Theorem mgmcl 12670

Description: Closure of the operation of a magma. (Contributed by FL, 14-Sep-2010.) (Revised by AV, 13-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgmcl.b	|- B = ( Base ` M )
mgmcl.o	|- .o. = ( +g ` M )

Assertion

Ref	Expression
mgmcl	|- ( ( M e. Mgm /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .o. Y ) e. B )

Proof of Theorem mgmcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgmcl.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` M )
2		mgmcl.o	. . . . 5 |- .o. = ( +g ` M )
3	1, 2	ismgm 12668	. . . 4 |- ( M e. Mgm -> ( M e. Mgm <-> A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B ) )
4	3	ibi 176	. . 3 |- ( M e. Mgm -> A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B )
5		ovrspc2v 5895	. . . 4 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B ) -> ( X .o. Y ) e. B )
6	5	expcom 116	. . 3 |- ( A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B -> ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .o. Y ) e. B ) )
7	4, 6	syl 14	. 2 |- ( M e. Mgm -> ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .o. Y ) e. B ) )
8	7	3impib 1201	1 |- ( ( M e. Mgm /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .o. Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   Basecbs 12445   +g cplusg 12518  Mgmcmgm 12665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1re 7896  ax-addrcl 7899

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-fv 5220  df-ov 5872  df-inn 8909  df-2 8967  df-ndx 12448  df-slot 12449  df-base 12451  df-plusg 12531  df-mgm 12667

This theorem is referenced by:  isnmgm  12671  mgmsscl  12672  mgmplusf  12677  mndcl  12716  dfgrp2  12792  dfgrp3me  12859  mulgnncl  12887  mulgnndir  12900