Theorem cnco 15086

Description: The composition of two continuous functions is a continuous function. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnco	|- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) -> ( G o. F ) e. ( J Cn L ) )

Proof of Theorem cnco

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop1 15066	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
2		cntop2 15067	. . 3 |- ( G e. ( K Cn L ) -> L e. Top )
3	1, 2	anim12i 338	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) -> ( J e. Top /\ L e. Top ) )
4		eqid 2232	. . . . 5 |- U. K = U. K
5		eqid 2232	. . . . 5 |- U. L = U. L
6	4, 5	cnf 15069	. . . 4 |- ( G e. ( K Cn L ) -> G : U. K --> U. L )
7		eqid 2232	. . . . 5 |- U. J = U. J
8	7, 4	cnf 15069	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> U. K )
9		fco 5527	. . . 4 |- ( ( G : U. K --> U. L /\ F : U. J --> U. K ) -> ( G o. F ) : U. J --> U. L )
10	6, 8, 9	syl2anr 290	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) -> ( G o. F ) : U. J --> U. L )
11		cnvco 4940	. . . . . . 7 |- `' ( G o. F ) = ( `' F o. `' G )
12	11	imaeq1i 5098	. . . . . 6 |- ( `' ( G o. F ) " x ) = ( ( `' F o. `' G ) " x )
13		imaco 5268	. . . . . 6 |- ( ( `' F o. `' G ) " x ) = ( `' F " ( `' G " x ) )
14	12, 13	eqtri 2253	. . . . 5 |- ( `' ( G o. F ) " x ) = ( `' F " ( `' G " x ) )
15		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) /\ x e. L ) -> F e. ( J Cn K ) )
16		cnima 15085	. . . . . . 7 |- ( ( G e. ( K Cn L ) /\ x e. L ) -> ( `' G " x ) e. K )
17	16	adantll 476	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) /\ x e. L ) -> ( `' G " x ) e. K )
18		cnima 15085	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ ( `' G " x ) e. K ) -> ( `' F " ( `' G " x ) ) e. J )
19	15, 17, 18	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) /\ x e. L ) -> ( `' F " ( `' G " x ) ) e. J )
20	14, 19	eqeltrid 2319	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) /\ x e. L ) -> ( `' ( G o. F ) " x ) e. J )
21	20	ralrimiva 2615	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) -> A. x e. L ( `' ( G o. F ) " x ) e. J )
22	10, 21	jca 306	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) -> ( ( G o. F ) : U. J --> U. L /\ A. x e. L ( `' ( G o. F ) " x ) e. J ) )
23	7, 5	iscn2 15065	. 2 |- ( ( G o. F ) e. ( J Cn L ) <-> ( ( J e. Top /\ L e. Top ) /\ ( ( G o. F ) : U. J --> U. L /\ A. x e. L ( `' ( G o. F ) " x ) e. J ) ) )
24	3, 22, 23	sylanbrc 417	1 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) -> ( G o. F ) e. ( J Cn L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2203   A.wral 2520   U.cuni 3914   `'ccnv 4748   "cima 4752   o. ccom 4753   -->wf 5348  (class class class)co 6050   Topctop 14862   Cn ccn 15050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-map 6884  df-top 14863  df-topon 14876  df-cn 15053

This theorem is referenced by:  txcn  15140  cnmpt11  15148  cnmpt21  15156  hmeoco  15181