Theorem mgmcl 13392

Description: Closure of the operation of a magma. (Contributed by FL, 14-Sep-2010.) (Revised by AV, 13-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgmcl.b	|- B = ( Base ` M )
mgmcl.o	|- .o. = ( +g ` M )

Assertion

Ref	Expression
mgmcl	|- ( ( M e. Mgm /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .o. Y ) e. B )

Proof of Theorem mgmcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgmcl.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` M )
2		mgmcl.o	. . . . 5 |- .o. = ( +g ` M )
3	1, 2	ismgm 13390	. . . 4 |- ( M e. Mgm -> ( M e. Mgm <-> A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B ) )
4	3	ibi 176	. . 3 |- ( M e. Mgm -> A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B )
5		ovrspc2v 6027	. . . 4 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B ) -> ( X .o. Y ) e. B )
6	5	expcom 116	. . 3 |- ( A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B -> ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .o. Y ) e. B ) )
7	4, 6	syl 14	. 2 |- ( M e. Mgm -> ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .o. Y ) e. B ) )
8	7	3impib 1225	1 |- ( ( M e. Mgm /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .o. Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   Basecbs 13032   +g cplusg 13110  Mgmcmgm 13387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1re 8093  ax-addrcl 8096

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-ov 6004  df-inn 9111  df-2 9169  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-plusg 13123  df-mgm 13389

This theorem is referenced by:  isnmgm  13393  mgmsscl  13394  mgmplusf  13399  gsummgmpropd  13427  sgrpcl  13442  mndcl  13456  dfgrp2  13560  dfgrp3me  13633  mulgnncl  13674  mulgnndir  13688  rngcl  13907  psraddcl  14644