Theorem cnptopco 12862

Description: The composition of a function F continuous at P with a function continuous at ( F ` P ) is continuous at P. Proposition 2 of [BourbakiTop1] p. I.9. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnptopco	|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> ( G o. F ) e. ( ( J CnP L ) ` P ) )

Proof of Theorem cnptopco

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 991	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> K e. Top )
2		toptopon2 12657	. . . . 5 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
3	1, 2	sylib 121	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
4		simpl3 992	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> L e. Top )
5		toptopon2 12657	. . . . 5 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
6	4, 5	sylib 121	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> L e. (TopOn ` U. L ) )
7		simprr 522	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) )
8		cnpf2 12847	. . . 4 |- ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ L e. (TopOn ` U. L ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) -> G : U. K --> U. L )
9	3, 6, 7, 8	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> G : U. K --> U. L )
10		simpl1 990	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> J e. Top )
11		toptopon2 12657	. . . . 5 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
12	10, 11	sylib 121	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
13		simprl 521	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
14		cnpf2 12847	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F : U. J --> U. K )
15	12, 3, 13, 14	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> F : U. J --> U. K )
16		fco 5353	. . 3 |- ( ( G : U. K --> U. L /\ F : U. J --> U. K ) -> ( G o. F ) : U. J --> U. L )
17	9, 15, 16	syl2anc 409	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> ( G o. F ) : U. J --> U. L )
18	3	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
19	6	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) -> L e. (TopOn ` U. L ) )
20		cnprcl2k 12846	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. U. J )
21	12, 1, 13, 20	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> P e. U. J )
22	15, 21	ffvelrnd 5621	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> ( F ` P ) e. U. K )
23	22	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) -> ( F ` P ) e. U. K )
24	7	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) -> G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) )
25		simprl 521	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) -> z e. L )
26		fvco3 5557	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : U. J --> U. K /\ P e. U. J ) -> ( ( G o. F ) ` P ) = ( G ` ( F ` P ) ) )
27	15, 21, 26	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> ( ( G o. F ) ` P ) = ( G ` ( F ` P ) ) )
28	27	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) -> ( ( G o. F ) ` P ) = ( G ` ( F ` P ) ) )
29		simprr 522	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) -> ( ( G o. F ) ` P ) e. z )
30	28, 29	eqeltrrd 2244	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) -> ( G ` ( F ` P ) ) e. z )
31		icnpimaex 12851	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ L e. (TopOn ` U. L ) /\ ( F ` P ) e. U. K ) /\ ( G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) /\ z e. L /\ ( G ` ( F ` P ) ) e. z ) ) -> E. y e. K ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) )
32	18, 19, 23, 24, 25, 30, 31	syl33anc 1243	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) -> E. y e. K ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) )
33	12	ad2antrr 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
34	3	ad2antrr 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
35	21	ad2antrr 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> P e. U. J )
36		simplll 523	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
37	36	adantlll 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
38		simprl 521	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> y e. K )
39		simprrl 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> ( F ` P ) e. y )
40		icnpimaex 12851	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ P e. U. J ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) )
41	33, 34, 35, 37, 38, 39, 40	syl33anc 1243	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) )
42		imaco 5109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G o. F ) " x ) = ( G " ( F " x ) )
43		imass2 4980	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F " x ) C_ y -> ( G " ( F " x ) ) C_ ( G " y ) )
44	42, 43	eqsstrid 3188	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F " x ) C_ y -> ( ( G o. F ) " x ) C_ ( G " y ) )
45		simprrr 530	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> ( G " y ) C_ z )
46		sstr2 3149	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G o. F ) " x ) C_ ( G " y ) -> ( ( G " y ) C_ z -> ( ( G o. F ) " x ) C_ z ) )
47	44, 45, 46	syl2imc 39	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> ( ( F " x ) C_ y -> ( ( G o. F ) " x ) C_ z ) )
48	47	adantlll 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> ( ( F " x ) C_ y -> ( ( G o. F ) " x ) C_ z ) )
49	48	anim2d 335	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> ( ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> ( P e. x /\ ( ( G o. F ) " x ) C_ z ) ) )
50	49	reximdv 2567	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( ( G o. F ) " x ) C_ z ) ) )
51	41, 50	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) /\ ( y e. K /\ ( ( F ` P ) e. y /\ ( G " y ) C_ z ) ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( ( G o. F ) " x ) C_ z ) )
52	32, 51	rexlimddv 2588	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ ( z e. L /\ ( ( G o. F ) ` P ) e. z ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( ( G o. F ) " x ) C_ z ) )
53	52	expr 373	. . 3 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) /\ z e. L ) -> ( ( ( G o. F ) ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( ( G o. F ) " x ) C_ z ) ) )
54	53	ralrimiva 2539	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> A. z e. L ( ( ( G o. F ) ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( ( G o. F ) " x ) C_ z ) ) )
55		iscnp 12839	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ L e. (TopOn ` U. L ) /\ P e. U. J ) -> ( ( G o. F ) e. ( ( J CnP L ) ` P ) <-> ( ( G o. F ) : U. J --> U. L /\ A. z e. L ( ( ( G o. F ) ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( ( G o. F ) " x ) C_ z ) ) ) ) )
56	12, 6, 21, 55	syl3anc 1228	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> ( ( G o. F ) e. ( ( J CnP L ) ` P ) <-> ( ( G o. F ) : U. J --> U. L /\ A. z e. L ( ( ( G o. F ) ` P ) e. z -> E. x e. J ( P e. x /\ ( ( G o. F ) " x ) C_ z ) ) ) ) )
57	17, 54, 56	mpbir2and 934	1 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ G e. ( ( K CnP L ) ` ( F ` P ) ) ) ) -> ( G o. F ) e. ( ( J CnP L ) ` P ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   C_ wss 3116   U.cuni 3789   "cima 4607   o. ccom 4608   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   Topctop 12635  TopOnctopon 12648   CnP ccnp 12826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-map 6616  df-top 12636  df-topon 12649  df-cnp 12829

This theorem is referenced by: (None)