ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ixpexgg GIF version

Theorem ixpexgg 6546
Description: The existence of an infinite Cartesian product. 𝑥 is normally a free-variable parameter in 𝐵. Remark in Enderton p. 54. (Contributed by NM, 28-Sep-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Feb-2023.)
Assertion
Ref Expression
ixpexgg ((𝐴𝑊 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) → X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem ixpexgg
StepHypRef Expression
1 uniixp 6545 . . 3 X𝑥𝐴 𝐵 ⊆ (𝐴 × 𝑥𝐴 𝐵)
2 iunexg 5948 . . . 4 ((𝐴𝑊 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
3 xpexg 4591 . . . 4 ((𝐴𝑊 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × 𝑥𝐴 𝐵) ∈ V)
42, 3syldan 278 . . 3 ((𝐴𝑊 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) → (𝐴 × 𝑥𝐴 𝐵) ∈ V)
5 ssexg 4007 . . 3 (( X𝑥𝐴 𝐵 ⊆ (𝐴 × 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝐴 × 𝑥𝐴 𝐵) ∈ V) → X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
61, 4, 5sylancr 408 . 2 ((𝐴𝑊 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) → X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
7 uniexb 4332 . 2 (X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V ↔ X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
86, 7sylibr 133 1 ((𝐴𝑊 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) → X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1448  wral 2375  Vcvv 2641  wss 3021   cuni 3683   ciun 3760   × cxp 4475  Xcixp 6522
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-ixp 6523
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator