Theorem mgmcl 12945

Description: Closure of the operation of a magma. (Contributed by FL, 14-Sep-2010.) (Revised by AV, 13-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgmcl.b	|- B = ( Base ` M )
mgmcl.o	|- .o. = ( +g ` M )

Assertion

Ref	Expression
mgmcl	|- ( ( M e. Mgm /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .o. Y ) e. B )

Proof of Theorem mgmcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgmcl.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` M )
2		mgmcl.o	. . . . 5 |- .o. = ( +g ` M )
3	1, 2	ismgm 12943	. . . 4 |- ( M e. Mgm -> ( M e. Mgm <-> A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B ) )
4	3	ibi 176	. . 3 |- ( M e. Mgm -> A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B )
5		ovrspc2v 5945	. . . 4 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B ) -> ( X .o. Y ) e. B )
6	5	expcom 116	. . 3 |- ( A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B -> ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .o. Y ) e. B ) )
7	4, 6	syl 14	. 2 |- ( M e. Mgm -> ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .o. Y ) e. B ) )
8	7	3impib 1203	1 |- ( ( M e. Mgm /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .o. Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Basecbs 12621   +g cplusg 12698  Mgmcmgm 12940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-ov 5922  df-inn 8985  df-2 9043  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-mgm 12942

This theorem is referenced by:  isnmgm  12946  mgmsscl  12947  mgmplusf  12952  gsummgmpropd  12980  sgrpcl  12995  mndcl  13007  dfgrp2  13102  dfgrp3me  13175  mulgnncl  13210  mulgnndir  13224  rngcl  13443  psraddcl  14175