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Theorem cnptopco 12405
Description: The composition of a function  F continuous at  P with a function continuous at  ( F `  P
) is continuous at  P. Proposition 2 of [BourbakiTop1] p. I.9. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnptopco  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) ) )  ->  ( G  o.  F )  e.  ( ( J  CnP  L
) `  P )
)

Proof of Theorem cnptopco
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 985 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) ) )  ->  K  e.  Top )
2 toptopon2 12200 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
31, 2sylib 121 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
4 simpl3 986 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) ) )  ->  L  e.  Top )
5 toptopon2 12200 . . . . 5  |-  ( L  e.  Top  <->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
64, 5sylib 121 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) ) )  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
7 simprr 521 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) ) )  ->  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `
 P ) ) )
8 cnpf2 12390 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  L  e.  (TopOn `  U. L )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  ->  G : U. K
--> U. L )
93, 6, 7, 8syl3anc 1216 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) ) )  ->  G : U. K --> U. L )
10 simpl1 984 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) ) )  ->  J  e.  Top )
11 toptopon2 12200 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
1210, 11sylib 121 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
13 simprl 520 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )
14 cnpf2 12390 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )
)  ->  F : U. J --> U. K )
1512, 3, 13, 14syl3anc 1216 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) ) )  ->  F : U. J --> U. K )
16 fco 5288 . . 3  |-  ( ( G : U. K --> U. L  /\  F : U. J --> U. K )  -> 
( G  o.  F
) : U. J --> U. L )
179, 15, 16syl2anc 408 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) ) )  ->  ( G  o.  F ) : U. J
--> U. L )
183adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  (
( G  o.  F
) `  P )  e.  z ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
196adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  (
( G  o.  F
) `  P )  e.  z ) )  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
20 cnprcl2k 12389 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  P  e.  U. J )
2112, 1, 13, 20syl3anc 1216 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) ) )  ->  P  e.  U. J )
2215, 21ffvelrnd 5556 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) ) )  ->  ( F `  P )  e.  U. K )
2322adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  (
( G  o.  F
) `  P )  e.  z ) )  -> 
( F `  P
)  e.  U. K
)
247adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  (
( G  o.  F
) `  P )  e.  z ) )  ->  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )
25 simprl 520 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  (
( G  o.  F
) `  P )  e.  z ) )  -> 
z  e.  L )
26 fvco3 5492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : U. J --> U. K  /\  P  e. 
U. J )  -> 
( ( G  o.  F ) `  P
)  =  ( G `
 ( F `  P ) ) )
2715, 21, 26syl2anc 408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) ) )  ->  ( ( G  o.  F ) `  P )  =  ( G `  ( F `
 P ) ) )
2827adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  (
( G  o.  F
) `  P )  e.  z ) )  -> 
( ( G  o.  F ) `  P
)  =  ( G `
 ( F `  P ) ) )
29 simprr 521 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  (
( G  o.  F
) `  P )  e.  z ) )  -> 
( ( G  o.  F ) `  P
)  e.  z )
3028, 29eqeltrrd 2217 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  (
( G  o.  F
) `  P )  e.  z ) )  -> 
( G `  ( F `  P )
)  e.  z )
31 icnpimaex 12394 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  L  e.  (TopOn `  U. L )  /\  ( F `  P )  e.  U. K )  /\  ( G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) )  /\  z  e.  L  /\  ( G `  ( F `
 P ) )  e.  z ) )  ->  E. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) )
3218, 19, 23, 24, 25, 30, 31syl33anc 1231 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  (
( G  o.  F
) `  P )  e.  z ) )  ->  E. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) )
3312ad2antrr 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e. 
Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `  P
)  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  (
( F `  P
)  e.  y  /\  ( G " y ) 
C_  z ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
343ad2antrr 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e. 
Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `  P
)  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  (
( F `  P
)  e.  y  /\  ( G " y ) 
C_  z ) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
3521ad2antrr 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e. 
Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `  P
)  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  (
( F `  P
)  e.  y  /\  ( G " y ) 
C_  z ) ) )  ->  P  e.  U. J )
36 simplll 522 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )
3736adantlll 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e. 
Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `  P
)  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  (
( F `  P
)  e.  y  /\  ( G " y ) 
C_  z ) ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )
38 simprl 520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e. 
Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `  P
)  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  (
( F `  P
)  e.  y  /\  ( G " y ) 
C_  z ) ) )  ->  y  e.  K )
39 simprrl 528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e. 
Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `  P
)  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  (
( F `  P
)  e.  y  /\  ( G " y ) 
C_  z ) ) )  ->  ( F `  P )  e.  y )
40 icnpimaex 12394 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  P  e.  U. J )  /\  ( F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )  /\  y  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  y ) )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )
4133, 34, 35, 37, 38, 39, 40syl33anc 1231 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e. 
Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `  P
)  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  (
( F `  P
)  e.  y  /\  ( G " y ) 
C_  z ) ) )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )
42 imaco 5044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  o.  F )
" x )  =  ( G " ( F " x ) )
43 imass2 4915 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F " x ) 
C_  y  ->  ( G " ( F "
x ) )  C_  ( G " y ) )
4442, 43eqsstrid 3143 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F " x ) 
C_  y  ->  (
( G  o.  F
) " x ) 
C_  ( G "
y ) )
45 simprrr 529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) ) )  -> 
( G " y
)  C_  z )
46 sstr2 3104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  o.  F
) " x ) 
C_  ( G "
y )  ->  (
( G " y
)  C_  z  ->  ( ( G  o.  F
) " x ) 
C_  z ) )
4744, 45, 46syl2imc 39 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) ) )  -> 
( ( F "
x )  C_  y  ->  ( ( G  o.  F ) " x
)  C_  z )
)
4847adantlll 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e. 
Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `  P
)  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  (
( F `  P
)  e.  y  /\  ( G " y ) 
C_  z ) ) )  ->  ( ( F " x )  C_  y  ->  ( ( G  o.  F ) "
x )  C_  z
) )
4948anim2d 335 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e. 
Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `  P
)  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  (
( F `  P
)  e.  y  /\  ( G " y ) 
C_  z ) ) )  ->  ( ( P  e.  x  /\  ( F " x ) 
C_  y )  -> 
( P  e.  x  /\  ( ( G  o.  F ) " x
)  C_  z )
) )
5049reximdv 2533 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e. 
Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `  P
)  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  (
( F `  P
)  e.  y  /\  ( G " y ) 
C_  z ) ) )  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x ) 
C_  y )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( ( G  o.  F ) " x
)  C_  z )
) )
5141, 50mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e. 
Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `  P
)  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  (
( F `  P
)  e.  y  /\  ( G " y ) 
C_  z ) ) )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  (
( G  o.  F
) " x ) 
C_  z ) )
5232, 51rexlimddv 2554 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  (
( G  o.  F
) `  P )  e.  z ) )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( ( G  o.  F ) " x
)  C_  z )
)
5352expr 372 . . 3  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) ) )  /\  z  e.  L )  ->  (
( ( G  o.  F ) `  P
)  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( ( G  o.  F ) " x
)  C_  z )
) )
5453ralrimiva 2505 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) ) )  ->  A. z  e.  L  ( (
( G  o.  F
) `  P )  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  (
( G  o.  F
) " x ) 
C_  z ) ) )
55 iscnp 12382 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  L  e.  (TopOn `  U. L )  /\  P  e.  U. J )  ->  (
( G  o.  F
)  e.  ( ( J  CnP  L ) `
 P )  <->  ( ( G  o.  F ) : U. J --> U. L  /\  A. z  e.  L  ( ( ( G  o.  F ) `  P )  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( ( G  o.  F ) " x
)  C_  z )
) ) ) )
5612, 6, 21, 55syl3anc 1216 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) ) )  ->  ( ( G  o.  F )  e.  ( ( J  CnP  L ) `  P )  <-> 
( ( G  o.  F ) : U. J
--> U. L  /\  A. z  e.  L  (
( ( G  o.  F ) `  P
)  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( ( G  o.  F ) " x
)  C_  z )
) ) ) )
5717, 54, 56mpbir2and 928 1  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) ) )  ->  ( G  o.  F )  e.  ( ( J  CnP  L
) `  P )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417    C_ wss 3071   U.cuni 3736   "cima 4542    o. ccom 4543   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   Topctop 12178  TopOnctopon 12191    CnP ccnp 12369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-top 12179  df-topon 12192  df-cnp 12372
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