Theorem ixpexgg 7004

Description: The existence of an infinite Cartesian product. 𝑥 is normally a free-variable parameter in 𝐵. Remark in Enderton p. 54. (Contributed by NM, 28-Sep-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ixpexgg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem ixpexgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniixp 7003	. . 3 ⊢ ∪ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝐴 × ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
2		iunexg 6348	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
3		xpexg 4889	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ V)
4	2, 3	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 × ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ V)
5		ssexg 4272	. . 3 ⊢ ((∪ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝐴 × ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ (𝐴 × ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ V) → ∪ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
6	1, 4, 5	sylancr 418	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) → ∪ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
7		uniexb 4619	. 2 ⊢ (X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V ↔ ∪ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
8	6, 7	sylibr 134	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  ∪ cuni 3935  ∪ ciun 4012   × cxp 4772  Xcixp 6980

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ixp 6981

This theorem is used by:  ptex  13618  prdsex  14172  prdsval  14173  prdsbaslemss  14174  prdsbas  14176