ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isnmgm Unicode version

Theorem isnmgm 12801
Description: A condition for a structure not to be a magma. (Contributed by AV, 30-Jan-2020.) (Proof shortened by NM, 5-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mgmcl.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
mgmcl.o  |-  .o.  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
isnmgm  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .o.  Y )  e/  B )  ->  M  e/ Mgm )

Proof of Theorem isnmgm
StepHypRef Expression
1 mgmcl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  M
)
2 mgmcl.o . . . . . 6  |-  .o.  =  ( +g  `  M )
31, 2mgmcl 12800 . . . . 5  |-  ( ( M  e. Mgm  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .o.  Y )  e.  B )
433expib 1207 . . . 4  |-  ( M  e. Mgm  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .o.  Y )  e.  B ) )
54com12 30 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( M  e. Mgm  ->  ( X  .o.  Y )  e.  B ) )
65nelcon3d 2465 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .o.  Y )  e/  B  ->  M  e/ Mgm ) )
763impia 1201 1  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .o.  Y )  e/  B )  ->  M  e/ Mgm )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 979    = wceq 1363    e. wcel 2159    e/ wnel 2454   ` cfv 5230  (class class class)co 5890   Basecbs 12479   +g cplusg 12554  Mgmcmgm 12795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1re 7922  ax-addrcl 7925
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-v 2753  df-sbc 2977  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-fv 5238  df-ov 5893  df-inn 8937  df-2 8995  df-ndx 12482  df-slot 12483  df-base 12485  df-plusg 12567  df-mgm 12797
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator