Theorem isnmgm 13506

Description: A condition for a structure not to be a magma. (Contributed by AV, 30-Jan-2020.) (Proof shortened by NM, 5-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgmcl.b	|- B = ( Base ` M )
mgmcl.o	|- .o. = ( +g ` M )

Assertion

Ref	Expression
isnmgm	|- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .o. Y ) e/ B ) -> M e/ Mgm )

Proof of Theorem isnmgm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgmcl.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` M )
2		mgmcl.o	. . . . . 6 |- .o. = ( +g ` M )
3	1, 2	mgmcl 13505	. . . . 5 |- ( ( M e. Mgm /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .o. Y ) e. B )
4	3	3expib 1233	. . . 4 |- ( M e. Mgm -> ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .o. Y ) e. B ) )
5	4	com12 30	. . 3 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( M e. Mgm -> ( X .o. Y ) e. B ) )
6	5	nelcon3d 2509	. 2 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .o. Y ) e/ B -> M e/ Mgm ) )
7	6	3impia 1227	1 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .o. Y ) e/ B ) -> M e/ Mgm )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   e/ wnel 2498   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13145   +g cplusg 13223  Mgmcmgm 13500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-ov 6031  df-inn 9186  df-2 9244  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-plusg 13236  df-mgm 13502

This theorem is referenced by: (None)