Theorem cnco 12429

Description: The composition of two continuous functions is a continuous function. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnco	|- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) -> ( G o. F ) e. ( J Cn L ) )

Proof of Theorem cnco

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop1 12409	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
2		cntop2 12410	. . 3 |- ( G e. ( K Cn L ) -> L e. Top )
3	1, 2	anim12i 336	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) -> ( J e. Top /\ L e. Top ) )
4		eqid 2140	. . . . 5 |- U. K = U. K
5		eqid 2140	. . . . 5 |- U. L = U. L
6	4, 5	cnf 12412	. . . 4 |- ( G e. ( K Cn L ) -> G : U. K --> U. L )
7		eqid 2140	. . . . 5 |- U. J = U. J
8	7, 4	cnf 12412	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> U. K )
9		fco 5296	. . . 4 |- ( ( G : U. K --> U. L /\ F : U. J --> U. K ) -> ( G o. F ) : U. J --> U. L )
10	6, 8, 9	syl2anr 288	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) -> ( G o. F ) : U. J --> U. L )
11		cnvco 4732	. . . . . . 7 |- `' ( G o. F ) = ( `' F o. `' G )
12	11	imaeq1i 4886	. . . . . 6 |- ( `' ( G o. F ) " x ) = ( ( `' F o. `' G ) " x )
13		imaco 5052	. . . . . 6 |- ( ( `' F o. `' G ) " x ) = ( `' F " ( `' G " x ) )
14	12, 13	eqtri 2161	. . . . 5 |- ( `' ( G o. F ) " x ) = ( `' F " ( `' G " x ) )
15		simpll 519	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) /\ x e. L ) -> F e. ( J Cn K ) )
16		cnima 12428	. . . . . . 7 |- ( ( G e. ( K Cn L ) /\ x e. L ) -> ( `' G " x ) e. K )
17	16	adantll 468	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) /\ x e. L ) -> ( `' G " x ) e. K )
18		cnima 12428	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ ( `' G " x ) e. K ) -> ( `' F " ( `' G " x ) ) e. J )
19	15, 17, 18	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) /\ x e. L ) -> ( `' F " ( `' G " x ) ) e. J )
20	14, 19	eqeltrid 2227	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) /\ x e. L ) -> ( `' ( G o. F ) " x ) e. J )
21	20	ralrimiva 2508	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) -> A. x e. L ( `' ( G o. F ) " x ) e. J )
22	10, 21	jca 304	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) -> ( ( G o. F ) : U. J --> U. L /\ A. x e. L ( `' ( G o. F ) " x ) e. J ) )
23	7, 5	iscn2 12408	. 2 |- ( ( G o. F ) e. ( J Cn L ) <-> ( ( J e. Top /\ L e. Top ) /\ ( ( G o. F ) : U. J --> U. L /\ A. x e. L ( `' ( G o. F ) " x ) e. J ) ) )
24	3, 22, 23	sylanbrc 414	1 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) -> ( G o. F ) e. ( J Cn L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1481   A.wral 2417   U.cuni 3744   `'ccnv 4546   "cima 4550   o. ccom 4551   -->wf 5127  (class class class)co 5782   Topctop 12203   Cn ccn 12393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-map 6552  df-top 12204  df-topon 12217  df-cn 12396

This theorem is referenced by:  txcn  12483  cnmpt11  12491  cnmpt21  12499  hmeoco  12524