Theorem isnmgm 13408

Description: A condition for a structure not to be a magma. (Contributed by AV, 30-Jan-2020.) (Proof shortened by NM, 5-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
mgmcl.o	⊢ ⚬ = (+g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
isnmgm	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⚬ 𝑌) ∉ 𝐵) → 𝑀 ∉ Mgm)

Proof of Theorem isnmgm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgmcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		mgmcl.o	. . . . . 6 ⊢ ⚬ = (+g‘𝑀)
3	1, 2	mgmcl 13407	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ⚬ 𝑌) ∈ 𝐵)
4	3	3expib 1230	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ⚬ 𝑌) ∈ 𝐵))
5	4	com12 30	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀 ∈ Mgm → (𝑋 ⚬ 𝑌) ∈ 𝐵))
6	5	nelcon3d 2506	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ⚬ 𝑌) ∉ 𝐵 → 𝑀 ∉ Mgm))
7	6	3impia 1224	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ⚬ 𝑌) ∉ 𝐵) → 𝑀 ∉ Mgm)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∉ wnel 2495  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Basecbs 13047  +_gcplusg 13125  Mgmcmgm 13402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-ov 6010  df-inn 9122  df-2 9180  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-plusg 13138  df-mgm 13404

This theorem is referenced by: (None)