Theorem imaco 5249

Description: Image of the composition of two classes. (Contributed by Jason Orendorff, 12-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
imaco	|- ( ( A o. B ) " C ) = ( A " ( B " C ) )

Proof of Theorem imaco

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2517	. . 3 |- ( E. y e. ( B " C ) y A x <-> E. y ( y e. ( B " C ) /\ y A x ) )
2		vex 2806	. . . 4 |- x e. _V
3	2	elima 5087	. . 3 |- ( x e. ( A " ( B " C ) ) <-> E. y e. ( B " C ) y A x )
4		rexcom4 2827	. . . . 5 |- ( E. z e. C E. y ( z B y /\ y A x ) <-> E. y E. z e. C ( z B y /\ y A x ) )
5		r19.41v 2690	. . . . . 6 |- ( E. z e. C ( z B y /\ y A x ) <-> ( E. z e. C z B y /\ y A x ) )
6	5	exbii 1654	. . . . 5 |- ( E. y E. z e. C ( z B y /\ y A x ) <-> E. y ( E. z e. C z B y /\ y A x ) )
7	4, 6	bitri 184	. . . 4 |- ( E. z e. C E. y ( z B y /\ y A x ) <-> E. y ( E. z e. C z B y /\ y A x ) )
8	2	elima 5087	. . . . 5 |- ( x e. ( ( A o. B ) " C ) <-> E. z e. C z ( A o. B ) x )
9		vex 2806	. . . . . . 7 |- z e. _V
10	9, 2	brco 4907	. . . . . 6 |- ( z ( A o. B ) x <-> E. y ( z B y /\ y A x ) )
11	10	rexbii 2540	. . . . 5 |- ( E. z e. C z ( A o. B ) x <-> E. z e. C E. y ( z B y /\ y A x ) )
12	8, 11	bitri 184	. . . 4 |- ( x e. ( ( A o. B ) " C ) <-> E. z e. C E. y ( z B y /\ y A x ) )
13		vex 2806	. . . . . . 7 |- y e. _V
14	13	elima 5087	. . . . . 6 |- ( y e. ( B " C ) <-> E. z e. C z B y )
15	14	anbi1i 458	. . . . 5 |- ( ( y e. ( B " C ) /\ y A x ) <-> ( E. z e. C z B y /\ y A x ) )
16	15	exbii 1654	. . . 4 |- ( E. y ( y e. ( B " C ) /\ y A x ) <-> E. y ( E. z e. C z B y /\ y A x ) )
17	7, 12, 16	3bitr4i 212	. . 3 |- ( x e. ( ( A o. B ) " C ) <-> E. y ( y e. ( B " C ) /\ y A x ) )
18	1, 3, 17	3bitr4ri 213	. 2 |- ( x e. ( ( A o. B ) " C ) <-> x e. ( A " ( B " C ) ) )
19	18	eqriv 2228	1 |- ( ( A o. B ) " C ) = ( A " ( B " C ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   E.wrex 2512   class class class wbr 4093   "cima 4734   o. ccom 4735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744

This theorem is referenced by:  fvco2  5724  suppcofn  6444  cnco  15015  cnptopco  15016