Theorem cnptopco 13761

Description: The composition of a function F continuous at P with a function continuous at ( F ` P ) is continuous at P. Proposition 2 of [BourbakiTop1] p. I.9. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnptopco	|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> ( G o. F ) e. ( ( J CnP L ) ` P ) )

Proof of Theorem cnptopco

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1001	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> K e. Top )
2		toptopon2 13558	. . . . 5 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
3	1, 2	sylib 122	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
4		simpl3 1002	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> L e. Top )
5		toptopon2 13558	. . . . 5 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
6	4, 5	sylib 122	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> L e. (TopOn ` U. L ) )
7		simprr 531	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) )
8		cnpf2 13746	. . . 4 |- ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ L e. (TopOn ` U. L ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) -> G : U. K --> U. L )
9	3, 6, 7, 8	syl3anc 1238	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> G : U. K --> U. L )
10		simpl1 1000	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> J e. Top )
11		toptopon2 13558	. . . . 5 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
12	10, 11	sylib 122	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
13		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
14		cnpf2 13746	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F : U. J --> U. K )
15	12, 3, 13, 14	syl3anc 1238	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> F : U. J --> U. K )
16		fco 5383	. . 3 |- ( ( G : U. K --> U. L /\ F : U. J --> U. K ) -> ( G o. F ) : U. J --> U. L )
17	9, 15, 16	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> ( G o. F ) : U. J --> U. L )
18	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
19	6	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) -> L e. (TopOn ` U. L ) )
20		cnprcl2k 13745	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. U. J )
21	12, 1, 13, 20	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> P e. U. J )
22	15, 21	ffvelcdmd 5654	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> ( F ` P ) e. U. K )
23	22	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) -> ( F ` P ) e. U. K )
24	7	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) -> G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) )
25		simprl 529	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) -> z e. L )
26		fvco3 5589	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : U. J --> U. K /\ P e. U. J ) -> ( ( G o. F ) ` P ) = ( G ` ( F ` P ) ) )
27	15, 21, 26	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> ( ( G o. F ) ` P ) = ( G ` ( F ` P ) ) )
28	27	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) -> ( ( G o. F ) ` P ) = ( G ` ( F ` P ) ) )
29		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) -> ( ( G o. F ) ` P ) e. z )
30	28, 29	eqeltrrd 2255	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) -> ( G ` ( F ` P ) ) e. z )
31		icnpimaex 13750	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ L e. (TopOn ` U. L ) /\ ( F ` P ) e. U. K ) /\ ( G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) /\ z e. L /\ ( G ` ( F ` P ) ) e. z ) ) -> E. y e. K ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) )
32	18, 19, 23, 24, 25, 30, 31	syl33anc 1253	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) -> E. y e. K ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) )
33	12	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
34	3	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
35	21	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> P e. U. J )
36		simplll 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
37	36	adantlll 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
38		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> y e. K )
39		simprrl 539	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> ( F ` P ) e. y )
40		icnpimaex 13750	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ P e. U. J ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) )
41	33, 34, 35, 37, 38, 39, 40	syl33anc 1253	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) )
42		imaco 5136	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G o. F ) " x ) = ( G " ( F " x ) )
43		imass2 5006	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F " x ) C_ y -> ( G " ( F " x ) ) C_ ( G " y ) )
44	42, 43	eqsstrid 3203	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F " x ) C_ y -> ( ( G o. F ) " x ) C_ ( G " y ) )
45		simprrr 540	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> ( G " y ) C_ z )
46		sstr2 3164	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G o. F ) " x ) C_ ( G " y ) -> ( ( G " y ) C_ z -> ( ( G o. F ) " x ) C_ z ) )
47	44, 45, 46	syl2imc 39	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> ( ( F " x ) C_ y -> ( ( G o. F ) " x ) C_ z ) )
48	47	adantlll 480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> ( ( F " x ) C_ y -> ( ( G o. F ) " x ) C_ z ) )
49	48	anim2d 337	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> ( ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> ( P e. x /\ ( ( G o. F ) " x ) C_ z ) ) )
50	49	reximdv 2578	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( ( G o. F ) " x ) C_ z ) ) )
51	41, 50	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( ( G o. F ) " x ) C_ z ) )
52	32, 51	rexlimddv 2599	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( ( G o. F ) " x ) C_ z ) )
53	52	expr 375	. . 3 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ z e. L ) -> ( ( ( G o. F ) ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( ( G o. F ) " x ) C_ z ) ) )
54	53	ralrimiva 2550	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> A. z e. L ( ( ( G o. F ) ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( ( G o. F ) " x ) C_ z ) ) )
55		iscnp 13738	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ L e. (TopOn ` U. L ) /\ P e. U. J ) -> ( ( G o. F ) e. ( ( J CnP L ) ` P ) <-> ( ( G o. F ) : U. J --> U. L /\ A. z e. L ( ( ( G o. F ) ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( ( G o. F ) " x ) C_ z ) ) ) ) )
56	12, 6, 21, 55	syl3anc 1238	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> ( ( G o. F ) e. ( ( J CnP L ) ` P ) <-> ( ( G o. F ) : U. J --> U. L /\ A. z e. L ( ( ( G o. F ) ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( ( G o. F ) " x ) C_ z ) ) ) ) )
57	17, 54, 56	mpbir2and 944	1 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> ( G o. F ) e. ( ( J CnP L ) ` P ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   C_ wss 3131   U.cuni 3811   "cima 4631   o. ccom 4632   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Topctop 13536  TopOnctopon 13549   CnP ccnp 13725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-map 6652  df-top 13537  df-topon 13550  df-cnp 13728

This theorem is referenced by: (None)