Theorem imaco 5002

Description: Image of the composition of two classes. (Contributed by Jason Orendorff, 12-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
imaco	|- ( ( A o. B ) " C ) = ( A " ( B " C ) )

Proof of Theorem imaco

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2396	. . 3 |- ( E. y e. ( B " C ) y A x <-> E. y ( y e. ( B " C ) /\ y A x ) )
2		vex 2660	. . . 4 |- x e. _V
3	2	elima 4844	. . 3 |- ( x e. ( A " ( B " C ) ) <-> E. y e. ( B " C ) y A x )
4		rexcom4 2680	. . . . 5 |- ( E. z e. C E. y ( z B y /\ y A x ) <-> E. y E. z e. C ( z B y /\ y A x ) )
5		r19.41v 2561	. . . . . 6 |- ( E. z e. C ( z B y /\ y A x ) <-> ( E. z e. C z B y /\ y A x ) )
6	5	exbii 1567	. . . . 5 |- ( E. y E. z e. C ( z B y /\ y A x ) <-> E. y ( E. z e. C z B y /\ y A x ) )
7	4, 6	bitri 183	. . . 4 |- ( E. z e. C E. y ( z B y /\ y A x ) <-> E. y ( E. z e. C z B y /\ y A x ) )
8	2	elima 4844	. . . . 5 |- ( x e. ( ( A o. B ) " C ) <-> E. z e. C z ( A o. B ) x )
9		vex 2660	. . . . . . 7 |- z e. _V
10	9, 2	brco 4670	. . . . . 6 |- ( z ( A o. B ) x <-> E. y ( z B y /\ y A x ) )
11	10	rexbii 2416	. . . . 5 |- ( E. z e. C z ( A o. B ) x <-> E. z e. C E. y ( z B y /\ y A x ) )
12	8, 11	bitri 183	. . . 4 |- ( x e. ( ( A o. B ) " C ) <-> E. z e. C E. y ( z B y /\ y A x ) )
13		vex 2660	. . . . . . 7 |- y e. _V
14	13	elima 4844	. . . . . 6 |- ( y e. ( B " C ) <-> E. z e. C z B y )
15	14	anbi1i 451	. . . . 5 |- ( ( y e. ( B " C ) /\ y A x ) <-> ( E. z e. C z B y /\ y A x ) )
16	15	exbii 1567	. . . 4 |- ( E. y ( y e. ( B " C ) /\ y A x ) <-> E. y ( E. z e. C z B y /\ y A x ) )
17	7, 12, 16	3bitr4i 211	. . 3 |- ( x e. ( ( A o. B ) " C ) <-> E. y ( y e. ( B " C ) /\ y A x ) )
18	1, 3, 17	3bitr4ri 212	. 2 |- ( x e. ( ( A o. B ) " C ) <-> x e. ( A " ( B " C ) ) )
19	18	eqriv 2112	1 |- ( ( A o. B ) " C ) = ( A " ( B " C ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1314   E.wex 1451   e. wcel 1463   E.wrex 2391   class class class wbr 3895   "cima 4502   o. ccom 4503

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-v 2659  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-br 3896  df-opab 3950  df-xp 4505  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512

This theorem is referenced by:  fvco2  5444  cnco  12232  cnptopco  12233