Theorem grplactf1o 13235

Description: The left group action of element A of group G maps the underlying set X of G one-to-one onto itself. (Contributed by Paul Chapman, 18-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grplact.1	|- F = ( g e. X |-> ( a e. X |-> ( g .+ a ) ) )
grplact.2	|- X = ( Base ` G )
grplact.3	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grplactf1o	|- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( F ` A ) : X -1-1-onto-> X )

Distinct variable groups:   g, a, A   G, a, g   .+ , a, g   X, a, g

Allowed substitution hints:   F( g, a)

Proof of Theorem grplactf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grplact.1	. . 3 |- F = ( g e. X |-> ( a e. X |-> ( g .+ a ) ) )
2		grplact.2	. . 3 |- X = ( Base ` G )
3		grplact.3	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
4		eqid 2196	. . 3 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
5	1, 2, 3, 4	grplactcnv 13234	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( ( F ` A ) : X -1-1-onto-> X /\ `' ( F ` A ) = ( F ` ( ( invg ` G ) ` A ) ) ) )
6	5	simpld 112	1 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( F ` A ) : X -1-1-onto-> X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   |-> cmpt 4094   `'ccnv 4662   -1-1-onto->wf1o 5257   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   Grpcgrp 13132   invgcminusg 13133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136

This theorem is referenced by:  eqgen  13357