ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  grplactf1o GIF version

Theorem grplactf1o 12927
Description: The left group action of element 𝐴 of group 𝐺 maps the underlying set 𝑋 of 𝐺 one-to-one onto itself. (Contributed by Paul Chapman, 18-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grplact.1 𝐹 = (𝑔𝑋 ↦ (𝑎𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
grplact.2 𝑋 = (Base‘𝐺)
grplact.3 + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grplactf1o ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹𝐴):𝑋1-1-onto𝑋)
Distinct variable groups:   𝑔,𝑎,𝐴   𝐺,𝑎,𝑔   + ,𝑎,𝑔   𝑋,𝑎,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑔,𝑎)

Proof of Theorem grplactf1o
StepHypRef Expression
1 grplact.1 . . 3 𝐹 = (𝑔𝑋 ↦ (𝑎𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
2 grplact.2 . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 grplact.3 . . 3 + = (+g𝐺)
4 eqid 2177 . . 3 (invg𝐺) = (invg𝐺)
51, 2, 3, 4grplactcnv 12926 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐹𝐴):𝑋1-1-onto𝑋(𝐹𝐴) = (𝐹‘((invg𝐺)‘𝐴))))
65simpld 112 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹𝐴):𝑋1-1-onto𝑋)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  cmpt 4064  ccnv 4625  1-1-ontowf1o 5215  cfv 5216  (class class class)co 5874  Basecbs 12456  +gcplusg 12530  Grpcgrp 12831  invgcminusg 12832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-inn 8918  df-2 8976  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-plusg 12543  df-0g 12697  df-mgm 12729  df-sgrp 12762  df-mnd 12772  df-grp 12834  df-minusg 12835
This theorem is referenced by:  eqgen  13039
  Copyright terms: Public domain W3C validator