Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnptopco Unicode version

Theorem cnptopco 12405
 Description: The composition of a function continuous at with a function continuous at is continuous at . Proposition 2 of [BourbakiTop1] p. I.9. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnptopco

Proof of Theorem cnptopco
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 985 . . . . 5
2 toptopon2 12200 . . . . 5 TopOn
31, 2sylib 121 . . . 4 TopOn
4 simpl3 986 . . . . 5
5 toptopon2 12200 . . . . 5 TopOn
64, 5sylib 121 . . . 4 TopOn
7 simprr 521 . . . 4
8 cnpf2 12390 . . . 4 TopOn TopOn
93, 6, 7, 8syl3anc 1216 . . 3
10 simpl1 984 . . . . 5
11 toptopon2 12200 . . . . 5 TopOn
1210, 11sylib 121 . . . 4 TopOn
13 simprl 520 . . . 4
14 cnpf2 12390 . . . 4 TopOn TopOn
1512, 3, 13, 14syl3anc 1216 . . 3
16 fco 5288 . . 3
179, 15, 16syl2anc 408 . 2
183adantr 274 . . . . . 6 TopOn
196adantr 274 . . . . . 6 TopOn
20 cnprcl2k 12389 . . . . . . . . 9 TopOn
2112, 1, 13, 20syl3anc 1216 . . . . . . . 8
2215, 21ffvelrnd 5556 . . . . . . 7
2322adantr 274 . . . . . 6
247adantr 274 . . . . . 6
25 simprl 520 . . . . . 6
26 fvco3 5492 . . . . . . . . 9
2715, 21, 26syl2anc 408 . . . . . . . 8
2827adantr 274 . . . . . . 7
29 simprr 521 . . . . . . 7
3028, 29eqeltrrd 2217 . . . . . 6
31 icnpimaex 12394 . . . . . 6 TopOn TopOn
3218, 19, 23, 24, 25, 30, 31syl33anc 1231 . . . . 5
3312ad2antrr 479 . . . . . . 7 TopOn
343ad2antrr 479 . . . . . . 7 TopOn
3521ad2antrr 479 . . . . . . 7
36 simplll 522 . . . . . . . 8
3736adantlll 471 . . . . . . 7
38 simprl 520 . . . . . . 7
39 simprrl 528 . . . . . . 7
40 icnpimaex 12394 . . . . . . 7 TopOn TopOn
4133, 34, 35, 37, 38, 39, 40syl33anc 1231 . . . . . 6
42 imaco 5044 . . . . . . . . . . 11
43 imass2 4915 . . . . . . . . . . 11
4442, 43eqsstrid 3143 . . . . . . . . . 10
45 simprrr 529 . . . . . . . . . 10
46 sstr2 3104 . . . . . . . . . 10
4744, 45, 46syl2imc 39 . . . . . . . . 9
4847adantlll 471 . . . . . . . 8
4948anim2d 335 . . . . . . 7
5049reximdv 2533 . . . . . 6
5141, 50mpd 13 . . . . 5
5232, 51rexlimddv 2554 . . . 4
5352expr 372 . . 3
5453ralrimiva 2505 . 2
55 iscnp 12382 . . 3 TopOn TopOn
5612, 6, 21, 55syl3anc 1216 . 2
5717, 54, 56mpbir2and 928 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   w3a 962   wceq 1331   wcel 1480  wral 2416  wrex 2417   wss 3071  cuni 3736  cima 4542   ccom 4543  wf 5119  cfv 5123  (class class class)co 5774  ctop 12178  TopOnctopon 12191   ccnp 12369 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-top 12179  df-topon 12192  df-cnp 12372 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator