Theorem ixpexgg 6616

Description: The existence of an infinite Cartesian product. 𝑥 is normally a free-variable parameter in 𝐵. Remark in Enderton p. 54. (Contributed by NM, 28-Sep-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ixpexgg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem ixpexgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniixp 6615	. . 3 ⊢ ∪ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝐴 × ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
2		iunexg 6017	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
3		xpexg 4653	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ V)
4	2, 3	syldan 280	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 × ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ V)
5		ssexg 4067	. . 3 ⊢ ((∪ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝐴 × ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ (𝐴 × ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ V) → ∪ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
6	1, 4, 5	sylancr 410	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) → ∪ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
7		uniexb 4394	. 2 ⊢ (X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V ↔ ∪ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
8	6, 7	sylibr 133	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  Vcvv 2686   ⊆ wss 3071  ∪ cuni 3736  ∪ ciun 3813   × cxp 4537  Xcixp 6592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ixp 6593

This theorem is referenced by: (None)