Theorem eleqtrdi 2289

Description: A membership and equality inference. (Contributed by NM, 4-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
eleqtrdi.1	|- ( ph -> A e. B )
eleqtrdi.2	|- B = C

Assertion

Ref	Expression
eleqtrdi	|- ( ph -> A e. C )

Proof of Theorem eleqtrdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleqtrdi.1	. 2 |- ( ph -> A e. B )
2		eleqtrdi.2	. . 3 |- B = C
3	2	a1i 9	. 2 |- ( ph -> B = C )
4	1, 3	eleqtrd 2275	1 |- ( ph -> A e. C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1461  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-ial 1548  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2189  df-clel 2192

This theorem is referenced by:  eleqtrrdi  2290  prid2g  3728  freccllem  6461  nninfisol  7200  finomni  7207  exmidomniim  7208  ismkvnex  7222  exmidaclem  7277  caucvgprprlem2  7779  gt0srpr  7817  eluzel2  9608  fseq1p1m1  10171  fznn0sub2  10205  nn0split  10213  nnsplit  10214  exple1  10689  bcval5  10857  bcpasc  10860  zfz1isolemsplit  10932  seq3coll  10936  clim2ser  11504  clim2ser2  11505  iserex  11506  isermulc2  11507  iserle  11509  iserge0  11510  climub  11511  climserle  11512  serf0  11519  summodclem3  11547  summodclem2a  11548  fsum3  11554  sum0  11555  fsumcl2lem  11565  fsumadd  11573  isumclim3  11590  isumadd  11598  fsump1i  11600  fsummulc2  11615  cvgcmpub  11643  binom1dif  11654  isumshft  11657  isumsplit  11658  isumrpcl  11661  arisum2  11666  trireciplem  11667  geoserap  11674  geolim  11678  geo2lim  11683  cvgratnnlemnexp  11691  cvgratnnlemseq  11693  cvgratgt0  11700  mertenslemi1  11702  mertenslem2  11703  mertensabs  11704  clim2prod  11706  clim2divap  11707  prodmodclem3  11742  prodmodclem2a  11743  fprodseq  11750  fprodntrivap  11751  fprodssdc  11757  fprodmul  11758  fprodabs  11783  fprodeq0  11784  efcvgfsum  11834  efcj  11840  effsumlt  11859  mod2eq1n2dvds  12046  bitsfzolem  12121  bitsfzo  12122  bitsfi  12124  bitsinv1lem  12128  bitsinv1  12129  nninfctlemfo  12217  algrp1  12224  phiprmpw  12400  crth  12402  phimullem  12403  prmdiv  12413  pcpremul  12472  pcmpt  12522  pcfac  12529  pockthlem  12535  pockthg  12536  1arith  12546  ennnfonelemp1  12633  nninfdclemp1  12677  relelbasov  12750  gsumwsubmcl  13138  gsumwmhm  13140  mulgnnp1  13270  mulgnn0z  13289  mulgnndir  13291  idomdomd  13843  idomcringd  13844  lspprid2  13978  istps  14278  topontopn  14283  cldrcl  14348  cnrehmeocntop  14856  elplyd  14987  ply1termlem  14988  ply1term  14989  plyaddlem1  14993  plymullem1  14994  plyaddlem  14995  plymullem  14996  plycoeid3  15003  plycolemc  15004  plycj  15007  dvply1  15011  0sgmppw  15239  1sgmprm  15240  lgsval2lem  15261  lgsdir2lem3  15281  lgsdir2lem5  15283  lgsdir  15286  lgsdilem2  15287  lgsdi  15288  lgsne0  15289  gausslemma2dlem3  15314  lgseisenlem1  15321  lgseisenlem4  15324  lgsquadlem2  15329  nnsf  15659  nninfsellemqall  15669  nninfomnilem  15672  cvgcmp2nlemabs  15686  trilpolemeq1  15694  nconstwlpolemgt0  15718