Theorem lemulge11 9186

Description: Multiplication by a number greater than or equal to 1. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
lemulge11	|- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> A <_ ( A x. B ) )

Proof of Theorem lemulge11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1rid 8276	. . 3 |- ( A e. RR -> ( A x. 1 ) = A )
2	1	ad2antrr 492	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> ( A x. 1 ) = A )
3		simpll 531	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> A e. RR )
4		simprl 535	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> 0 <_ A )
5	3, 4	jca 306	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
6		simplr 533	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> B e. RR )
7		1re 8315	. . . . . 6 |- 1 e. RR
8		0le1 8799	. . . . . 6 |- 0 <_ 1
9	7, 8	pm3.2i 272	. . . . 5 |- ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 )
10	6, 9	jctil 312	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ B e. RR ) )
11	5, 3, 10	jca31 309	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ A e. RR ) /\ ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ B e. RR ) ) )
12		leid 8399	. . . . 5 |- ( A e. RR -> A <_ A )
13	12	ad2antrr 492	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> A <_ A )
14		simprr 537	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> 1 <_ B )
15	13, 14	jca 306	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> ( A <_ A /\ 1 <_ B ) )
16		lemul12a 9182	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ A e. RR ) /\ ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ B e. RR ) ) -> ( ( A <_ A /\ 1 <_ B ) -> ( A x. 1 ) <_ ( A x. B ) ) )
17	11, 15, 16	sylc 62	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> ( A x. 1 ) <_ ( A x. B ) )
18	2, 17	eqbrtrrd 4149	1 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ B ) ) -> A <_ ( A x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   RRcr 8168   0cc0 8169   1c1 8170   x. cmul 8174   <_ cle 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900

This theorem is referenced by:  lemulge12  9187  lemulge11d  9257  faclbnd  11157