Theorem cnco 14400

Description: The composition of two continuous functions is a continuous function. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnco	|- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) -> ( G o. F ) e. ( J Cn L ) )

Proof of Theorem cnco

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop1 14380	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
2		cntop2 14381	. . 3 |- ( G e. ( K Cn L ) -> L e. Top )
3	1, 2	anim12i 338	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) -> ( J e. Top /\ L e. Top ) )
4		eqid 2193	. . . . 5 |- U. K = U. K
5		eqid 2193	. . . . 5 |- U. L = U. L
6	4, 5	cnf 14383	. . . 4 |- ( G e. ( K Cn L ) -> G : U. K --> U. L )
7		eqid 2193	. . . . 5 |- U. J = U. J
8	7, 4	cnf 14383	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> U. K )
9		fco 5420	. . . 4 |- ( ( G : U. K --> U. L /\ F : U. J --> U. K ) -> ( G o. F ) : U. J --> U. L )
10	6, 8, 9	syl2anr 290	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) -> ( G o. F ) : U. J --> U. L )
11		cnvco 4848	. . . . . . 7 |- `' ( G o. F ) = ( `' F o. `' G )
12	11	imaeq1i 5003	. . . . . 6 |- ( `' ( G o. F ) " x ) = ( ( `' F o. `' G ) " x )
13		imaco 5172	. . . . . 6 |- ( ( `' F o. `' G ) " x ) = ( `' F " ( `' G " x ) )
14	12, 13	eqtri 2214	. . . . 5 |- ( `' ( G o. F ) " x ) = ( `' F " ( `' G " x ) )
15		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) /\ x e. L ) -> F e. ( J Cn K ) )
16		cnima 14399	. . . . . . 7 |- ( ( G e. ( K Cn L ) /\ x e. L ) -> ( `' G " x ) e. K )
17	16	adantll 476	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) /\ x e. L ) -> ( `' G " x ) e. K )
18		cnima 14399	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ ( `' G " x ) e. K ) -> ( `' F " ( `' G " x ) ) e. J )
19	15, 17, 18	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) /\ x e. L ) -> ( `' F " ( `' G " x ) ) e. J )
20	14, 19	eqeltrid 2280	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) /\ x e. L ) -> ( `' ( G o. F ) " x ) e. J )
21	20	ralrimiva 2567	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) -> A. x e. L ( `' ( G o. F ) " x ) e. J )
22	10, 21	jca 306	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) -> ( ( G o. F ) : U. J --> U. L /\ A. x e. L ( `' ( G o. F ) " x ) e. J ) )
23	7, 5	iscn2 14379	. 2 |- ( ( G o. F ) e. ( J Cn L ) <-> ( ( J e. Top /\ L e. Top ) /\ ( ( G o. F ) : U. J --> U. L /\ A. x e. L ( `' ( G o. F ) " x ) e. J ) ) )
24	3, 22, 23	sylanbrc 417	1 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) -> ( G o. F ) e. ( J Cn L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2164   A.wral 2472   U.cuni 3836   `'ccnv 4659   "cima 4663   o. ccom 4664   -->wf 5251  (class class class)co 5919   Topctop 14176   Cn ccn 14364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-map 6706  df-top 14177  df-topon 14190  df-cn 14367

This theorem is referenced by:  txcn  14454  cnmpt11  14462  cnmpt21  14470  hmeoco  14495