Theorem isnmgm 13739

Description: A condition for a structure not to be a magma. (Contributed by AV, 30-Jan-2020.) (Proof shortened by NM, 5-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgmcl.b	|- B = ( Base ` M )
mgmcl.o	|- .o. = ( +g ` M )

Assertion

Ref	Expression
isnmgm	|- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .o. Y ) e/ B ) -> M e/ Mgm )

Proof of Theorem isnmgm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgmcl.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` M )
2		mgmcl.o	. . . . . 6 |- .o. = ( +g ` M )
3	1, 2	mgmcl 13738	. . . . 5 |- ( ( M e. Mgm /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .o. Y ) e. B )
4	3	3expib 1237	. . . 4 |- ( M e. Mgm -> ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .o. Y ) e. B ) )
5	4	com12 30	. . 3 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( M e. Mgm -> ( X .o. Y ) e. B ) )
6	5	nelcon3d 2526	. 2 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .o. Y ) e/ B -> M e/ Mgm ) )
7	6	3impia 1231	1 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .o. Y ) e/ B ) -> M e/ Mgm )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   e/ wnel 2515   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13410   +g cplusg 13490  Mgmcmgm 13733

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-ov 6091  df-inn 9314  df-2 9372  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-mgm 13735

This theorem is used by: (None)