Theorem lemulge11 9013

Description: Multiplication by a number greater than or equal to 1. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
lemulge11	|- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> A <_ ( A x. B ) )

Proof of Theorem lemulge11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1rid 8106	. . 3 |- ( A e. RR -> ( A x. 1 ) = A )
2	1	ad2antrr 488	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> ( A x. 1 ) = A )
3		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> A e. RR )
4		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> 0 <_ A )
5	3, 4	jca 306	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
6		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> B e. RR )
7		1re 8145	. . . . . 6 |- 1 e. RR
8		0le1 8628	. . . . . 6 |- 0 <_ 1
9	7, 8	pm3.2i 272	. . . . 5 |- ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 )
10	6, 9	jctil 312	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ B e. RR ) )
11	5, 3, 10	jca31 309	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ A e. RR ) /\ ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ B e. RR ) ) )
12		leid 8230	. . . . 5 |- ( A e. RR -> A <_ A )
13	12	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> A <_ A )
14		simprr 531	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> 1 <_ B )
15	13, 14	jca 306	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> ( A <_ A /\ 1 <_ B ) )
16		lemul12a 9009	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ A e. RR ) /\ ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ B e. RR ) ) -> ( ( A <_ A /\ 1 <_ B ) -> ( A x. 1 ) <_ ( A x. B ) ) )
17	11, 15, 16	sylc 62	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> ( A x. 1 ) <_ ( A x. B ) )
18	2, 17	eqbrtrrd 4107	1 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> A <_ ( A x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   RRcr 7998   0cc0 7999   1c1 8000   x. cmul 8004   <_ cle 8182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729

This theorem is referenced by:  lemulge12  9014  lemulge11d  9084  faclbnd  10963