Theorem leid 8155

Description: 'Less than or equal to' is reflexive. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
leid	|- ( A e. RR -> A <_ A )

Proof of Theorem leid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnr 8148	. 2 |- ( A e. RR -> -. A < A )
2		lenlt 8147	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ A e. RR ) -> ( A <_ A <-> -. A < A ) )
3	2	anidms 397	. 2 |- ( A e. RR -> ( A <_ A <-> -. A < A ) )
4	1, 3	mpbird 167	1 |- ( A e. RR -> A <_ A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2175   class class class wbr 4043   RRcr 7923   < clt 8106   <_ cle 8107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-pre-ltirr 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-xp 4680  df-cnv 4682  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112

This theorem is referenced by:  eqle  8163  leidi  8557  leidd  8586  lemulge11  8938  lediv2a  8967