |- ( G ` A ) = B

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2800   \ cdif 3195   u. cun 3196   i^i cin 3197   (/)c0 3492   {csn 3667   <.cop 3670   |` cres 4725   ` cfv 5324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-res 4735  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332

This theorem is referenced by:  fac0  10980