Theorem imaco 5233

Description: Image of the composition of two classes. (Contributed by Jason Orendorff, 12-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
imaco	|- ( ( A o. B ) " C ) = ( A " ( B " C ) )

Proof of Theorem imaco

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2514	. . 3 |- ( E. y e. ( B " C ) y A x <-> E. y ( y e. ( B " C ) /\ y A x ) )
2		vex 2802	. . . 4 |- x e. _V
3	2	elima 5072	. . 3 |- ( x e. ( A " ( B " C ) ) <-> E. y e. ( B " C ) y A x )
4		rexcom4 2823	. . . . 5 |- ( E. z e. C E. y ( z B y /\ y A x ) <-> E. y E. z e. C ( z B y /\ y A x ) )
5		r19.41v 2687	. . . . . 6 |- ( E. z e. C ( z B y /\ y A x ) <-> ( E. z e. C z B y /\ y A x ) )
6	5	exbii 1651	. . . . 5 |- ( E. y E. z e. C ( z B y /\ y A x ) <-> E. y ( E. z e. C z B y /\ y A x ) )
7	4, 6	bitri 184	. . . 4 |- ( E. z e. C E. y ( z B y /\ y A x ) <-> E. y ( E. z e. C z B y /\ y A x ) )
8	2	elima 5072	. . . . 5 |- ( x e. ( ( A o. B ) " C ) <-> E. z e. C z ( A o. B ) x )
9		vex 2802	. . . . . . 7 |- z e. _V
10	9, 2	brco 4892	. . . . . 6 |- ( z ( A o. B ) x <-> E. y ( z B y /\ y A x ) )
11	10	rexbii 2537	. . . . 5 |- ( E. z e. C z ( A o. B ) x <-> E. z e. C E. y ( z B y /\ y A x ) )
12	8, 11	bitri 184	. . . 4 |- ( x e. ( ( A o. B ) " C ) <-> E. z e. C E. y ( z B y /\ y A x ) )
13		vex 2802	. . . . . . 7 |- y e. _V
14	13	elima 5072	. . . . . 6 |- ( y e. ( B " C ) <-> E. z e. C z B y )
15	14	anbi1i 458	. . . . 5 |- ( ( y e. ( B " C ) /\ y A x ) <-> ( E. z e. C z B y /\ y A x ) )
16	15	exbii 1651	. . . 4 |- ( E. y ( y e. ( B " C ) /\ y A x ) <-> E. y ( E. z e. C z B y /\ y A x ) )
17	7, 12, 16	3bitr4i 212	. . 3 |- ( x e. ( ( A o. B ) " C ) <-> E. y ( y e. ( B " C ) /\ y A x ) )
18	1, 3, 17	3bitr4ri 213	. 2 |- ( x e. ( ( A o. B ) " C ) <-> x e. ( A " ( B " C ) ) )
19	18	eqriv 2226	1 |- ( ( A o. B ) " C ) = ( A " ( B " C ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   E.wrex 2509   class class class wbr 4082   "cima 4721   o. ccom 4722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4724  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731

This theorem is referenced by:  fvco2  5702  cnco  14889  cnptopco  14890