Theorem isnmgm 12786

Description: A condition for a structure not to be a magma. (Contributed by AV, 30-Jan-2020.) (Proof shortened by NM, 5-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgmcl.b	|- B = ( Base ` M )
mgmcl.o	|- .o. = ( +g ` M )

Assertion

Ref	Expression
isnmgm	|- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .o. Y ) e/ B ) -> M e/ Mgm )

Proof of Theorem isnmgm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgmcl.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` M )
2		mgmcl.o	. . . . . 6 |- .o. = ( +g ` M )
3	1, 2	mgmcl 12785	. . . . 5 |- ( ( M e. Mgm /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .o. Y ) e. B )
4	3	3expib 1206	. . . 4 |- ( M e. Mgm -> ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .o. Y ) e. B ) )
5	4	com12 30	. . 3 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( M e. Mgm -> ( X .o. Y ) e. B ) )
6	5	nelcon3d 2453	. 2 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .o. Y ) e/ B -> M e/ Mgm ) )
7	6	3impia 1200	1 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .o. Y ) e/ B ) -> M e/ Mgm )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   e/ wnel 2442   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   Basecbs 12465   +g cplusg 12539  Mgmcmgm 12780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1re 7908  ax-addrcl 7911

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-ov 5881  df-inn 8923  df-2 8981  df-ndx 12468  df-slot 12469  df-base 12471  df-plusg 12552  df-mgm 12782

This theorem is referenced by: (None)