Theorem grplactf1o 13178

Description: The left group action of element A of group G maps the underlying set X of G one-to-one onto itself. (Contributed by Paul Chapman, 18-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grplact.1	|- F = ( g e. X |-> ( a e. X |-> ( g .+ a ) ) )
grplact.2	|- X = ( Base ` G )
grplact.3	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grplactf1o	|- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( F ` A ) : X -1-1-onto-> X )

Distinct variable groups:   g, a, A   G, a, g   .+ , a, g   X, a, g

Allowed substitution hints:   F( g, a)

Proof of Theorem grplactf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grplact.1	. . 3 |- F = ( g e. X |-> ( a e. X |-> ( g .+ a ) ) )
2		grplact.2	. . 3 |- X = ( Base ` G )
3		grplact.3	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
4		eqid 2193	. . 3 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
5	1, 2, 3, 4	grplactcnv 13177	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( ( F ` A ) : X -1-1-onto-> X /\ `' ( F ` A ) = ( F ` ( ( invg ` G ) ` A ) ) ) )
6	5	simpld 112	1 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( F ` A ) : X -1-1-onto-> X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   |-> cmpt 4091   `'ccnv 4659   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Basecbs 12621   +g cplusg 12698   Grpcgrp 13075   invgcminusg 13076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-inn 8985  df-2 9043  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079

This theorem is referenced by:  eqgen  13300