Theorem cnco 14726

Description: The composition of two continuous functions is a continuous function. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnco	|- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) -> ( G o. F ) e. ( J Cn L ) )

Proof of Theorem cnco

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop1 14706	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
2		cntop2 14707	. . 3 |- ( G e. ( K Cn L ) -> L e. Top )
3	1, 2	anim12i 338	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) -> ( J e. Top /\ L e. Top ) )
4		eqid 2205	. . . . 5 |- U. K = U. K
5		eqid 2205	. . . . 5 |- U. L = U. L
6	4, 5	cnf 14709	. . . 4 |- ( G e. ( K Cn L ) -> G : U. K --> U. L )
7		eqid 2205	. . . . 5 |- U. J = U. J
8	7, 4	cnf 14709	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> U. K )
9		fco 5443	. . . 4 |- ( ( G : U. K --> U. L /\ F : U. J --> U. K ) -> ( G o. F ) : U. J --> U. L )
10	6, 8, 9	syl2anr 290	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) -> ( G o. F ) : U. J --> U. L )
11		cnvco 4864	. . . . . . 7 |- `' ( G o. F ) = ( `' F o. `' G )
12	11	imaeq1i 5020	. . . . . 6 |- ( `' ( G o. F ) " x ) = ( ( `' F o. `' G ) " x )
13		imaco 5189	. . . . . 6 |- ( ( `' F o. `' G ) " x ) = ( `' F " ( `' G " x ) )
14	12, 13	eqtri 2226	. . . . 5 |- ( `' ( G o. F ) " x ) = ( `' F " ( `' G " x ) )
15		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) /\ x e. L ) -> F e. ( J Cn K ) )
16		cnima 14725	. . . . . . 7 |- ( ( G e. ( K Cn L ) /\ x e. L ) -> ( `' G " x ) e. K )
17	16	adantll 476	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) /\ x e. L ) -> ( `' G " x ) e. K )
18		cnima 14725	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ ( `' G " x ) e. K ) -> ( `' F " ( `' G " x ) ) e. J )
19	15, 17, 18	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) /\ x e. L ) -> ( `' F " ( `' G " x ) ) e. J )
20	14, 19	eqeltrid 2292	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) /\ x e. L ) -> ( `' ( G o. F ) " x ) e. J )
21	20	ralrimiva 2579	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) -> A. x e. L ( `' ( G o. F ) " x ) e. J )
22	10, 21	jca 306	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) -> ( ( G o. F ) : U. J --> U. L /\ A. x e. L ( `' ( G o. F ) " x ) e. J ) )
23	7, 5	iscn2 14705	. 2 |- ( ( G o. F ) e. ( J Cn L ) <-> ( ( J e. Top /\ L e. Top ) /\ ( ( G o. F ) : U. J --> U. L /\ A. x e. L ( `' ( G o. F ) " x ) e. J ) ) )
24	3, 22, 23	sylanbrc 417	1 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) -> ( G o. F ) e. ( J Cn L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2176   A.wral 2484   U.cuni 3850   `'ccnv 4675   "cima 4679   o. ccom 4680   -->wf 5268  (class class class)co 5946   Topctop 14502   Cn ccn 14690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-map 6739  df-top 14503  df-topon 14516  df-cn 14693

This theorem is referenced by:  txcn  14780  cnmpt11  14788  cnmpt21  14796  hmeoco  14821