Theorem fvsnun1 5755

Description: The value of a function with one of its ordered pairs replaced, at the replaced ordered pair. See also fvsnun2 5756. (Contributed by NM, 23-Sep-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvsnun.1	|- A e. _V
fvsnun.2	|- B e. _V
fvsnun.3	|- G = ( { <. A , B >. } u. ( F |` ( C \ { A } ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fvsnun1	|- ( G ` A ) = B

Proof of Theorem fvsnun1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvsnun.3	. . . . 5 |- G = ( { <. A , B >. } u. ( F |` ( C \ { A } ) ) )
2	1	reseq1i 4938	. . . 4 |- ( G |` { A } ) = ( ( { <. A , B >. } u. ( F |` ( C \ { A } ) ) ) |` { A } )
3		resundir 4956	. . . . 5 |- ( ( { <. A , B >. } u. ( F |` ( C \ { A } ) ) ) |` { A } ) = ( ( { <. A , B >. } |` { A } ) u. ( ( F |` ( C \ { A } ) ) |` { A } ) )
4		incom 3351	. . . . . . . . 9 |- ( ( C \ { A } ) i^i { A } ) = ( { A } i^i ( C \ { A } ) )
5		disjdif 3519	. . . . . . . . 9 |- ( { A } i^i ( C \ { A } ) ) = (/)
6	4, 5	eqtri 2214	. . . . . . . 8 |- ( ( C \ { A } ) i^i { A } ) = (/)
7		resdisj 5094	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C \ { A } ) i^i { A } ) = (/) -> ( ( F |` ( C \ { A } ) ) |` { A } ) = (/) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( F |` ( C \ { A } ) ) |` { A } ) = (/)
9	8	uneq2i 3310	. . . . . 6 |- ( ( { <. A , B >. } |` { A } ) u. ( ( F |` ( C \ { A } ) ) |` { A } ) ) = ( ( { <. A , B >. } |` { A } ) u. (/) )
10		un0 3480	. . . . . 6 |- ( ( { <. A , B >. } |` { A } ) u. (/) ) = ( { <. A , B >. } |` { A } )
11	9, 10	eqtri 2214	. . . . 5 |- ( ( { <. A , B >. } |` { A } ) u. ( ( F |` ( C \ { A } ) ) |` { A } ) ) = ( { <. A , B >. } |` { A } )
12	3, 11	eqtri 2214	. . . 4 |- ( ( { <. A , B >. } u. ( F |` ( C \ { A } ) ) ) |` { A } ) = ( { <. A , B >. } |` { A } )
13	2, 12	eqtri 2214	. . 3 |- ( G |` { A } ) = ( { <. A , B >. } |` { A } )
14	13	fveq1i 5555	. 2 |- ( ( G |` { A } ) ` A ) = ( ( { <. A , B >. } |` { A } ) ` A )
15		fvsnun.1	. . . 4 |- A e. _V
16	15	snid 3649	. . 3 |- A e. { A }
17		fvres 5578	. . 3 |- ( A e. { A } -> ( ( G |` { A } ) ` A ) = ( G ` A ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. 2 |- ( ( G |` { A } ) ` A ) = ( G ` A )
19		fvres 5578	. . . 4 |- ( A e. { A } -> ( ( { <. A , B >. } |` { A } ) ` A ) = ( { <. A , B >. } ` A ) )
20	16, 19	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( { <. A , B >. } |` { A } ) ` A ) = ( { <. A , B >. } ` A )
21		fvsnun.2	. . . 4 |- B e. _V
22	15, 21	fvsn 5753	. . 3 |- ( { <. A , B >. } ` A ) = B
23	20, 22	eqtri 2214	. 2 |- ( ( { <. A , B >. } |` { A } ) ` A ) = B
24	14, 18, 23	3eqtr3i 2222	1 |- ( G ` A ) = B

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   \ cdif 3150   u. cun 3151   i^i cin 3152   (/)c0 3446   {csn 3618   <.cop 3621   |` cres 4661   ` cfv 5254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262

This theorem is referenced by:  fac0  10799