Theorem mgmcl 12613

Description: Closure of the operation of a magma. (Contributed by FL, 14-Sep-2010.) (Revised by AV, 13-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgmcl.b	|- B = ( Base ` M )
mgmcl.o	|- .o. = ( +g ` M )

Assertion

Ref	Expression
mgmcl	|- ( ( M e. Mgm /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .o. Y ) e. B )

Proof of Theorem mgmcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgmcl.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` M )
2		mgmcl.o	. . . . 5 |- .o. = ( +g ` M )
3	1, 2	ismgm 12611	. . . 4 |- ( M e. Mgm -> ( M e. Mgm <-> A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B ) )
4	3	ibi 175	. . 3 |- ( M e. Mgm -> A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B )
5		ovrspc2v 5879	. . . 4 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B ) -> ( X .o. Y ) e. B )
6	5	expcom 115	. . 3 |- ( A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B -> ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .o. Y ) e. B ) )
7	4, 6	syl 14	. 2 |- ( M e. Mgm -> ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .o. Y ) e. B ) )
8	7	3impib 1196	1 |- ( ( M e. Mgm /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .o. Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   Basecbs 12416   +g cplusg 12480  Mgmcmgm 12608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-fv 5206  df-ov 5856  df-inn 8879  df-2 8937  df-ndx 12419  df-slot 12420  df-base 12422  df-plusg 12493  df-mgm 12610

This theorem is referenced by:  isnmgm  12614  mgmsscl  12615  mgmplusf  12620  mndcl  12659  dfgrp2  12732