ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fvsnun1 Unicode version

Theorem fvsnun1 5726
Description: The value of a function with one of its ordered pairs replaced, at the replaced ordered pair. See also fvsnun2 5727. (Contributed by NM, 23-Sep-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
fvsnun.1  |-  A  e. 
_V
fvsnun.2  |-  B  e. 
_V
fvsnun.3  |-  G  =  ( { <. A ,  B >. }  u.  ( F  |`  ( C  \  { A } ) ) )
Assertion
Ref Expression
fvsnun1  |-  ( G `
 A )  =  B

Proof of Theorem fvsnun1
StepHypRef Expression
1 fvsnun.3 . . . . 5  |-  G  =  ( { <. A ,  B >. }  u.  ( F  |`  ( C  \  { A } ) ) )
21reseq1i 4915 . . . 4  |-  ( G  |`  { A } )  =  ( ( {
<. A ,  B >. }  u.  ( F  |`  ( C  \  { A } ) ) )  |`  { A } )
3 resundir 4933 . . . . 5  |-  ( ( { <. A ,  B >. }  u.  ( F  |`  ( C  \  { A } ) ) )  |`  { A } )  =  ( ( {
<. A ,  B >. }  |`  { A } )  u.  ( ( F  |`  ( C  \  { A } ) )  |`  { A } ) )
4 incom 3339 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  \  { A } )  i^i  { A } )  =  ( { A }  i^i  ( C  \  { A } ) )
5 disjdif 3507 . . . . . . . . 9  |-  ( { A }  i^i  ( C  \  { A }
) )  =  (/)
64, 5eqtri 2208 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  \  { A } )  i^i  { A } )  =  (/)
7 resdisj 5069 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  \  { A } )  i^i  { A } )  =  (/)  ->  ( ( F  |`  ( C  \  { A } ) )  |`  { A } )  =  (/) )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( F  |`  ( C  \  { A } ) )  |`  { A } )  =  (/)
98uneq2i 3298 . . . . . 6  |-  ( ( { <. A ,  B >. }  |`  { A } )  u.  (
( F  |`  ( C  \  { A }
) )  |`  { A } ) )  =  ( ( { <. A ,  B >. }  |`  { A } )  u.  (/) )
10 un0 3468 . . . . . 6  |-  ( ( { <. A ,  B >. }  |`  { A } )  u.  (/) )  =  ( { <. A ,  B >. }  |`  { A } )
119, 10eqtri 2208 . . . . 5  |-  ( ( { <. A ,  B >. }  |`  { A } )  u.  (
( F  |`  ( C  \  { A }
) )  |`  { A } ) )  =  ( { <. A ,  B >. }  |`  { A } )
123, 11eqtri 2208 . . . 4  |-  ( ( { <. A ,  B >. }  u.  ( F  |`  ( C  \  { A } ) ) )  |`  { A } )  =  ( { <. A ,  B >. }  |`  { A } )
132, 12eqtri 2208 . . 3  |-  ( G  |`  { A } )  =  ( { <. A ,  B >. }  |`  { A } )
1413fveq1i 5528 . 2  |-  ( ( G  |`  { A } ) `  A
)  =  ( ( { <. A ,  B >. }  |`  { A } ) `  A
)
15 fvsnun.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
1615snid 3635 . . 3  |-  A  e. 
{ A }
17 fvres 5551 . . 3  |-  ( A  e.  { A }  ->  ( ( G  |`  { A } ) `  A )  =  ( G `  A ) )
1816, 17ax-mp 5 . 2  |-  ( ( G  |`  { A } ) `  A
)  =  ( G `
 A )
19 fvres 5551 . . . 4  |-  ( A  e.  { A }  ->  ( ( { <. A ,  B >. }  |`  { A } ) `  A
)  =  ( {
<. A ,  B >. } `
 A ) )
2016, 19ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( { <. A ,  B >. }  |`  { A } ) `  A
)  =  ( {
<. A ,  B >. } `
 A )
21 fvsnun.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
2215, 21fvsn 5724 . . 3  |-  ( {
<. A ,  B >. } `
 A )  =  B
2320, 22eqtri 2208 . 2  |-  ( ( { <. A ,  B >. }  |`  { A } ) `  A
)  =  B
2414, 18, 233eqtr3i 2216 1  |-  ( G `
 A )  =  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1363    e. wcel 2158   _Vcvv 2749    \ cdif 3138    u. cun 3139    i^i cin 3140   (/)c0 3434   {csn 3604   <.cop 3607    |` cres 4640   ` cfv 5228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-res 4650  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236
This theorem is referenced by:  fac0  10722
  Copyright terms: Public domain W3C validator