Theorem eleqtrdi 2289

Description: A membership and equality inference. (Contributed by NM, 4-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
eleqtrdi.1	|- ( ph -> A e. B )
eleqtrdi.2	|- B = C

Assertion

Ref	Expression
eleqtrdi	|- ( ph -> A e. C )

Proof of Theorem eleqtrdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleqtrdi.1	. 2 |- ( ph -> A e. B )
2		eleqtrdi.2	. . 3 |- B = C
3	2	a1i 9	. 2 |- ( ph -> B = C )
4	1, 3	eleqtrd 2275	1 |- ( ph -> A e. C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1461  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-ial 1548  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2189  df-clel 2192

This theorem is referenced by:  eleqtrrdi  2290  prid2g  3727  freccllem  6460  nninfisol  7199  finomni  7206  exmidomniim  7207  ismkvnex  7221  exmidaclem  7275  caucvgprprlem2  7777  gt0srpr  7815  eluzel2  9606  fseq1p1m1  10169  fznn0sub2  10203  nn0split  10211  nnsplit  10212  exple1  10687  bcval5  10855  bcpasc  10858  zfz1isolemsplit  10930  seq3coll  10934  clim2ser  11502  clim2ser2  11503  iserex  11504  isermulc2  11505  iserle  11507  iserge0  11508  climub  11509  climserle  11510  serf0  11517  summodclem3  11545  summodclem2a  11546  fsum3  11552  sum0  11553  fsumcl2lem  11563  fsumadd  11571  isumclim3  11588  isumadd  11596  fsump1i  11598  fsummulc2  11613  cvgcmpub  11641  binom1dif  11652  isumshft  11655  isumsplit  11656  isumrpcl  11659  arisum2  11664  trireciplem  11665  geoserap  11672  geolim  11676  geo2lim  11681  cvgratnnlemnexp  11689  cvgratnnlemseq  11691  cvgratgt0  11698  mertenslemi1  11700  mertenslem2  11701  mertensabs  11702  clim2prod  11704  clim2divap  11705  prodmodclem3  11740  prodmodclem2a  11741  fprodseq  11748  fprodntrivap  11749  fprodssdc  11755  fprodmul  11756  fprodabs  11781  fprodeq0  11782  efcvgfsum  11832  efcj  11838  effsumlt  11857  mod2eq1n2dvds  12044  bitsfzolem  12118  bitsfzo  12119  nninfctlemfo  12207  algrp1  12214  phiprmpw  12390  crth  12392  phimullem  12393  prmdiv  12403  pcpremul  12462  pcmpt  12512  pcfac  12519  pockthlem  12525  pockthg  12526  1arith  12536  ennnfonelemp1  12623  nninfdclemp1  12667  relelbasov  12740  gsumwsubmcl  13128  gsumwmhm  13130  mulgnnp1  13260  mulgnn0z  13279  mulgnndir  13281  idomdomd  13833  idomcringd  13834  lspprid2  13968  istps  14268  topontopn  14273  cldrcl  14338  cnrehmeocntop  14846  elplyd  14977  ply1termlem  14978  ply1term  14979  plyaddlem1  14983  plymullem1  14984  plyaddlem  14985  plymullem  14986  plycoeid3  14993  plycolemc  14994  plycj  14997  dvply1  15001  0sgmppw  15229  1sgmprm  15230  lgsval2lem  15251  lgsdir2lem3  15271  lgsdir2lem5  15273  lgsdir  15276  lgsdilem2  15277  lgsdi  15278  lgsne0  15279  gausslemma2dlem3  15304  lgseisenlem1  15311  lgseisenlem4  15314  lgsquadlem2  15319  nnsf  15649  nninfsellemqall  15659  nninfomnilem  15662  cvgcmp2nlemabs  15676  trilpolemeq1  15684  nconstwlpolemgt0  15708