Theorem indfdc 9301

Description: An indicator function as a function with domain and codomain. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indfdc	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑂 DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑂

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem indfdc

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indval 9299	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = (𝑦 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0)))
2	1	3adant3 1048	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑂 DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = (𝑦 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0)))
3		1red 8342	. . . 4 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑂 DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝑂) → 1 ∈ ℝ)
4		0red 8328	. . . 4 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑂 DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝑂) → 0 ∈ ℝ)
5		eleq1w 2299	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
6	5	dcbid 850	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑦 ∈ 𝐴))
7		simpl3 1033	. . . . 5 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑂 DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝑂) → ∀𝑥 ∈ 𝑂 DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
8		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑂 DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝑂) → 𝑦 ∈ 𝑂)
9	6, 7, 8	rspcdva 2934	. . . 4 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑂 DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝑂) → DECID 𝑦 ∈ 𝐴)
10		ifprdc 3819	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ DECID 𝑦 ∈ 𝐴) → if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {1, 0})
11	3, 4, 9, 10	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑂 DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝑂) → if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {1, 0})
12		prcom 3787	. . 3 ⊢ {1, 0} = {0, 1}
13	11, 12	eleqtrdi 2331	. 2 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑂 DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝑂) → if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1})
14	2, 13	fmpt3d 5864	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑂 DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 846   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ⊆ wss 3220  ifcif 3638  {cpr 3710   ↦ cmpt 4192  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  ℝcr 8179  0cc0 8180  1c1 8181  𝟭cind 9296

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277  ax-rnegex 8289

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ind 9297

This theorem is used by: (None)