Theorem lemulge11 8825

Description: Multiplication by a number greater than or equal to 1. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
lemulge11	|- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> A <_ ( A x. B ) )

Proof of Theorem lemulge11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1rid 7920	. . 3 |- ( A e. RR -> ( A x. 1 ) = A )
2	1	ad2antrr 488	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> ( A x. 1 ) = A )
3		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> A e. RR )
4		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> 0 <_ A )
5	3, 4	jca 306	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
6		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> B e. RR )
7		1re 7958	. . . . . 6 |- 1 e. RR
8		0le1 8440	. . . . . 6 |- 0 <_ 1
9	7, 8	pm3.2i 272	. . . . 5 |- ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 )
10	6, 9	jctil 312	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ B e. RR ) )
11	5, 3, 10	jca31 309	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ A e. RR ) /\ ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ B e. RR ) ) )
12		leid 8043	. . . . 5 |- ( A e. RR -> A <_ A )
13	12	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> A <_ A )
14		simprr 531	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> 1 <_ B )
15	13, 14	jca 306	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> ( A <_ A /\ 1 <_ B ) )
16		lemul12a 8821	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ A e. RR ) /\ ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ B e. RR ) ) -> ( ( A <_ A /\ 1 <_ B ) -> ( A x. 1 ) <_ ( A x. B ) ) )
17	11, 15, 16	sylc 62	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> ( A x. 1 ) <_ ( A x. B ) )
18	2, 17	eqbrtrrd 4029	1 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> A <_ ( A x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   RRcr 7812   0cc0 7813   1c1 7814   x. cmul 7818   <_ cle 7995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541

This theorem is referenced by:  lemulge12  8826  lemulge11d  8896  faclbnd  10723