Theorem cnptopco 14542

Description: The composition of a function F continuous at P with a function continuous at ( F ` P ) is continuous at P. Proposition 2 of [BourbakiTop1] p. I.9. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnptopco	|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> ( G o. F ) e. ( ( J CnP L ) ` P ) )

Proof of Theorem cnptopco

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1003	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> K e. Top )
2		toptopon2 14339	. . . . 5 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
3	1, 2	sylib 122	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
4		simpl3 1004	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> L e. Top )
5		toptopon2 14339	. . . . 5 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
6	4, 5	sylib 122	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> L e. (TopOn ` U. L ) )
7		simprr 531	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) )
8		cnpf2 14527	. . . 4 |- ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ L e. (TopOn ` U. L ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) -> G : U. K --> U. L )
9	3, 6, 7, 8	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> G : U. K --> U. L )
10		simpl1 1002	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> J e. Top )
11		toptopon2 14339	. . . . 5 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
12	10, 11	sylib 122	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
13		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
14		cnpf2 14527	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F : U. J --> U. K )
15	12, 3, 13, 14	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> F : U. J --> U. K )
16		fco 5426	. . 3 |- ( ( G : U. K --> U. L /\ F : U. J --> U. K ) -> ( G o. F ) : U. J --> U. L )
17	9, 15, 16	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> ( G o. F ) : U. J --> U. L )
18	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
19	6	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) -> L e. (TopOn ` U. L ) )
20		cnprcl2k 14526	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. U. J )
21	12, 1, 13, 20	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> P e. U. J )
22	15, 21	ffvelcdmd 5701	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> ( F ` P ) e. U. K )
23	22	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) -> ( F ` P ) e. U. K )
24	7	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) -> G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) )
25		simprl 529	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) -> z e. L )
26		fvco3 5635	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : U. J --> U. K /\ P e. U. J ) -> ( ( G o. F ) ` P ) = ( G ` ( F ` P ) ) )
27	15, 21, 26	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> ( ( G o. F ) ` P ) = ( G ` ( F ` P ) ) )
28	27	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) -> ( ( G o. F ) ` P ) = ( G ` ( F ` P ) ) )
29		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) -> ( ( G o. F ) ` P ) e. z )
30	28, 29	eqeltrrd 2274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) -> ( G ` ( F ` P ) ) e. z )
31		icnpimaex 14531	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ L e. (TopOn ` U. L ) /\ ( F ` P ) e. U. K ) /\ ( G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) /\ z e. L /\ ( G ` ( F ` P ) ) e. z ) ) -> E. y e. K ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) )
32	18, 19, 23, 24, 25, 30, 31	syl33anc 1264	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) -> E. y e. K ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) )
33	12	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
34	3	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
35	21	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> P e. U. J )
36		simplll 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
37	36	adantlll 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
38		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> y e. K )
39		simprrl 539	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> ( F ` P ) e. y )
40		icnpimaex 14531	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ P e. U. J ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) )
41	33, 34, 35, 37, 38, 39, 40	syl33anc 1264	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) )
42		imaco 5176	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G o. F ) " x ) = ( G " ( F " x ) )
43		imass2 5046	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F " x ) C_ y -> ( G " ( F " x ) ) C_ ( G " y ) )
44	42, 43	eqsstrid 3230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F " x ) C_ y -> ( ( G o. F ) " x ) C_ ( G " y ) )
45		simprrr 540	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> ( G " y ) C_ z )
46		sstr2 3191	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G o. F ) " x ) C_ ( G " y ) -> ( ( G " y ) C_ z -> ( ( G o. F ) " x ) C_ z ) )
47	44, 45, 46	syl2imc 39	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> ( ( F " x ) C_ y -> ( ( G o. F ) " x ) C_ z ) )
48	47	adantlll 480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> ( ( F " x ) C_ y -> ( ( G o. F ) " x ) C_ z ) )
49	48	anim2d 337	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> ( ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> ( P e. x /\ ( ( G o. F ) " x ) C_ z ) ) )
50	49	reximdv 2598	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( ( G o. F ) " x ) C_ z ) ) )
51	41, 50	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( ( G o. F ) " x ) C_ z ) )
52	32, 51	rexlimddv 2619	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( ( G o. F ) " x ) C_ z ) )
53	52	expr 375	. . 3 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ z e. L ) -> ( ( ( G o. F ) ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( ( G o. F ) " x ) C_ z ) ) )
54	53	ralrimiva 2570	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> A. z e. L ( ( ( G o. F ) ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( ( G o. F ) " x ) C_ z ) ) )
55		iscnp 14519	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ L e. (TopOn ` U. L ) /\ P e. U. J ) -> ( ( G o. F ) e. ( ( J CnP L ) ` P ) <-> ( ( G o. F ) : U. J --> U. L /\ A. z e. L ( ( ( G o. F ) ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( ( G o. F ) " x ) C_ z ) ) ) ) )
56	12, 6, 21, 55	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> ( ( G o. F ) e. ( ( J CnP L ) ` P ) <-> ( ( G o. F ) : U. J --> U. L /\ A. z e. L ( ( ( G o. F ) ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( ( G o. F ) " x ) C_ z ) ) ) ) )
57	17, 54, 56	mpbir2and 946	1 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> ( G o. F ) e. ( ( J CnP L ) ` P ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   C_ wss 3157   U.cuni 3840   "cima 4667   o. ccom 4668   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Topctop 14317  TopOnctopon 14330   CnP ccnp 14506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-map 6718  df-top 14318  df-topon 14331  df-cnp 14509

This theorem is referenced by: (None)