Theorem fvsnun1 5903

Description: The value of a function with one of its ordered pairs replaced, at the replaced ordered pair. See also fvsnun2 5904. (Contributed by NM, 23-Sep-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvsnun.1	|- A e. _V
fvsnun.2	|- B e. _V
fvsnun.3	|- G = ( { <. A , B >. } u. ( F |` ( C \ { A } ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fvsnun1	|- ( G ` A ) = B

Proof of Theorem fvsnun1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvsnun.3	. . . . 5 |- G = ( { <. A , B >. } u. ( F |` ( C \ { A } ) ) )
2	1	reseq1i 5054	. . . 4 |- ( G |` { A } ) = ( ( { <. A , B >. } u. ( F |` ( C \ { A } ) ) ) |` { A } )
3		resundir 5072	. . . . 5 |- ( ( { <. A , B >. } u. ( F |` ( C \ { A } ) ) ) |` { A } ) = ( ( { <. A , B >. } |` { A } ) u. ( ( F |` ( C \ { A } ) ) |` { A } ) )
4		incom 3421	. . . . . . . . 9 |- ( ( C \ { A } ) i^i { A } ) = ( { A } i^i ( C \ { A } ) )
5		disjdif 3596	. . . . . . . . 9 |- ( { A } i^i ( C \ { A } ) ) = (/)
6	4, 5	eqtri 2259	. . . . . . . 8 |- ( ( C \ { A } ) i^i { A } ) = (/)
7		resdisj 5211	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C \ { A } ) i^i { A } ) = (/) -> ( ( F |` ( C \ { A } ) ) |` { A } ) = (/) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( F |` ( C \ { A } ) ) |` { A } ) = (/)
9	8	uneq2i 3380	. . . . . 6 |- ( ( { <. A , B >. } |` { A } ) u. ( ( F |` ( C \ { A } ) ) |` { A } ) ) = ( ( { <. A , B >. } |` { A } ) u. (/) )
10		un0 3556	. . . . . 6 |- ( ( { <. A , B >. } |` { A } ) u. (/) ) = ( { <. A , B >. } |` { A } )
11	9, 10	eqtri 2259	. . . . 5 |- ( ( { <. A , B >. } |` { A } ) u. ( ( F |` ( C \ { A } ) ) |` { A } ) ) = ( { <. A , B >. } |` { A } )
12	3, 11	eqtri 2259	. . . 4 |- ( ( { <. A , B >. } u. ( F |` ( C \ { A } ) ) ) |` { A } ) = ( { <. A , B >. } |` { A } )
13	2, 12	eqtri 2259	. . 3 |- ( G |` { A } ) = ( { <. A , B >. } |` { A } )
14	13	fveq1i 5691	. 2 |- ( ( G |` { A } ) ` A ) = ( ( { <. A , B >. } |` { A } ) ` A )
15		fvsnun.1	. . . 4 |- A e. _V
16	15	snid 3736	. . 3 |- A e. { A }
17		fvres 5714	. . 3 |- ( A e. { A } -> ( ( G |` { A } ) ` A ) = ( G ` A ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. 2 |- ( ( G |` { A } ) ` A ) = ( G ` A )
19		fvres 5714	. . . 4 |- ( A e. { A } -> ( ( { <. A , B >. } |` { A } ) ` A ) = ( { <. A , B >. } ` A ) )
20	16, 19	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( { <. A , B >. } |` { A } ) ` A ) = ( { <. A , B >. } ` A )
21		fvsnun.2	. . . 4 |- B e. _V
22	15, 21	fvsn 5901	. . 3 |- ( { <. A , B >. } ` A ) = B
23	20, 22	eqtri 2259	. 2 |- ( ( { <. A , B >. } |` { A } ) ` A ) = B
24	14, 18, 23	3eqtr3i 2267	1 |- ( G ` A ) = B

Syntax hints:   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   u. cun 3218   i^i cin 3219   (/)c0 3520   {csn 3705   <.cop 3708   |` cres 4771   ` cfv 5372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380

This theorem is referenced by:  fac0  11144